MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramub1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ramub1 16961
Description: Inductive step for Ramsey's theorem, in the form of an explicit upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ramub1.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
ramub1.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Fin)
ramub1.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•)
ramub1.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ (𝑀 Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = π‘₯, ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ 1), (πΉβ€˜π‘¦)))))
ramub1.1 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘…βŸΆβ„•0)
ramub1.2 (πœ‘ β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
ramub1 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐹   π‘₯,𝑀,𝑦   π‘₯,𝐺,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Proof of Theorem ramub1
Dummy variables 𝑒 𝑐 𝑓 𝑠 𝑣 𝑀 𝑧 π‘Ž 𝑏 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . 2 (π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖}) = (π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})
2 ramub1.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
32nnnn0d 12532 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
4 ramub1.r . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Fin)
5 ramub1.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•)
6 nnssnn0 12475 . . 3 β„• βŠ† β„•0
7 fss 6735 . . 3 ((𝐹:π‘…βŸΆβ„• ∧ β„• βŠ† β„•0) β†’ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0)
85, 6, 7sylancl 587 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0)
9 ramub1.2 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) ∈ β„•0)
10 peano2nn0 12512 . . 3 (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) ∈ β„•0 β†’ (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∈ β„•0)
119, 10syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∈ β„•0)
12 simprl 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ (β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1))
139adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) ∈ β„•0)
14 nn0p1nn 12511 . . . . . . 7 (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) ∈ β„•0 β†’ (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∈ β„•)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∈ β„•)
1612, 15eqeltrd 2834 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ (β™―β€˜π‘ ) ∈ β„•)
1716nnnn0d 12532 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ (β™―β€˜π‘ ) ∈ β„•0)
18 hashclb 14318 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ V β†’ (𝑠 ∈ Fin ↔ (β™―β€˜π‘ ) ∈ β„•0))
1918elv 3481 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ Fin ↔ (β™―β€˜π‘ ) ∈ β„•0)
2017, 19sylibr 233 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ 𝑠 ∈ Fin)
21 hashnncl 14326 . . . . . 6 (𝑠 ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜π‘ ) ∈ β„• ↔ 𝑠 β‰  βˆ…))
2220, 21syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ ((β™―β€˜π‘ ) ∈ β„• ↔ 𝑠 β‰  βˆ…))
2316, 22mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ 𝑠 β‰  βˆ…)
24 n0 4347 . . . 4 (𝑠 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝑠)
2523, 24sylib 217 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝑠)
262adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…) ∧ 𝑀 ∈ 𝑠)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
274adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…) ∧ 𝑀 ∈ 𝑠)) β†’ 𝑅 ∈ Fin)
285adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…) ∧ 𝑀 ∈ 𝑠)) β†’ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•)
29 ramub1.g . . . . . 6 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ (𝑀 Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = π‘₯, ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ 1), (πΉβ€˜π‘¦)))))
30 ramub1.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘…βŸΆβ„•0)
3130adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…) ∧ 𝑀 ∈ 𝑠)) β†’ 𝐺:π‘…βŸΆβ„•0)
329adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…) ∧ 𝑀 ∈ 𝑠)) β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) ∈ β„•0)
3320adantrr 716 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…) ∧ 𝑀 ∈ 𝑠)) β†’ 𝑠 ∈ Fin)
34 simprll 778 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…) ∧ 𝑀 ∈ 𝑠)) β†’ (β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1))
35 simprlr 779 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…) ∧ 𝑀 ∈ 𝑠)) β†’ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)
36 simprr 772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…) ∧ 𝑀 ∈ 𝑠)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑠)
37 uneq1 4157 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑒 β†’ (𝑣 βˆͺ {𝑀}) = (𝑒 βˆͺ {𝑀}))
3837fveq2d 6896 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑒 β†’ (π‘“β€˜(𝑣 βˆͺ {𝑀})) = (π‘“β€˜(𝑒 βˆͺ {𝑀})))
3938cbvmptv 5262 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ((𝑠 βˆ– {𝑀})(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘“β€˜(𝑣 βˆͺ {𝑀}))) = (𝑒 ∈ ((𝑠 βˆ– {𝑀})(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘“β€˜(𝑒 βˆͺ {𝑀})))
4026, 27, 28, 29, 31, 32, 1, 33, 34, 35, 36, 39ramub1lem2 16960 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…) ∧ 𝑀 ∈ 𝑠)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ (𝑧(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})))
4140expr 458 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ (𝑀 ∈ 𝑠 β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ (𝑧(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐}))))
4241exlimdv 1937 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ (βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝑠 β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ (𝑧(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐}))))
4325, 42mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ (𝑧(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})))
441, 3, 4, 8, 11, 43ramub2 16947 1 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ (((𝑀 βˆ’ 1) Ramsey 𝐺) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  π’« cpw 4603  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  Fincfn 8939  1c1 11111   + caddc 11113   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β™―chash 14290   Ramsey cram 16932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-hash 14291  df-ram 16934
This theorem is referenced by:  ramcl  16962
  Copyright terms: Public domain W3C validator