Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nacsfix Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nacsfix 41064
Description: An increasing sequence of closed sets in a Noetherian-type closure system eventually fixates. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
nacsfix ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘¦))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐢,𝑦   𝑦,𝐹,𝑧   𝑧,𝑋,𝑦   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯)   𝑋(π‘₯)

Proof of Theorem nacsfix
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvssunirn 6880 . . . . 5 (πΉβ€˜π‘§) βŠ† βˆͺ ran 𝐹
2 simplrr 777 . . . . 5 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = βˆͺ ran 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = βˆͺ ran 𝐹)
31, 2sseqtrrid 4002 . . . 4 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = βˆͺ ran 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) βŠ† (πΉβ€˜π‘¦))
4 simpll3 1215 . . . . 5 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = βˆͺ ran 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1)))
5 simplrl 776 . . . . 5 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = βˆͺ ran 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
6 simpr 486 . . . . 5 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = βˆͺ ran 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)) β†’ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦))
7 incssnn0 41063 . . . . 5 ((βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘§))
84, 5, 6, 7syl3anc 1372 . . . 4 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = βˆͺ ran 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘§))
93, 8eqssd 3966 . . 3 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = βˆͺ ran 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘¦))
109ralrimiva 3144 . 2 (((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = βˆͺ ran 𝐹)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘¦))
11 frn 6680 . . . . . . . 8 (𝐹:β„•0⟢𝐢 β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝐢)
12113ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝐢)
13 elpw2g 5306 . . . . . . . 8 (𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) β†’ (ran 𝐹 ∈ 𝒫 𝐢 ↔ ran 𝐹 βŠ† 𝐢))
14133ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) β†’ (ran 𝐹 ∈ 𝒫 𝐢 ↔ ran 𝐹 βŠ† 𝐢))
1512, 14mpbird 257 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) β†’ ran 𝐹 ∈ 𝒫 𝐢)
16 elex 3466 . . . . . 6 (ran 𝐹 ∈ 𝒫 𝐢 β†’ ran 𝐹 ∈ V)
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) β†’ ran 𝐹 ∈ V)
18 ffn 6673 . . . . . . . 8 (𝐹:β„•0⟢𝐢 β†’ 𝐹 Fn β„•0)
19183ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) β†’ 𝐹 Fn β„•0)
20 0nn0 12435 . . . . . . 7 0 ∈ β„•0
21 fnfvelrn 7036 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn β„•0 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜0) ∈ ran 𝐹)
2219, 20, 21sylancl 587 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) β†’ (πΉβ€˜0) ∈ ran 𝐹)
2322ne0d 4300 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) β†’ ran 𝐹 β‰  βˆ…)
24 nn0re 12429 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ β„•0 β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
2524ad2antrl 727 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
26 nn0re 12429 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
2726ad2antll 728 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
28 simplrr 777 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ 𝑏 ∈ β„•0)
29 simpll3 1215 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1)))
30 simplrl 776 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ π‘Ž ∈ β„•0)
31 nn0z 12531 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž ∈ β„•0 β†’ π‘Ž ∈ β„€)
32 nn0z 12531 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ 𝑏 ∈ β„€)
33 eluz 12784 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝑏 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž) ↔ π‘Ž ≀ 𝑏))
3431, 32, 33syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (𝑏 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž) ↔ π‘Ž ≀ 𝑏))
3534biimpar 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ 𝑏 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž))
3635adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ 𝑏 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž))
37 incssnn0 41063 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1)) ∧ π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) βŠ† (πΉβ€˜π‘))
3829, 30, 36, 37syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) βŠ† (πΉβ€˜π‘))
39 ssequn1 4145 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜π‘Ž) βŠ† (πΉβ€˜π‘) ↔ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) = (πΉβ€˜π‘))
4038, 39sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) = (πΉβ€˜π‘))
41 eqimss 4005 . . . . . . . . . 10 (((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) = (πΉβ€˜π‘) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘))
