Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nacsfix Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nacsfix 41752
Description: An increasing sequence of closed sets in a Noetherian-type closure system eventually fixates. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
nacsfix ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘¦))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐢,𝑦   𝑦,𝐹,𝑧   𝑧,𝑋,𝑦   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯)   𝑋(π‘₯)

Proof of Theorem nacsfix
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvssunirn 6924 . . . . 5 (πΉβ€˜π‘§) βŠ† βˆͺ ran 𝐹
2 simplrr 776 . . . . 5 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = βˆͺ ran 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = βˆͺ ran 𝐹)
31, 2sseqtrrid 4035 . . . 4 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = βˆͺ ran 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) βŠ† (πΉβ€˜π‘¦))
4 simpll3 1214 . . . . 5 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = βˆͺ ran 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1)))
5 simplrl 775 . . . . 5 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = βˆͺ ran 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
6 simpr 485 . . . . 5 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = βˆͺ ran 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)) β†’ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦))
7 incssnn0 41751 . . . . 5 ((βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1)) ∧ 𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘§))
84, 5, 6, 7syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = βˆͺ ran 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘§))
93, 8eqssd 3999 . . 3 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = βˆͺ ran 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘¦))
109ralrimiva 3146 . 2 (((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = βˆͺ ran 𝐹)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘¦))
11 frn 6724 . . . . . . . 8 (𝐹:β„•0⟢𝐢 β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝐢)
12113ad2ant2 1134 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝐢)
13 elpw2g 5344 . . . . . . . 8 (𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) β†’ (ran 𝐹 ∈ 𝒫 𝐢 ↔ ran 𝐹 βŠ† 𝐢))
14133ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) β†’ (ran 𝐹 ∈ 𝒫 𝐢 ↔ ran 𝐹 βŠ† 𝐢))
1512, 14mpbird 256 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) β†’ ran 𝐹 ∈ 𝒫 𝐢)
16 elex 3492 . . . . . 6 (ran 𝐹 ∈ 𝒫 𝐢 β†’ ran 𝐹 ∈ V)
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) β†’ ran 𝐹 ∈ V)
18 ffn 6717 . . . . . . . 8 (𝐹:β„•0⟢𝐢 β†’ 𝐹 Fn β„•0)
19183ad2ant2 1134 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) β†’ 𝐹 Fn β„•0)
20 0nn0 12491 . . . . . . 7 0 ∈ β„•0
21 fnfvelrn 7082 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn β„•0 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜0) ∈ ran 𝐹)
2219, 20, 21sylancl 586 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) β†’ (πΉβ€˜0) ∈ ran 𝐹)
2322ne0d 4335 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) β†’ ran 𝐹 β‰  βˆ…)
24 nn0re 12485 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ β„•0 β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
2524ad2antrl 726 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
26 nn0re 12485 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
2726ad2antll 727 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
28 simplrr 776 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ 𝑏 ∈ β„•0)
29 simpll3 1214 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1)))
30 simplrl 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ π‘Ž ∈ β„•0)
31 nn0z 12587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž ∈ β„•0 β†’ π‘Ž ∈ β„€)
32 nn0z 12587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ 𝑏 ∈ β„€)
33 eluz 12840 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝑏 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž) ↔ π‘Ž ≀ 𝑏))
3431, 32, 33syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (𝑏 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž) ↔ π‘Ž ≀ 𝑏))
3534biimpar 478 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ 𝑏 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž))
3635adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ 𝑏 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž))
37 incssnn0 41751 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1)) ∧ π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘Ž)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) βŠ† (πΉβ€˜π‘))
3829, 30, 36, 37syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) βŠ† (πΉβ€˜π‘))
39 ssequn1 4180 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜π‘Ž) βŠ† (πΉβ€˜π‘) ↔ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) = (πΉβ€˜π‘))
4038, 39sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) = (πΉβ€˜π‘))
41 eqimss 4040 . . . . . . . . . 10 (((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) = (πΉβ€˜π‘) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘))
