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Theorem nacsfix 39299
 Description: An increasing sequence of closed sets in a Noetherian-type closure system eventually fixates. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
nacsfix ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝐹𝑧) = (𝐹𝑦))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐶,𝑦   𝑦,𝐹,𝑧   𝑧,𝑋,𝑦   𝑥,𝑦,𝑧,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem nacsfix
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvssunirn 6692 . . . . 5 (𝐹𝑧) ⊆ ran 𝐹
2 simplrr 776 . . . . 5 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑦) = ran 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → (𝐹𝑦) = ran 𝐹)
31, 2sseqtrrid 4018 . . . 4 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑦) = ran 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → (𝐹𝑧) ⊆ (𝐹𝑦))
4 simpll3 1208 . . . . 5 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑦) = ran 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
5 simplrl 775 . . . . 5 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑦) = ran 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
6 simpr 487 . . . . 5 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑦) = ran 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → 𝑧 ∈ (ℤ𝑦))
7 incssnn0 39298 . . . . 5 ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → (𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑧))
84, 5, 6, 7syl3anc 1365 . . . 4 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑦) = ran 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → (𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑧))
93, 8eqssd 3982 . . 3 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑦) = ran 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑦))
109ralrimiva 3180 . 2 (((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑦) = ran 𝐹)) → ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝐹𝑧) = (𝐹𝑦))
11 frn 6513 . . . . . . . 8 (𝐹:ℕ0𝐶 → ran 𝐹𝐶)
12113ad2ant2 1128 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ran 𝐹𝐶)
13 elpw2g 5238 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) → (ran 𝐹 ∈ 𝒫 𝐶 ↔ ran 𝐹𝐶))
14133ad2ant1 1127 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → (ran 𝐹 ∈ 𝒫 𝐶 ↔ ran 𝐹𝐶))
1512, 14mpbird 259 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ran 𝐹 ∈ 𝒫 𝐶)
16 elex 3511 . . . . . 6 (ran 𝐹 ∈ 𝒫 𝐶 → ran 𝐹 ∈ V)
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ran 𝐹 ∈ V)
18 ffn 6507 . . . . . . . 8 (𝐹:ℕ0𝐶𝐹 Fn ℕ0)
19183ad2ant2 1128 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → 𝐹 Fn ℕ0)
20 0nn0 11904 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
21 fnfvelrn 6841 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐹‘0) ∈ ran 𝐹)
2219, 20, 21sylancl 588 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → (𝐹‘0) ∈ ran 𝐹)
2322ne0d 4299 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ran 𝐹 ≠ ∅)
24 nn0re 11898 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℝ)
2524ad2antrl 726 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝑎 ∈ ℝ)
26 nn0re 11898 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℝ)
2726ad2antll 727 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝑏 ∈ ℝ)
28 simplrr 776 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑎𝑏) → 𝑏 ∈ ℕ0)
29 simpll3 1208 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑎𝑏) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
30 simplrl 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑎𝑏) → 𝑎 ∈ ℕ0)
31 nn0z 11997 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℤ)
32 nn0z 11997 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)
33 eluz 12249 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑏 ∈ (ℤ𝑎) ↔ 𝑎𝑏))
3431, 32, 33syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ (ℤ𝑎) ↔ 𝑎𝑏))
3534biimpar 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎𝑏) → 𝑏 ∈ (ℤ𝑎))
3635adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑎𝑏) → 𝑏 ∈ (ℤ𝑎))
37 incssnn0 39298 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (ℤ𝑎)) → (𝐹𝑎) ⊆ (𝐹𝑏))
3829, 30, 36, 37syl3anc 1365 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑎𝑏) → (𝐹𝑎) ⊆ (𝐹𝑏))
39 ssequn1 4154 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑎) ⊆ (𝐹𝑏) ↔ ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) = (𝐹𝑏))
4038, 39sylib 220 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑎𝑏) → ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) = (𝐹𝑏))