43 fveq2 6847 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑏 β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘))
4443sseq2d 3981 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑏 β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘) ↔ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
4544rspcev 3584 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘))
4628, 42, 45syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘))
47 simplrl 776 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ β„•0)
48 simpll3 1215 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1)))
49 simplrr 777 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ 𝑏 ∈ β„•0)
50 eluz 12784 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (π‘Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ↔ 𝑏 ≀ π‘Ž))
5132, 31, 50syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (π‘Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ↔ 𝑏 ≀ π‘Ž))
5251biimpar 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
5352adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
54 incssnn0 41063 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1)) ∧ 𝑏 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜π‘) βŠ† (πΉβ€˜π‘Ž))
5548, 49, 53, 54syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ (πΉβ€˜π‘) βŠ† (πΉβ€˜π‘Ž))
56 ssequn2 4148 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜π‘) βŠ† (πΉβ€˜π‘Ž) ↔ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) = (πΉβ€˜π‘Ž))
5755, 56sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) = (πΉβ€˜π‘Ž))
58 eqimss 4005 . . . . . . . . . 10 (((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘Ž))
5957, 58syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘Ž))
60 fveq2 6847 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = π‘Ž β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘Ž))
6160sseq2d 3981 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = π‘Ž β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘) ↔ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘Ž)))
6261rspcev 3584 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ β„•0 ∧ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘Ž)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘))
6347, 59, 62syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘))
6425, 27, 46, 63lecasei 11268 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘))
6564ralrimivva 3198 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 βˆ€π‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘ ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘))
66 uneq1 4121 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ (𝑦 βˆͺ 𝑧) = ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑧))
6766sseq1d 3980 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ ((𝑦 βˆͺ 𝑧) βŠ† 𝑀 ↔ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑧) βŠ† 𝑀))
6867rexbidv 3176 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ran 𝐹(𝑦 βˆͺ 𝑧) βŠ† 𝑀 ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ran 𝐹((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑧) βŠ† 𝑀))
6968ralbidv 3175 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran πΉβˆƒπ‘€ ∈ ran 𝐹(𝑦 βˆͺ 𝑧) βŠ† 𝑀 ↔ βˆ€π‘§ ∈ ran πΉβˆƒπ‘€ ∈ ran 𝐹((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑧) βŠ† 𝑀))
7069ralrn 7043 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn β„•0 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβˆ€π‘§ ∈ ran πΉβˆƒπ‘€ ∈ ran 𝐹(𝑦 βˆͺ 𝑧) βŠ† 𝑀 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 βˆ€π‘§ ∈ ran πΉβˆƒπ‘€ ∈ ran 𝐹((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑧) βŠ† 𝑀))
71 uneq2 4122 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑧) = ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)))
7271sseq1d 3980 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑧) βŠ† 𝑀 ↔ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† 𝑀))
7372rexbidv 3176 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ran 𝐹((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑧) βŠ† 𝑀 ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ran 𝐹((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† 𝑀))
7473ralrn 7043 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn β„•0 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran πΉβˆƒπ‘€ ∈ ran 𝐹((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑧) βŠ† 𝑀 ↔ βˆ€π‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘€ ∈ ran 𝐹((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† 𝑀))
75 sseq2 3975 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = (πΉβ€˜π‘) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† 𝑀 ↔ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
7675rexrn 7042 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn β„•0 β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ran 𝐹((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† 𝑀 ↔ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