43 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑏 β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘))
4443sseq2d 4014 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑏 β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘) ↔ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
4544rspcev 3612 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘))
4628, 42, 45syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘))
47 simplrl 775 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ β„•0)
48 simpll3 1214 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1)))
49 simplrr 776 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ 𝑏 ∈ β„•0)
50 eluz 12840 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (π‘Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ↔ 𝑏 ≀ π‘Ž))
5132, 31, 50syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (π‘Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ↔ 𝑏 ≀ π‘Ž))
5251biimpar 478 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
5352adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
54 incssnn0 41751 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1)) ∧ 𝑏 ∈ β„•0 ∧ π‘Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜π‘) βŠ† (πΉβ€˜π‘Ž))
5548, 49, 53, 54syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ (πΉβ€˜π‘) βŠ† (πΉβ€˜π‘Ž))
56 ssequn2 4183 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜π‘) βŠ† (πΉβ€˜π‘Ž) ↔ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) = (πΉβ€˜π‘Ž))
5755, 56sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) = (πΉβ€˜π‘Ž))
58 eqimss 4040 . . . . . . . . . 10 (((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘Ž))
5957, 58syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘Ž))
60 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = π‘Ž β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘Ž))
6160sseq2d 4014 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = π‘Ž β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘) ↔ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘Ž)))
6261rspcev 3612 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ β„•0 ∧ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘Ž)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘))
6347, 59, 62syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘))
6425, 27, 46, 63lecasei 11324 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•0)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘))
6564ralrimivva 3200 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 βˆ€π‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘ ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘))
66 uneq1 4156 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ (𝑦 βˆͺ 𝑧) = ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑧))
6766sseq1d 4013 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ ((𝑦 βˆͺ 𝑧) βŠ† 𝑀 ↔ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑧) βŠ† 𝑀))
6867rexbidv 3178 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ran 𝐹(𝑦 βˆͺ 𝑧) βŠ† 𝑀 ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ran 𝐹((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑧) βŠ† 𝑀))
6968ralbidv 3177 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran πΉβˆƒπ‘€ ∈ ran 𝐹(𝑦 βˆͺ 𝑧) βŠ† 𝑀 ↔ βˆ€π‘§ ∈ ran πΉβˆƒπ‘€ ∈ ran 𝐹((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑧) βŠ† 𝑀))
7069ralrn 7089 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn β„•0 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβˆ€π‘§ ∈ ran πΉβˆƒπ‘€ ∈ ran 𝐹(𝑦 βˆͺ 𝑧) βŠ† 𝑀 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 βˆ€π‘§ ∈ ran πΉβˆƒπ‘€ ∈ ran 𝐹((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑧) βŠ† 𝑀))
71 uneq2 4157 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑧) = ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)))
7271sseq1d 4013 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑧) βŠ† 𝑀 ↔ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† 𝑀))
7372rexbidv 3178 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ran 𝐹((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑧) βŠ† 𝑀 ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ran 𝐹((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† 𝑀))
7473ralrn 7089 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn β„•0 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran πΉβˆƒπ‘€ ∈ ran 𝐹((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑧) βŠ† 𝑀 ↔ βˆ€π‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘€ ∈ ran 𝐹((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† 𝑀))
75 sseq2 4008 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = (πΉβ€˜π‘) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† 𝑀 ↔ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
7675rexrn 7088 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn β„•0 β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ran 𝐹((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† 𝑀 ↔ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
