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Theorem nacsfix 41905
Description: An increasing sequence of closed sets in a Noetherian-type closure system eventually fixates. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
nacsfix ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝐹𝑧) = (𝐹𝑦))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐶,𝑦   𝑦,𝐹,𝑧   𝑧,𝑋,𝑦   𝑥,𝑦,𝑧,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem nacsfix
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvssunirn 6914 . . . . 5 (𝐹𝑧) ⊆ ran 𝐹
2 simplrr 775 . . . . 5 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑦) = ran 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → (𝐹𝑦) = ran 𝐹)
31, 2sseqtrrid 4027 . . . 4 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑦) = ran 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → (𝐹𝑧) ⊆ (𝐹𝑦))
4 simpll3 1211 . . . . 5 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑦) = ran 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
5 simplrl 774 . . . . 5 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑦) = ran 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
6 simpr 484 . . . . 5 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑦) = ran 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → 𝑧 ∈ (ℤ𝑦))
7 incssnn0 41904 . . . . 5 ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → (𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑧))
84, 5, 6, 7syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑦) = ran 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → (𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑧))
93, 8eqssd 3991 . . 3 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑦) = ran 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑦))
109ralrimiva 3138 . 2 (((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑦) = ran 𝐹)) → ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝐹𝑧) = (𝐹𝑦))
11 frn 6714 . . . . . . . 8 (𝐹:ℕ0𝐶 → ran 𝐹𝐶)
12113ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ran 𝐹𝐶)
13 elpw2g 5334 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) → (ran 𝐹 ∈ 𝒫 𝐶 ↔ ran 𝐹𝐶))
14133ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → (ran 𝐹 ∈ 𝒫 𝐶 ↔ ran 𝐹𝐶))
1512, 14mpbird 257 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ran 𝐹 ∈ 𝒫 𝐶)
16 elex 3485 . . . . . 6 (ran 𝐹 ∈ 𝒫 𝐶 → ran 𝐹 ∈ V)
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ran 𝐹 ∈ V)
18 ffn 6707 . . . . . . . 8 (𝐹:ℕ0𝐶𝐹 Fn ℕ0)
19183ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → 𝐹 Fn ℕ0)
20 0nn0 12483 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
21 fnfvelrn 7072 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐹‘0) ∈ ran 𝐹)
2219, 20, 21sylancl 585 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → (𝐹‘0) ∈ ran 𝐹)
2322ne0d 4327 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ran 𝐹 ≠ ∅)
24 nn0re 12477 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℝ)
2524ad2antrl 725 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝑎 ∈ ℝ)
26 nn0re 12477 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℝ)
2726ad2antll 726 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝑏 ∈ ℝ)
28 simplrr 775 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑎𝑏) → 𝑏 ∈ ℕ0)
29 simpll3 1211 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑎𝑏) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
30 simplrl 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑎𝑏) → 𝑎 ∈ ℕ0)
31 nn0z 12579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℤ)
32 nn0z 12579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)
33 eluz 12832 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑏 ∈ (ℤ𝑎) ↔ 𝑎𝑏))
3431, 32, 33syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ (ℤ𝑎) ↔ 𝑎𝑏))
3534biimpar 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎𝑏) → 𝑏 ∈ (ℤ𝑎))
3635adantll 711 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑎𝑏) → 𝑏 ∈ (ℤ𝑎))
37 incssnn0 41904 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (ℤ𝑎)) → (𝐹𝑎) ⊆ (𝐹𝑏))
3829, 30, 36, 37syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑎𝑏) → (𝐹𝑎) ⊆ (𝐹𝑏))
39 ssequn1 4172 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑎) ⊆ (𝐹𝑏) ↔ ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) = (𝐹𝑏))
4038, 39sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑎𝑏) → ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) = (𝐹𝑏))
