Theorem ramub1 17062

Description: Inductive step for Ramsey's theorem, in the form of an explicit upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ramub1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
ramub1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin)
ramub1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑅⟶ℕ)
ramub1.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (𝑀 Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝐹‘𝑥) − 1), (𝐹‘𝑦)))))
ramub1.1	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑅⟶ℕ0)
ramub1.2	⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
ramub1	⊢ (𝜑 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ramub1

Dummy variables 𝑢 𝑐 𝑓 𝑠 𝑣 𝑤 𝑧 𝑎 𝑏 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖}) = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
2		ramub1.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3	2	nnnn0d 12585	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		ramub1.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin)
5		ramub1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑅⟶ℕ)
6		nnssnn0 12527	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
7		fss 6753	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑅⟶ℕ ∧ ℕ ⊆ ℕ0) → 𝐹:𝑅⟶ℕ0)
8	5, 6, 7	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑅⟶ℕ0)
9		ramub1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0)
10		peano2nn0 12564	. . 3 ⊢ (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0 → (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∈ ℕ0)
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∈ ℕ0)
12		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1))
13	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0)
14		nn0p1nn 12563	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0 → (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∈ ℕ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∈ ℕ)
16	12, 15	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (♯‘𝑠) ∈ ℕ)
17	16	nnnn0d 12585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (♯‘𝑠) ∈ ℕ0)
18		hashclb 14394	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ V → (𝑠 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑠) ∈ ℕ0))
19	18	elv 3483	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑠) ∈ ℕ0)
20	17, 19	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → 𝑠 ∈ Fin)
21		hashnncl 14402	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ Fin → ((♯‘𝑠) ∈ ℕ ↔ 𝑠 ≠ ∅))
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → ((♯‘𝑠) ∈ ℕ ↔ 𝑠 ≠ ∅))
23	16, 22	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → 𝑠 ≠ ∅)
24		n0 4359	. . . 4 ⊢ (𝑠 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑠)
25	23, 24	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑠)
26	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤 ∈ 𝑠)) → 𝑀 ∈ ℕ)
27	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤 ∈ 𝑠)) → 𝑅 ∈ Fin)
28	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤 ∈ 𝑠)) → 𝐹:𝑅⟶ℕ)
29		ramub1.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (𝑀 Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝐹‘𝑥) − 1), (𝐹‘𝑦)))))
30		ramub1.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑅⟶ℕ0)
31	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤 ∈ 𝑠)) → 𝐺:𝑅⟶ℕ0)
32	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤 ∈ 𝑠)) → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0)
33	20	adantrr 717	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤 ∈ 𝑠)) → 𝑠 ∈ Fin)
34		simprll 779	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤 ∈ 𝑠)) → (♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1))
35		simprlr 780	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤 ∈ 𝑠)) → 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)
36		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤 ∈ 𝑠)) → 𝑤 ∈ 𝑠)
37		uneq1 4171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → (𝑣 ∪ {𝑤}) = (𝑢 ∪ {𝑤}))
38	37	fveq2d 6911	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → (𝑓‘(𝑣 ∪ {𝑤})) = (𝑓‘(𝑢 ∪ {𝑤})))
39	38	cbvmptv 5261	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ ((𝑠 ∖ {𝑤})(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})(𝑀 − 1)) ↦ (𝑓‘(𝑣 ∪ {𝑤}))) = (𝑢 ∈ ((𝑠 ∖ {𝑤})(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})(𝑀 − 1)) ↦ (𝑓‘(𝑢 ∪ {𝑤})))
40	26, 27, 28, 29, 31, 32, 1, 33, 34, 35, 36, 39	ramub1lem2 17061	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤 ∈ 𝑠)) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))
41	40	expr 456	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (𝑤 ∈ 𝑠 → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐}))))
42	41	exlimdv 1931	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑠 → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐}))))
43	25, 42	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))
44	1, 3, 4, 8, 11, 43	ramub2 17048	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068  {crab 3433  Vcvv 3478   ∖ cdif 3960   ∪ cun 3961   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  ifcif 4531  𝒫 cpw 4605  {csn 4631   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ^◡ccnv 5688   “ cima 5692  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  Fincfn 8984  1c1 11154   + caddc 11156   ≤ cle 11294   − cmin 11490  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  ♯chash 14366   Ramsey cram 17033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367  df-ram 17035

This theorem is referenced by:  ramcl  17063