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Theorem nacsfix 41021
Description: An increasing sequence of closed sets in a Noetherian-type closure system eventually fixates. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
nacsfix ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝐹𝑧) = (𝐹𝑦))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐶,𝑦   𝑦,𝐹,𝑧   𝑧,𝑋,𝑦   𝑥,𝑦,𝑧,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem nacsfix
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvssunirn 6875 . . . . 5 (𝐹𝑧) ⊆ ran 𝐹
2 simplrr 776 . . . . 5 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑦) = ran 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → (𝐹𝑦) = ran 𝐹)
31, 2sseqtrrid 3997 . . . 4 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑦) = ran 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → (𝐹𝑧) ⊆ (𝐹𝑦))
4 simpll3 1214 . . . . 5 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑦) = ran 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
5 simplrl 775 . . . . 5 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑦) = ran 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
6 simpr 485 . . . . 5 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑦) = ran 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → 𝑧 ∈ (ℤ𝑦))
7 incssnn0 41020 . . . . 5 ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → (𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑧))
84, 5, 6, 7syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑦) = ran 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → (𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑧))
93, 8eqssd 3961 . . 3 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑦) = ran 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑦))
109ralrimiva 3143 . 2 (((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑦) = ran 𝐹)) → ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝐹𝑧) = (𝐹𝑦))
11 frn 6675 . . . . . . . 8 (𝐹:ℕ0𝐶 → ran 𝐹𝐶)
12113ad2ant2 1134 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ran 𝐹𝐶)
13 elpw2g 5301 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) → (ran 𝐹 ∈ 𝒫 𝐶 ↔ ran 𝐹𝐶))
14133ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → (ran 𝐹 ∈ 𝒫 𝐶 ↔ ran 𝐹𝐶))
1512, 14mpbird 256 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ran 𝐹 ∈ 𝒫 𝐶)
16 elex 3463 . . . . . 6 (ran 𝐹 ∈ 𝒫 𝐶 → ran 𝐹 ∈ V)
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ran 𝐹 ∈ V)
18 ffn 6668 . . . . . . . 8 (𝐹:ℕ0𝐶𝐹 Fn ℕ0)
19183ad2ant2 1134 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → 𝐹 Fn ℕ0)
20 0nn0 12428 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
21 fnfvelrn 7031 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐹‘0) ∈ ran 𝐹)
2219, 20, 21sylancl 586 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → (𝐹‘0) ∈ ran 𝐹)
2322ne0d 4295 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ran 𝐹 ≠ ∅)
24 nn0re 12422 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℝ)
2524ad2antrl 726 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝑎 ∈ ℝ)
26 nn0re 12422 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℝ)
2726ad2antll 727 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝑏 ∈ ℝ)
28 simplrr 776 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑎𝑏) → 𝑏 ∈ ℕ0)
29 simpll3 1214 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑎𝑏) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
30 simplrl 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑎𝑏) → 𝑎 ∈ ℕ0)
31 nn0z 12524 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℤ)
32 nn0z 12524 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)
33 eluz 12777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑏 ∈ (ℤ𝑎) ↔ 𝑎𝑏))
3431, 32, 33syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ (ℤ𝑎) ↔ 𝑎𝑏))
3534biimpar 478 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎𝑏) → 𝑏 ∈ (ℤ𝑎))
3635adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑎𝑏) → 𝑏 ∈ (ℤ𝑎))
37 incssnn0 41020 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (ℤ𝑎)) → (𝐹𝑎) ⊆ (𝐹𝑏))
3829, 30, 36, 37syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑎𝑏) → (𝐹𝑎) ⊆ (𝐹𝑏))
39 ssequn1 4140 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑎) ⊆ (𝐹𝑏) ↔ ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) = (𝐹𝑏))
4038, 39sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑎𝑏) → ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) = (𝐹𝑏))