41 eqimss 4032 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) = (𝐹𝑏) → ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑏))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑎𝑏) → ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑏))
43 fveq2 6881 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑏 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝑏))
4443sseq2d 4006 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑏 → (((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐) ↔ ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑏)))
4544rspcev 3604 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑏)) → ∃𝑐 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐))
4628, 42, 45syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑎𝑏) → ∃𝑐 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐))
47 simplrl 774 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑏𝑎) → 𝑎 ∈ ℕ0)
48 simpll3 1211 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑏𝑎) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
49 simplrr 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑏𝑎) → 𝑏 ∈ ℕ0)
50 eluz 12832 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ (ℤ𝑏) ↔ 𝑏𝑎))
5132, 31, 50syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑎 ∈ (ℤ𝑏) ↔ 𝑏𝑎))
5251biimpar 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝑎) → 𝑎 ∈ (ℤ𝑏))
5352adantll 711 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑏𝑎) → 𝑎 ∈ (ℤ𝑏))
54 incssnn0 41904 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ𝑏)) → (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹𝑎))
5548, 49, 53, 54syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑏𝑎) → (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹𝑎))
56 ssequn2 4175 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑏) ⊆ (𝐹𝑎) ↔ ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) = (𝐹𝑎))
5755, 56sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑏𝑎) → ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) = (𝐹𝑎))
58 eqimss 4032 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) = (𝐹𝑎) → ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑎))
5957, 58syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑏𝑎) → ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑎))
60 fveq2 6881 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑎 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝑎))
6160sseq2d 4006 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑎 → (((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐) ↔ ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑎)))
6261rspcev 3604 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑎)) → ∃𝑐 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐))
6347, 59, 62syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑏𝑎) → ∃𝑐 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐))
6425, 27, 46, 63lecasei 11316 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) → ∃𝑐 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐))
6564ralrimivva 3192 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ∀𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐))
66 uneq1 4148 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐹𝑎) → (𝑦𝑧) = ((𝐹𝑎) ∪ 𝑧))
6766sseq1d 4005 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐹𝑎) → ((𝑦𝑧) ⊆ 𝑤 ↔ ((𝐹𝑎) ∪ 𝑧) ⊆ 𝑤))
6867rexbidv 3170 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑎) → (∃𝑤 ∈ ran 𝐹(𝑦𝑧) ⊆ 𝑤 ↔ ∃𝑤 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎) ∪ 𝑧) ⊆ 𝑤))
6968ralbidv 3169 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑎) → (∀𝑧 ∈ ran 𝐹𝑤 ∈ ran 𝐹(𝑦𝑧) ⊆ 𝑤 ↔ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹𝑤 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎) ∪ 𝑧) ⊆ 𝑤))
7069ralrn 7079 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn ℕ0 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹𝑧 ∈ ran 𝐹𝑤 ∈ ran 𝐹(𝑦𝑧) ⊆ 𝑤 ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ran 𝐹𝑤 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎) ∪ 𝑧) ⊆ 𝑤))
71 uneq2 4149 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝐹𝑏) → ((𝐹𝑎) ∪ 𝑧) = ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)))
7271sseq1d 4005 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝐹𝑏) → (((𝐹𝑎) ∪ 𝑧) ⊆ 𝑤 ↔ ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑤))
7372rexbidv 3170 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝐹𝑏) → (∃𝑤 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎) ∪ 𝑧) ⊆ 𝑤 ↔ ∃𝑤 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑤))