7776ralbidv 3177 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn β„•0 β†’ (βˆ€π‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘€ ∈ ran 𝐹((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† 𝑀 ↔ βˆ€π‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘ ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
7874, 77bitrd 278 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn β„•0 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran πΉβˆƒπ‘€ ∈ ran 𝐹((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑧) βŠ† 𝑀 ↔ βˆ€π‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘ ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
7978ralbidv 3177 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn β„•0 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 βˆ€π‘§ ∈ ran πΉβˆƒπ‘€ ∈ ran 𝐹((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑧) βŠ† 𝑀 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 βˆ€π‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘ ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
8070, 79bitrd 278 . . . . . . 7 (𝐹 Fn β„•0 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβˆ€π‘§ ∈ ran πΉβˆƒπ‘€ ∈ ran 𝐹(𝑦 βˆͺ 𝑧) βŠ† 𝑀 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 βˆ€π‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘ ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
8119, 80syl 17 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβˆ€π‘§ ∈ ran πΉβˆƒπ‘€ ∈ ran 𝐹(𝑦 βˆͺ 𝑧) βŠ† 𝑀 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ β„•0 βˆ€π‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘ ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
8265, 81mpbird 256 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβˆ€π‘§ ∈ ran πΉβˆƒπ‘€ ∈ ran 𝐹(𝑦 βˆͺ 𝑧) βŠ† 𝑀)
83 isipodrs 18494 . . . . 5 ((toIncβ€˜ran 𝐹) ∈ Dirset ↔ (ran 𝐹 ∈ V ∧ ran 𝐹 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβˆ€π‘§ ∈ ran πΉβˆƒπ‘€ ∈ ran 𝐹(𝑦 βˆͺ 𝑧) βŠ† 𝑀))
8417, 23, 82, 83syl3anbrc 1343 . . . 4 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) β†’ (toIncβ€˜ran 𝐹) ∈ Dirset)
85 isnacs3 41750 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ↔ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘¦) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑦)))
8685simprbi 497 . . . . . 6 (𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘¦) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑦))
87863ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘¦) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑦))
88 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑦 = ran 𝐹 β†’ (toIncβ€˜π‘¦) = (toIncβ€˜ran 𝐹))
8988eleq1d 2818 . . . . . . 7 (𝑦 = ran 𝐹 β†’ ((toIncβ€˜π‘¦) ∈ Dirset ↔ (toIncβ€˜ran 𝐹) ∈ Dirset))
90 unieq 4919 . . . . . . . 8 (𝑦 = ran 𝐹 β†’ βˆͺ 𝑦 = βˆͺ ran 𝐹)
91 id 22 . . . . . . . 8 (𝑦 = ran 𝐹 β†’ 𝑦 = ran 𝐹)
9290, 91eleq12d 2827 . . . . . . 7 (𝑦 = ran 𝐹 β†’ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑦 ↔ βˆͺ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹))
9389, 92imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑦 = ran 𝐹 β†’ (((toIncβ€˜π‘¦) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑦) ↔ ((toIncβ€˜ran 𝐹) ∈ Dirset β†’ βˆͺ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)))
9493rspcva 3610 . . . . 5 ((ran 𝐹 ∈ 𝒫 𝐢 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘¦) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑦)) β†’ ((toIncβ€˜ran 𝐹) ∈ Dirset β†’ βˆͺ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹))
9515, 87, 94syl2anc 584 . . . 4 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) β†’ ((toIncβ€˜ran 𝐹) ∈ Dirset β†’ βˆͺ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹))
9684, 95mpd 15 . . 3 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) β†’ βˆͺ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
97 fvelrnb 6952 . . . 4 (𝐹 Fn β„•0 β†’ (βˆͺ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘¦) = βˆͺ ran 𝐹))
9819, 97syl 17 . . 3 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) β†’ (βˆͺ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘¦) = βˆͺ ran 𝐹))
9996, 98mpbid 231 . 2 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘¦) = βˆͺ ran 𝐹)
10010, 99reximddv 3171 1 ((𝐢 ∈ (NoeACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•0⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† (πΉβ€˜(π‘₯ + 1))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘¦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148  ran crn 5677   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ≀ cle 11253  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  Moorecmre 17530  Dirsetcdrs 18251  toInccipo 18484  NoeACScnacs 41742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ocomp 17222  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-proset 18252  df-drs 18253  df-poset 18270  df-ipo 18485  df-nacs 41743
This theorem is referenced by:  hbt  42174
  Copyright terms: Public domain W3C validator