41 eqimss 4021 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) = (𝐹𝑏) → ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑏))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑎𝑏) → ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑏))
43 fveq2 6663 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑏 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝑏))
4443sseq2d 3997 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑏 → (((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐) ↔ ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑏)))
4544rspcev 3621 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑏)) → ∃𝑐 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐))
4628, 42, 45syl2anc 586 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑎𝑏) → ∃𝑐 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐))
47 simplrl 775 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑏𝑎) → 𝑎 ∈ ℕ0)
48 simpll3 1208 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑏𝑎) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
49 simplrr 776 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑏𝑎) → 𝑏 ∈ ℕ0)
50 eluz 12249 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ (ℤ𝑏) ↔ 𝑏𝑎))
5132, 31, 50syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑎 ∈ (ℤ𝑏) ↔ 𝑏𝑎))
5251biimpar 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝑎) → 𝑎 ∈ (ℤ𝑏))
5352adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑏𝑎) → 𝑎 ∈ (ℤ𝑏))
54 incssnn0 39298 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ𝑏)) → (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹𝑎))
5548, 49, 53, 54syl3anc 1365 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑏𝑎) → (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹𝑎))
56 ssequn2 4157 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑏) ⊆ (𝐹𝑎) ↔ ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) = (𝐹𝑎))
5755, 56sylib 220 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑏𝑎) → ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) = (𝐹𝑎))
58 eqimss 4021 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) = (𝐹𝑎) → ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑎))
5957, 58syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑏𝑎) → ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑎))
60 fveq2 6663 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑎 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝑎))
6160sseq2d 3997 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑎 → (((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐) ↔ ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑎)))
6261rspcev 3621 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑎)) → ∃𝑐 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐))
6347, 59, 62syl2anc 586 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑏𝑎) → ∃𝑐 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐))
6425, 27, 46, 63lecasei 10738 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) → ∃𝑐 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐))
6564ralrimivva 3189 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ∀𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐))
66 uneq1 4130 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐹𝑎) → (𝑦𝑧) = ((𝐹𝑎) ∪ 𝑧))
6766sseq1d 3996 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐹𝑎) → ((𝑦𝑧) ⊆ 𝑤 ↔ ((𝐹𝑎) ∪ 𝑧) ⊆ 𝑤))
6867rexbidv 3295 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑎) → (∃𝑤 ∈ ran 𝐹(𝑦𝑧) ⊆ 𝑤 ↔ ∃𝑤 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎) ∪ 𝑧) ⊆ 𝑤))
6968ralbidv 3195 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑎) → (∀𝑧 ∈ ran 𝐹𝑤 ∈ ran 𝐹(𝑦𝑧) ⊆ 𝑤 ↔ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹𝑤 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎) ∪ 𝑧) ⊆ 𝑤))
7069ralrn 6847 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn ℕ0 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹𝑧 ∈ ran 𝐹𝑤 ∈ ran 𝐹(𝑦𝑧) ⊆ 𝑤 ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ran 𝐹𝑤 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎) ∪ 𝑧) ⊆ 𝑤))
71 uneq2 4131 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝐹𝑏) → ((𝐹𝑎) ∪ 𝑧) = ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)))
7271sseq1d 3996 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝐹𝑏) → (((𝐹𝑎) ∪ 𝑧) ⊆ 𝑤 ↔ ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑤))
