MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramub1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ramub1 16900
Description: Inductive step for Ramsey's theorem, in the form of an explicit upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ramub1.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
ramub1.r (𝜑𝑅 ∈ Fin)
ramub1.f (𝜑𝐹:𝑅⟶ℕ)
ramub1.g 𝐺 = (𝑥𝑅 ↦ (𝑀 Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝐹𝑥) − 1), (𝐹𝑦)))))
ramub1.1 (𝜑𝐺:𝑅⟶ℕ0)
ramub1.2 (𝜑 → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
ramub1 (𝜑 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ramub1
Dummy variables 𝑢 𝑐 𝑓 𝑠 𝑣 𝑤 𝑧 𝑎 𝑏 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . 2 (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖}) = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
2 ramub1.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
32nnnn0d 12473 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4 ramub1.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ Fin)
5 ramub1.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑅⟶ℕ)
6 nnssnn0 12416 . . 3 ℕ ⊆ ℕ0
7 fss 6685 . . 3 ((𝐹:𝑅⟶ℕ ∧ ℕ ⊆ ℕ0) → 𝐹:𝑅⟶ℕ0)
85, 6, 7sylancl 586 . 2 (𝜑𝐹:𝑅⟶ℕ0)
9 ramub1.2 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0)
10 peano2nn0 12453 . . 3 (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0 → (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∈ ℕ0)
119, 10syl 17 . 2 (𝜑 → (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∈ ℕ0)
12 simprl 769 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1))
139adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0)
14 nn0p1nn 12452 . . . . . . 7 (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0 → (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∈ ℕ)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∈ ℕ)
1612, 15eqeltrd 2838 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (♯‘𝑠) ∈ ℕ)
1716nnnn0d 12473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (♯‘𝑠) ∈ ℕ0)
18 hashclb 14258 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ V → (𝑠 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑠) ∈ ℕ0))
1918elv 3451 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑠) ∈ ℕ0)
2017, 19sylibr 233 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → 𝑠 ∈ Fin)
21 hashnncl 14266 . . . . . 6 (𝑠 ∈ Fin → ((♯‘𝑠) ∈ ℕ ↔ 𝑠 ≠ ∅))
2220, 21syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → ((♯‘𝑠) ∈ ℕ ↔ 𝑠 ≠ ∅))
2316, 22mpbid 231 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → 𝑠 ≠ ∅)
24 n0 4306 . . . 4 (𝑠 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝑠)
2523, 24sylib 217 . . 3 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑤 𝑤𝑠)
262adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤𝑠)) → 𝑀 ∈ ℕ)
274adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤𝑠)) → 𝑅 ∈ Fin)
285adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤𝑠)) → 𝐹:𝑅⟶ℕ)
29 ramub1.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥𝑅 ↦ (𝑀 Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝐹𝑥) − 1), (𝐹𝑦)))))
30 ramub1.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝑅⟶ℕ0)
3130adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤𝑠)) → 𝐺:𝑅⟶ℕ0)
329adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤𝑠)) → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0)
3320adantrr 715 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤𝑠)) → 𝑠 ∈ Fin)
34 simprll 777 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤𝑠)) → (♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1))
35 simprlr 778 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤𝑠)) → 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)
36 simprr 771 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤𝑠)) → 𝑤𝑠)
37 uneq1 4116 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑢 → (𝑣 ∪ {𝑤}) = (𝑢 ∪ {𝑤}))
3837fveq2d 6846 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑢 → (𝑓‘(𝑣 ∪ {𝑤})) = (𝑓‘(𝑢 ∪ {𝑤})))
3938cbvmptv 5218 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ((𝑠 ∖ {𝑤})(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})(𝑀 − 1)) ↦ (𝑓‘(𝑣 ∪ {𝑤}))) = (𝑢 ∈ ((𝑠 ∖ {𝑤})(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})(𝑀 − 1)) ↦ (𝑓‘(𝑢 ∪ {𝑤})))
4026, 27, 28, 29, 31, 32, 1, 33, 34, 35, 36, 39ramub1lem2 16899 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤𝑠)) → ∃𝑐𝑅𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})))
4140expr 457 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (𝑤𝑠 → ∃𝑐𝑅𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐}))))
4241exlimdv 1936 . . 3 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (∃𝑤 𝑤𝑠 → ∃𝑐𝑅𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐}))))
4325, 42mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐𝑅𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})))
441, 3, 4, 8, 11, 43ramub2 16886 1 (𝜑 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445  cdif 3907  cun 3908  wss 3910  c0 4282  ifcif 4486  𝒫 cpw 4560  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ccnv 5632  cima 5636  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  Fincfn 8883  1c1 11052   + caddc 11054  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  0cn0 12413  chash 14230   Ramsey cram 16871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-hash 14231  df-ram 16873
This theorem is referenced by:  ramcl  16901
  Copyright terms: Public domain W3C validator