7776ralbidv 3175 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn β„•0 β†’ (βˆ€π‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘€ ∈ ran 𝐹((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† 𝑀 ↔ βˆ€π‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘ ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
7874, 77bitrd 279 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn β„•0 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran πΉβˆƒπ‘€ ∈ ran 𝐹((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑧) βŠ† 𝑀 ↔ βˆ€π‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘ ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
7978ralbidv 3175 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn β„•0 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 βˆ€π‘§ ∈ ran πΉβˆƒπ‘€ ∈ ran 𝐹((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑧) βŠ† 𝑀 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 βˆ€π‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘ ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
8070, 79bitrd 279 . . . . . . 7 (𝐹 Fn β„•0 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβˆ€π‘§ ∈ ran πΉβˆƒπ‘€ ∈ ran 𝐹(𝑦 βˆͺ 𝑧) βŠ† 𝑀 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 βˆ€π‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘ ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
8119, 80syl 17 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβˆ€π‘§ ∈ ran πΉβˆƒπ‘€ ∈ ran 𝐹(𝑦 βˆͺ 𝑧) βŠ† 𝑀 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 βˆ€π‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘ ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
8265, 81mpbird 257 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβˆ€π‘§ ∈ ran πΉβˆƒπ‘€ ∈ ran 𝐹(𝑦 βˆͺ 𝑧) βŠ† 𝑀)
83 isipodrs 18433 . . . . 5 ((toIncβ€˜ran 𝐹) ∈ Dirset ↔ (ran 𝐹 ∈ V ∧ ran 𝐹 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβˆ€π‘§ ∈ ran πΉβˆƒπ‘€ ∈ ran 𝐹(𝑦 βˆͺ 𝑧) βŠ† 𝑀))
8417, 23, 82, 83syl3anbrc 1344 . . . 4 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) β†’ (toIncβ€˜ran 𝐹) ∈ Dirset)
85 isnacs3 41062 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ↔ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘¦) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑦)))
8685simprbi 498 . . . . . 6 (𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘¦) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑦))
87863ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘¦) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑦))
88 fveq2 6847 . . . . . . . 8 (𝑦 = ran 𝐹 β†’ (toIncβ€˜π‘¦) = (toIncβ€˜ran 𝐹))
8988eleq1d 2823 . . . . . . 7 (𝑦 = ran 𝐹 β†’ ((toIncβ€˜π‘¦) ∈ Dirset ↔ (toIncβ€˜ran 𝐹) ∈ Dirset))
90 unieq 4881 . . . . . . . 8 (𝑦 = ran 𝐹 β†’ βˆͺ 𝑦 = βˆͺ ran 𝐹)
91 id 22 . . . . . . . 8 (𝑦 = ran 𝐹 β†’ 𝑦 = ran 𝐹)
9290, 91eleq12d 2832 . . . . . . 7 (𝑦 = ran 𝐹 β†’ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑦 ↔ βˆͺ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹))
9389, 92imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑦 = ran 𝐹 β†’ (((toIncβ€˜π‘¦) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑦) ↔ ((toIncβ€˜ran 𝐹) ∈ Dirset β†’ βˆͺ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)))
9493rspcva 3582 . . . . 5 ((ran 𝐹 ∈ 𝒫 𝐢 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘¦) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑦)) β†’ ((toIncβ€˜ran 𝐹) ∈ Dirset β†’ βˆͺ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹))
9515, 87, 94syl2anc 585 . . . 4 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) β†’ ((toIncβ€˜ran 𝐹) ∈ Dirset β†’ βˆͺ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹))
9684, 95mpd 15 . . 3 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) β†’ βˆͺ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
97 fvelrnb 6908 . . . 4 (𝐹 Fn β„•0 β†’ (βˆͺ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘¦) = βˆͺ ran 𝐹))
9819, 97syl 17 . . 3 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) β†’ (βˆͺ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘¦) = βˆͺ ran 𝐹))
9996, 98mpbid 231 . 2 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘¦) = βˆͺ ran 𝐹)
10010, 99reximddv 3169 1 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘¦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   βˆͺ cun 3913   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  π’« cpw 4565  βˆͺ cuni 4870   class class class wbr 5110  ran crn 5639   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ≀ cle 11197  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  Moorecmre 17469  Dirsetcdrs 18190  toInccipo 18423  NoeACScnacs 41054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-struct 17026  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ocomp 17161  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-proset 18191  df-drs 18192  df-poset 18209  df-ipo 18424  df-nacs 41055
This theorem is referenced by:  hbt  41486
  Copyright terms: Public domain W3C validator