7372rexbidv 3295 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝐹𝑏) → (∃𝑤 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎) ∪ 𝑧) ⊆ 𝑤 ↔ ∃𝑤 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑤))
7473ralrn 6847 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn ℕ0 → (∀𝑧 ∈ ran 𝐹𝑤 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎) ∪ 𝑧) ⊆ 𝑤 ↔ ∀𝑏 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑤))
75 sseq2 3991 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝐹𝑐) → (((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑤 ↔ ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
7675rexrn 6846 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn ℕ0 → (∃𝑤 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑤 ↔ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
7776ralbidv 3195 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn ℕ0 → (∀𝑏 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑤 ↔ ∀𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
7874, 77bitrd 281 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn ℕ0 → (∀𝑧 ∈ ran 𝐹𝑤 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎) ∪ 𝑧) ⊆ 𝑤 ↔ ∀𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
7978ralbidv 3195 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn ℕ0 → (∀𝑎 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ran 𝐹𝑤 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎) ∪ 𝑧) ⊆ 𝑤 ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
8070, 79bitrd 281 . . . . . . 7 (𝐹 Fn ℕ0 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹𝑧 ∈ ran 𝐹𝑤 ∈ ran 𝐹(𝑦𝑧) ⊆ 𝑤 ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
8119, 80syl 17 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹𝑧 ∈ ran 𝐹𝑤 ∈ ran 𝐹(𝑦𝑧) ⊆ 𝑤 ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
8265, 81mpbird 259 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐹𝑧 ∈ ran 𝐹𝑤 ∈ ran 𝐹(𝑦𝑧) ⊆ 𝑤)
83 isipodrs 17763 . . . . 5 ((toInc‘ran 𝐹) ∈ Dirset ↔ (ran 𝐹 ∈ V ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹𝑧 ∈ ran 𝐹𝑤 ∈ ran 𝐹(𝑦𝑧) ⊆ 𝑤))
8417, 23, 82, 83syl3anbrc 1337 . . . 4 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → (toInc‘ran 𝐹) ∈ Dirset)
85 isnacs3 39297 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑦) ∈ Dirset → 𝑦𝑦)))
8685simprbi 499 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑦) ∈ Dirset → 𝑦𝑦))
87863ad2ant1 1127 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑦) ∈ Dirset → 𝑦𝑦))
88 fveq2 6663 . . . . . . . 8 (𝑦 = ran 𝐹 → (toInc‘𝑦) = (toInc‘ran 𝐹))
8988eleq1d 2895 . . . . . . 7 (𝑦 = ran 𝐹 → ((toInc‘𝑦) ∈ Dirset ↔ (toInc‘ran 𝐹) ∈ Dirset))
90 unieq 4838 . . . . . . . 8 (𝑦 = ran 𝐹 𝑦 = ran 𝐹)
91 id 22 . . . . . . . 8 (𝑦 = ran 𝐹𝑦 = ran 𝐹)
9290, 91eleq12d 2905 . . . . . . 7 (𝑦 = ran 𝐹 → ( 𝑦𝑦 ran 𝐹 ∈ ran 𝐹))
9389, 92imbi12d 347 . . . . . 6 (𝑦 = ran 𝐹 → (((toInc‘𝑦) ∈ Dirset → 𝑦𝑦) ↔ ((toInc‘ran 𝐹) ∈ Dirset → ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)))
9493rspcva 3619 . . . . 5 ((ran 𝐹 ∈ 𝒫 𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑦) ∈ Dirset → 𝑦𝑦)) → ((toInc‘ran 𝐹) ∈ Dirset → ran 𝐹 ∈ ran 𝐹))
9515, 87, 94syl2anc 586 . . . 4 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ((toInc‘ran 𝐹) ∈ Dirset → ran 𝐹 ∈ ran 𝐹))
9684, 95mpd 15 . . 3 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
97 fvelrnb 6719 . . . 4 (𝐹 Fn ℕ0 → ( ran 𝐹 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝐹𝑦) = ran 𝐹))
9819, 97syl 17 . . 3 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ( ran 𝐹 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝐹𝑦) = ran 𝐹))
9996, 98mpbid 234 . 2 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝐹𝑦) = ran 𝐹)
10010, 99reximddv 3273 1 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝐹𝑧) = (𝐹𝑦))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3014  ∀wral 3136  ∃wrex 3137  Vcvv 3493   ∪ cun 3932   ⊆ wss 3934  ∅c0 4289  𝒫 cpw 4537  ∪ cuni 4830   class class class wbr 5057  ran crn 5549   Fn wfn 6343  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   ≤ cle 10668  ℕ0cn0 11889  ℤcz 11973  ℤ≥cuz 12235  Moorecmre 16845  Dirsetcdrs 17529  toInccipo 17753  NoeACScnacs 39289 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12885  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ocomp 16578  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-proset 17530  df-drs 17531  df-poset 17548  df-ipo 17754  df-nacs 39290 This theorem is referenced by:  hbt  39720
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