41 eqimss 4000 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) = (𝐹𝑏) → ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑏))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑎𝑏) → ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑏))
43 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑏 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝑏))
4443sseq2d 3976 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑏 → (((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐) ↔ ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑏)))
4544rspcev 3581 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑏)) → ∃𝑐 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐))
4628, 42, 45syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑎𝑏) → ∃𝑐 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐))
47 simplrl 775 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑏𝑎) → 𝑎 ∈ ℕ0)
48 simpll3 1214 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑏𝑎) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
49 simplrr 776 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑏𝑎) → 𝑏 ∈ ℕ0)
50 eluz 12777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ (ℤ𝑏) ↔ 𝑏𝑎))
5132, 31, 50syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑎 ∈ (ℤ𝑏) ↔ 𝑏𝑎))
5251biimpar 478 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝑎) → 𝑎 ∈ (ℤ𝑏))
5352adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑏𝑎) → 𝑎 ∈ (ℤ𝑏))
54 incssnn0 41020 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ𝑏)) → (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹𝑎))
5548, 49, 53, 54syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑏𝑎) → (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹𝑎))
56 ssequn2 4143 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑏) ⊆ (𝐹𝑎) ↔ ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) = (𝐹𝑎))
5755, 56sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑏𝑎) → ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) = (𝐹𝑎))
58 eqimss 4000 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) = (𝐹𝑎) → ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑎))
5957, 58syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑏𝑎) → ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑎))
60 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑎 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝑎))
6160sseq2d 3976 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑎 → (((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐) ↔ ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑎)))
6261rspcev 3581 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑎)) → ∃𝑐 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐))
6347, 59, 62syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑏𝑎) → ∃𝑐 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐))
6425, 27, 46, 63lecasei 11261 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) → ∃𝑐 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐))
6564ralrimivva 3197 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ∀𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐))
66 uneq1 4116 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐹𝑎) → (𝑦𝑧) = ((𝐹𝑎) ∪ 𝑧))
6766sseq1d 3975 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐹𝑎) → ((𝑦𝑧) ⊆ 𝑤 ↔ ((𝐹𝑎) ∪ 𝑧) ⊆ 𝑤))
6867rexbidv 3175 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑎) → (∃𝑤 ∈ ran 𝐹(𝑦𝑧) ⊆ 𝑤 ↔ ∃𝑤 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎) ∪ 𝑧) ⊆ 𝑤))
6968ralbidv 3174 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑎) → (∀𝑧 ∈ ran 𝐹𝑤 ∈ ran 𝐹(𝑦𝑧) ⊆ 𝑤 ↔ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹𝑤 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎) ∪ 𝑧) ⊆ 𝑤))
7069ralrn 7038 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn ℕ0 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹𝑧 ∈ ran 𝐹𝑤 ∈ ran 𝐹(𝑦𝑧) ⊆ 𝑤 ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ran 𝐹𝑤 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎) ∪ 𝑧) ⊆ 𝑤))
71 uneq2 4117 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝐹𝑏) → ((𝐹𝑎) ∪ 𝑧) = ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)))
7271sseq1d 3975 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝐹𝑏) → (((𝐹𝑎) ∪ 𝑧) ⊆ 𝑤 ↔ ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑤))
