MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramub1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ramub1 16957
Description: Inductive step for Ramsey's theorem, in the form of an explicit upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ramub1.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
ramub1.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Fin)
ramub1.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•)
ramub1.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ (𝑀 Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = π‘₯, ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ 1), (πΉβ€˜π‘¦)))))
ramub1.1 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘…βŸΆβ„•0)
ramub1.2 (πœ‘ β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
ramub1 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐹   π‘₯,𝑀,𝑦   π‘₯,𝐺,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Proof of Theorem ramub1
Dummy variables 𝑒 𝑐 𝑓 𝑠 𝑣 𝑀 𝑧 π‘Ž 𝑏 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . 2 (π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖}) = (π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})
2 ramub1.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
32nnnn0d 12528 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
4 ramub1.r . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Fin)
5 ramub1.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•)
6 nnssnn0 12471 . . 3 β„• βŠ† β„•0
7 fss 6731 . . 3 ((𝐹:π‘…βŸΆβ„• ∧ β„• βŠ† β„•0) β†’ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0)
85, 6, 7sylancl 586 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0)
9 ramub1.2 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) ∈ β„•0)
10 peano2nn0 12508 . . 3 (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) ∈ β„•0 β†’ (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∈ β„•0)
119, 10syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∈ β„•0)
12 simprl 769 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ (β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1))
139adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) ∈ β„•0)
14 nn0p1nn 12507 . . . . . . 7 (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) ∈ β„•0 β†’ (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∈ β„•)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∈ β„•)
1612, 15eqeltrd 2833 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ (β™―β€˜π‘ ) ∈ β„•)
1716nnnn0d 12528 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ (β™―β€˜π‘ ) ∈ β„•0)
18 hashclb 14314 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ V β†’ (𝑠 ∈ Fin ↔ (β™―β€˜π‘ ) ∈ β„•0))
1918elv 3480 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ Fin ↔ (β™―β€˜π‘ ) ∈ β„•0)
2017, 19sylibr 233 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ 𝑠 ∈ Fin)
21 hashnncl 14322 . . . . . 6 (𝑠 ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜π‘ ) ∈ β„• ↔ 𝑠 β‰  βˆ…))
2220, 21syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ ((β™―β€˜π‘ ) ∈ β„• ↔ 𝑠 β‰  βˆ…))
2316, 22mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ 𝑠 β‰  βˆ…)
24 n0 4345 . . . 4 (𝑠 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝑠)
2523, 24sylib 217 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝑠)
262adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…) ∧ 𝑀 ∈ 𝑠)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
274adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…) ∧ 𝑀 ∈ 𝑠)) β†’ 𝑅 ∈ Fin)
285adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…) ∧ 𝑀 ∈ 𝑠)) β†’ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•)
29 ramub1.g . . . . . 6 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ (𝑀 Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = π‘₯, ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ 1), (πΉβ€˜π‘¦)))))
30 ramub1.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘…βŸΆβ„•0)
3130adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…) ∧ 𝑀 ∈ 𝑠)) β†’ 𝐺:π‘…βŸΆβ„•0)
329adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…) ∧ 𝑀 ∈ 𝑠)) β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) ∈ β„•0)
3320adantrr 715 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…) ∧ 𝑀 ∈ 𝑠)) β†’ 𝑠 ∈ Fin)
34 simprll 777 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…) ∧ 𝑀 ∈ 𝑠)) β†’ (β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1))
35 simprlr 778 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…) ∧ 𝑀 ∈ 𝑠)) β†’ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)
36 simprr 771 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…) ∧ 𝑀 ∈ 𝑠)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑠)
37 uneq1 4155 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑒 β†’ (𝑣 βˆͺ {𝑀}) = (𝑒 βˆͺ {𝑀}))
3837fveq2d 6892 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑒 β†’ (π‘“β€˜(𝑣 βˆͺ {𝑀})) = (π‘“β€˜(𝑒 βˆͺ {𝑀})))
3938cbvmptv 5260 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ((𝑠 βˆ– {𝑀})(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘“β€˜(𝑣 βˆͺ {𝑀}))) = (𝑒 ∈ ((𝑠 βˆ– {𝑀})(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘“β€˜(𝑒 βˆͺ {𝑀})))
4026, 27, 28, 29, 31, 32, 1, 33, 34, 35, 36, 39ramub1lem2 16956 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…) ∧ 𝑀 ∈ 𝑠)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ (𝑧(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})))
4140expr 457 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ (𝑀 ∈ 𝑠 β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ (𝑧(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐}))))
4241exlimdv 1936 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ (βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝑠 β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ (𝑧(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐}))))
4325, 42mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ (𝑧(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})))
441, 3, 4, 8, 11, 43ramub2 16943 1 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  ifcif 4527  π’« cpw 4601  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  β—‘ccnv 5674   β€œ cima 5678  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  Fincfn 8935  1c1 11107   + caddc 11109   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  β™―chash 14286   Ramsey cram 16928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-hash 14287  df-ram 16930
This theorem is referenced by:  ramcl  16958
  Copyright terms: Public domain W3C validator