7473ralrn 7079 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn ℕ0 → (∀𝑧 ∈ ran 𝐹𝑤 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎) ∪ 𝑧) ⊆ 𝑤 ↔ ∀𝑏 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑤))
75 sseq2 4000 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝐹𝑐) → (((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑤 ↔ ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
7675rexrn 7078 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn ℕ0 → (∃𝑤 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑤 ↔ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
7776ralbidv 3169 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn ℕ0 → (∀𝑏 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑤 ↔ ∀𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
7874, 77bitrd 279 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn ℕ0 → (∀𝑧 ∈ ran 𝐹𝑤 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎) ∪ 𝑧) ⊆ 𝑤 ↔ ∀𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
7978ralbidv 3169 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn ℕ0 → (∀𝑎 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ran 𝐹𝑤 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎) ∪ 𝑧) ⊆ 𝑤 ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
8070, 79bitrd 279 . . . . . . 7 (𝐹 Fn ℕ0 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹𝑧 ∈ ran 𝐹𝑤 ∈ ran 𝐹(𝑦𝑧) ⊆ 𝑤 ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
8119, 80syl 17 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹𝑧 ∈ ran 𝐹𝑤 ∈ ran 𝐹(𝑦𝑧) ⊆ 𝑤 ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
8265, 81mpbird 257 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐹𝑧 ∈ ran 𝐹𝑤 ∈ ran 𝐹(𝑦𝑧) ⊆ 𝑤)
83 isipodrs 18491 . . . . 5 ((toInc‘ran 𝐹) ∈ Dirset ↔ (ran 𝐹 ∈ V ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹𝑧 ∈ ran 𝐹𝑤 ∈ ran 𝐹(𝑦𝑧) ⊆ 𝑤))
8417, 23, 82, 83syl3anbrc 1340 . . . 4 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → (toInc‘ran 𝐹) ∈ Dirset)
85 isnacs3 41903 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑦) ∈ Dirset → 𝑦𝑦)))
8685simprbi 496 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑦) ∈ Dirset → 𝑦𝑦))
87863ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑦) ∈ Dirset → 𝑦𝑦))
88 fveq2 6881 . . . . . . . 8 (𝑦 = ran 𝐹 → (toInc‘𝑦) = (toInc‘ran 𝐹))
8988eleq1d 2810 . . . . . . 7 (𝑦 = ran 𝐹 → ((toInc‘𝑦) ∈ Dirset ↔ (toInc‘ran 𝐹) ∈ Dirset))
90 unieq 4910 . . . . . . . 8 (𝑦 = ran 𝐹 𝑦 = ran 𝐹)
91 id 22 . . . . . . . 8 (𝑦 = ran 𝐹𝑦 = ran 𝐹)
9290, 91eleq12d 2819 . . . . . . 7 (𝑦 = ran 𝐹 → ( 𝑦𝑦 ran 𝐹 ∈ ran 𝐹))
9389, 92imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑦 = ran 𝐹 → (((toInc‘𝑦) ∈ Dirset → 𝑦𝑦) ↔ ((toInc‘ran 𝐹) ∈ Dirset → ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)))
9493rspcva 3602 . . . . 5 ((ran 𝐹 ∈ 𝒫 𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑦) ∈ Dirset → 𝑦𝑦)) → ((toInc‘ran 𝐹) ∈ Dirset → ran 𝐹 ∈ ran 𝐹))
9515, 87, 94syl2anc 583 . . . 4 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ((toInc‘ran 𝐹) ∈ Dirset → ran 𝐹 ∈ ran 𝐹))
9684, 95mpd 15 . . 3 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
97 fvelrnb 6942 . . . 4 (𝐹 Fn ℕ0 → ( ran 𝐹 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝐹𝑦) = ran 𝐹))
9819, 97syl 17 . . 3 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ( ran 𝐹 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝐹𝑦) = ran 𝐹))
9996, 98mpbid 231 . 2 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝐹𝑦) = ran 𝐹)
10010, 99reximddv 3163 1 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝐹𝑧) = (𝐹𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  wral 3053  wrex 3062  Vcvv 3466  cun 3938  wss 3940  c0 4314  𝒫 cpw 4594   cuni 4899   class class class wbr 5138  ran crn 5667   Fn wfn 6528  wf 6529  cfv 6533  (class class class)co 7401  cr 11104  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108  cle 11245  0cn0 12468  cz 12554  cuz 12818  Moorecmre 17524  Dirsetcdrs 18248  toInccipo 18481  NoeACScnacs 41895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17078  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-tset 17214  df-ple 17215  df-ocomp 17216  df-mre 17528  df-mrc 17529  df-acs 17531  df-proset 18249  df-drs 18250  df-poset 18267  df-ipo 18482  df-nacs 41896
This theorem is referenced by:  hbt  42327
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