7372rexbidv 3175 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝐹𝑏) → (∃𝑤 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎) ∪ 𝑧) ⊆ 𝑤 ↔ ∃𝑤 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑤))
7473ralrn 7038 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn ℕ0 → (∀𝑧 ∈ ran 𝐹𝑤 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎) ∪ 𝑧) ⊆ 𝑤 ↔ ∀𝑏 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑤))
75 sseq2 3970 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝐹𝑐) → (((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑤 ↔ ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
7675rexrn 7037 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn ℕ0 → (∃𝑤 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑤 ↔ ∃𝑐 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
7776ralbidv 3174 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn ℕ0 → (∀𝑏 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑤 ↔ ∀𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
7874, 77bitrd 278 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn ℕ0 → (∀𝑧 ∈ ran 𝐹𝑤 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎) ∪ 𝑧) ⊆ 𝑤 ↔ ∀𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
7978ralbidv 3174 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn ℕ0 → (∀𝑎 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ran 𝐹𝑤 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎) ∪ 𝑧) ⊆ 𝑤 ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
8070, 79bitrd 278 . . . . . . 7 (𝐹 Fn ℕ0 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹𝑧 ∈ ran 𝐹𝑤 ∈ ran 𝐹(𝑦𝑧) ⊆ 𝑤 ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
8119, 80syl 17 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹𝑧 ∈ ran 𝐹𝑤 ∈ ran 𝐹(𝑦𝑧) ⊆ 𝑤 ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
8265, 81mpbird 256 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐹𝑧 ∈ ran 𝐹𝑤 ∈ ran 𝐹(𝑦𝑧) ⊆ 𝑤)
83 isipodrs 18426 . . . . 5 ((toInc‘ran 𝐹) ∈ Dirset ↔ (ran 𝐹 ∈ V ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹𝑧 ∈ ran 𝐹𝑤 ∈ ran 𝐹(𝑦𝑧) ⊆ 𝑤))
8417, 23, 82, 83syl3anbrc 1343 . . . 4 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → (toInc‘ran 𝐹) ∈ Dirset)
85 isnacs3 41019 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑦) ∈ Dirset → 𝑦𝑦)))
8685simprbi 497 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑦) ∈ Dirset → 𝑦𝑦))
87863ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑦) ∈ Dirset → 𝑦𝑦))
88 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑦 = ran 𝐹 → (toInc‘𝑦) = (toInc‘ran 𝐹))
8988eleq1d 2822 . . . . . . 7 (𝑦 = ran 𝐹 → ((toInc‘𝑦) ∈ Dirset ↔ (toInc‘ran 𝐹) ∈ Dirset))
90 unieq 4876 . . . . . . . 8 (𝑦 = ran 𝐹 𝑦 = ran 𝐹)
91 id 22 . . . . . . . 8 (𝑦 = ran 𝐹𝑦 = ran 𝐹)
9290, 91eleq12d 2832 . . . . . . 7 (𝑦 = ran 𝐹 → ( 𝑦𝑦 ran 𝐹 ∈ ran 𝐹))
9389, 92imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑦 = ran 𝐹 → (((toInc‘𝑦) ∈ Dirset → 𝑦𝑦) ↔ ((toInc‘ran 𝐹) ∈ Dirset → ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)))
9493rspcva 3579 . . . . 5 ((ran 𝐹 ∈ 𝒫 𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑦) ∈ Dirset → 𝑦𝑦)) → ((toInc‘ran 𝐹) ∈ Dirset → ran 𝐹 ∈ ran 𝐹))
9515, 87, 94syl2anc 584 . . . 4 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ((toInc‘ran 𝐹) ∈ Dirset → ran 𝐹 ∈ ran 𝐹))
9684, 95mpd 15 . . 3 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
97 fvelrnb 6903 . . . 4 (𝐹 Fn ℕ0 → ( ran 𝐹 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝐹𝑦) = ran 𝐹))
9819, 97syl 17 . . 3 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ( ran 𝐹 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝐹𝑦) = ran 𝐹))
9996, 98mpbid 231 . 2 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝐹𝑦) = ran 𝐹)
10010, 99reximddv 3168 1 ((𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ0𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝐹𝑧) = (𝐹𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  cun 3908  wss 3910  c0 4282  𝒫 cpw 4560   cuni 4865   class class class wbr 5105  ran crn 5634   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  cle 11190  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  Moorecmre 17462  Dirsetcdrs 18183  toInccipo 18416  NoeACScnacs 41011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ocomp 17154  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-proset 18184  df-drs 18185  df-poset 18202  df-ipo 18417  df-nacs 41012
This theorem is referenced by:  hbt  41443
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