Theorem ramub1 16954

Description: Inductive step for Ramsey's theorem, in the form of an explicit upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ramub1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
ramub1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin)
ramub1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑅⟶ℕ)
ramub1.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (𝑀 Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝐹‘𝑥) − 1), (𝐹‘𝑦)))))
ramub1.1	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑅⟶ℕ0)
ramub1.2	⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
ramub1	⊢ (𝜑 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ramub1

Dummy variables 𝑢 𝑐 𝑓 𝑠 𝑣 𝑤 𝑧 𝑎 𝑏 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖}) = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
2		ramub1.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3	2	nnnn0d 12460	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		ramub1.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin)
5		ramub1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑅⟶ℕ)
6		nnssnn0 12402	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
7		fss 6676	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑅⟶ℕ ∧ ℕ ⊆ ℕ0) → 𝐹:𝑅⟶ℕ0)
8	5, 6, 7	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑅⟶ℕ0)
9		ramub1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0)
10		peano2nn0 12439	. . 3 ⊢ (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0 → (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∈ ℕ0)
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∈ ℕ0)
12		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1))
13	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0)
14		nn0p1nn 12438	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0 → (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∈ ℕ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∈ ℕ)
16	12, 15	eqeltrd 2834	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (♯‘𝑠) ∈ ℕ)
17	16	nnnn0d 12460	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (♯‘𝑠) ∈ ℕ0)
18		hashclb 14279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ V → (𝑠 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑠) ∈ ℕ0))
19	18	elv 3443	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑠) ∈ ℕ0)
20	17, 19	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → 𝑠 ∈ Fin)
21		hashnncl 14287	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ Fin → ((♯‘𝑠) ∈ ℕ ↔ 𝑠 ≠ ∅))
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → ((♯‘𝑠) ∈ ℕ ↔ 𝑠 ≠ ∅))
23	16, 22	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → 𝑠 ≠ ∅)
24		n0 4303	. . . 4 ⊢ (𝑠 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑠)
25	23, 24	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑠)
26	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤 ∈ 𝑠)) → 𝑀 ∈ ℕ)
27	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤 ∈ 𝑠)) → 𝑅 ∈ Fin)
28	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤 ∈ 𝑠)) → 𝐹:𝑅⟶ℕ)
29		ramub1.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (𝑀 Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝐹‘𝑥) − 1), (𝐹‘𝑦)))))
30		ramub1.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑅⟶ℕ0)
31	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤 ∈ 𝑠)) → 𝐺:𝑅⟶ℕ0)
32	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤 ∈ 𝑠)) → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0)
33	20	adantrr 717	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤 ∈ 𝑠)) → 𝑠 ∈ Fin)
34		simprll 778	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤 ∈ 𝑠)) → (♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1))
35		simprlr 779	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤 ∈ 𝑠)) → 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)
36		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤 ∈ 𝑠)) → 𝑤 ∈ 𝑠)
37		uneq1 4111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → (𝑣 ∪ {𝑤}) = (𝑢 ∪ {𝑤}))
38	37	fveq2d 6836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → (𝑓‘(𝑣 ∪ {𝑤})) = (𝑓‘(𝑢 ∪ {𝑤})))
39	38	cbvmptv 5200	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ ((𝑠 ∖ {𝑤})(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})(𝑀 − 1)) ↦ (𝑓‘(𝑣 ∪ {𝑤}))) = (𝑢 ∈ ((𝑠 ∖ {𝑤})(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})(𝑀 − 1)) ↦ (𝑓‘(𝑢 ∪ {𝑤})))
40	26, 27, 28, 29, 31, 32, 1, 33, 34, 35, 36, 39	ramub1lem2 16953	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤 ∈ 𝑠)) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))
41	40	expr 456	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (𝑤 ∈ 𝑠 → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐}))))
42	41	exlimdv 1934	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑠 → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐}))))
43	25, 42	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))
44	1, 3, 4, 8, 11, 43	ramub2 16940	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∃wrex 3058  {crab 3397  Vcvv 3438   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  ∅c0 4283  ifcif 4477  𝒫 cpw 4552  {csn 4578   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177  ^◡ccnv 5621   “ cima 5625  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358  Fincfn 8881  1c1 11025   + caddc 11027   ≤ cle 11165   − cmin 11362  ℕcn 12143  ℕ₀cn0 12399  ♯chash 14251   Ramsey cram 16925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-inf 9344  df-dju 9811  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-hash 14252  df-ram 16927

This theorem is referenced by:  ramcl  16955