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Theorem sumss 15670
Description: Change the index set to a subset in an upper integer sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sumss.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
sumss.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
sumss.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 = 0)
sumss.4 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
sumss (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   𝐡,π‘˜   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐢(π‘˜)

Proof of Theorem sumss
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . 5 (β„€β‰₯β€˜π‘€) = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 sumss.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
4 sumss.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
53, 4sstrd 3993 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
65adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
7 nfcv 2904 . . . . . . 7 β„²π‘˜π‘š
8 nffvmpt1 6903 . . . . . . . 8 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘š)
9 nfv 1918 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜ π‘š ∈ 𝐴
10 nffvmpt1 6903 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š)
11 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜0
129, 10, 11nfif 4559 . . . . . . . 8 β„²π‘˜if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 0)
138, 12nfeq 2917 . . . . . . 7 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 0)
14 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘š β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘š))
15 eleq1w 2817 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = π‘š β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↔ π‘š ∈ 𝐴))
16 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = π‘š β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š))
1715, 16ifbieq1d 4553 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘š β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 0))
1814, 17eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (π‘˜ = π‘š β†’ (((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) ↔ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 0)))
19 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) = (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))
2019fvmpt2i 7009 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘˜) = ( I β€˜if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)))
21 iftrue 4535 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) = 𝐢)
2221fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ ( I β€˜if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) = ( I β€˜πΆ))
2320, 22sylan9eq 2793 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘˜) = ( I β€˜πΆ))
24 iftrue 4535 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜))
25 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)
2625fvmpt2i 7009 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜) = ( I β€˜πΆ))
2724, 26eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = ( I β€˜πΆ))
2827adantl 483 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = ( I β€˜πΆ))
2923, 28eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0))
30 iffalse 4538 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) = 0)
3130fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ ( I β€˜if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) = ( I β€˜0))
32 0z 12569 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ β„€
33 fvi 6968 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ β„€ β†’ ( I β€˜0) = 0)
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ( I β€˜0) = 0
3531, 34eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ ( I β€˜if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) = 0)
3620, 35sylan9eq 2793 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘˜) = 0)
37 iffalse 4538 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = 0)
3837adantl 483 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = 0)
3936, 38eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0))
4029, 39pm2.61dan 812 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0))
417, 13, 18, 40vtoclgaf 3565 . . . . . 6 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 0))
4241adantl 483 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 0))
43 sumss.2 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
4443fmpttd 7115 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚)
4544adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚)
4645ffvelcdmda 7087 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
471, 2, 6, 42, 46zsum 15664 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)))))
484adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐡 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
49 nfv 1918 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜πœ‘
50 nfv 1918 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜ π‘š ∈ 𝐡
51 nffvmpt1 6903 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š)
5250, 51, 11nfif 4559 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 0)
538, 52nfeq 2917 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 0)
5449, 53nfim 1900 . . . . . . . 8 β„²π‘˜(πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 0))
55 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = π‘š β†’ (π‘˜ ∈ 𝐡 ↔ π‘š ∈ 𝐡))
56 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = π‘š β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š))
5755, 56ifbieq1d 4553 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = π‘š β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 0))
5814, 57eqeq12d 2749 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = π‘š β†’ (((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) ↔ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 0)))
5958imbi2d 341 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘š β†’ ((πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0)) ↔ (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 0))))
6023adantll 713 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘˜) = ( I β€˜πΆ))
613adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
6261sselda 3983 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ π‘˜ ∈ 𝐡)
63 iftrue 4535 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ 𝐡 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜))
64 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)
6564fvmpt2i 7009 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ 𝐡 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜) = ( I β€˜πΆ))
6663, 65eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ 𝐡 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = ( I β€˜πΆ))
6762, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = ( I β€˜πΆ))
6860, 67eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0))
6936adantll 713 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘˜) = 0)
7066ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴)) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = ( I β€˜πΆ))
71 eldif 3959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴))
72 sumss.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 = 0)
7372fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ ( I β€˜πΆ) = ( I β€˜0))
74 0cn 11206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ β„‚
75 fvi 6968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 ∈ β„‚ β†’ ( I β€˜0) = 0)
7674, 75ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( I β€˜0) = 0
7773, 76eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ ( I β€˜πΆ) = 0)
7871, 77sylan2br 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴)) β†’ ( I β€˜πΆ) = 0)
7970, 78eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴)) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = 0)
8079expr 458 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = 0))
81 iffalse 4538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ π‘˜ ∈ 𝐡 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = 0)
8281adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = 0)
8382a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = 0))
8480, 83pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = 0))
8584adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = 0))
8685imp 408 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = 0)
8769, 86eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0))
8868, 87pm2.61dan 812 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0))
8988expcom 415 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0)))
907, 54, 59, 89vtoclgaf 3565 . . . . . . 7 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 0)))
9190impcom 409 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 0))
9291adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 0))
9343ex 414 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ 𝐢 ∈ β„‚))
9493adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ 𝐢 ∈ β„‚))
9572, 74eqeltrdi 2842 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
9671, 95sylan2br 596 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
9796expr 458 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ 𝐢 ∈ β„‚))
9894, 97pm2.61d 179 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
9998fmpttd 7115 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢):π΅βŸΆβ„‚)
10099adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢):π΅βŸΆβ„‚)
101100ffvelcdmda 7087 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
1021, 2, 48, 92, 101zsum 15664 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐡 ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)))))
10347, 102eqtr4d 2776 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = Ξ£π‘š ∈ 𝐡 ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š))
104 sumfc 15655 . . 3 Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢
105 sumfc 15655 . . 3 Ξ£π‘š ∈ 𝐡 ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢
106103, 104, 1053eqtr3g 2796 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
1073adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
108 uzf 12825 . . . . . . . . . . . 12 β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€
109108fdmi 6730 . . . . . . . . . . 11 dom β„€β‰₯ = β„€
110109eleq2i 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ dom β„€β‰₯ ↔ 𝑀 ∈ β„€)
111 ndmfv 6927 . . . . . . . . . 10 (Β¬ 𝑀 ∈ dom β„€β‰₯ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘€) = βˆ…)
112110, 111sylnbir 331 . . . . . . . . 9 (Β¬ 𝑀 ∈ β„€ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘€) = βˆ…)
113112sseq2d 4015 . . . . . . . 8 (Β¬ 𝑀 ∈ β„€ β†’ (𝐡 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↔ 𝐡 βŠ† βˆ…))
1144, 113imbitrid 243 . . . . . . 7 (Β¬ 𝑀 ∈ β„€ β†’ (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† βˆ…))
115114impcom 409 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐡 βŠ† βˆ…)
116107, 115sstrd 3993 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐴 βŠ† βˆ…)
117 ss0 4399 . . . . 5 (𝐴 βŠ† βˆ… β†’ 𝐴 = βˆ…)
118116, 117syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐴 = βˆ…)
119 ss0 4399 . . . . 5 (𝐡 βŠ† βˆ… β†’ 𝐡 = βˆ…)
120115, 119syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐡 = βˆ…)
121118, 120eqtr4d 2776 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐴 = 𝐡)
122121sumeq1d 15647 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
123106, 122pm2.61dan 812 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  π’« cpw 4603   ↦ cmpt 5232   I cid 5574  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  β„‚cc 11108  0cc0 11110   + caddc 11113  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  seqcseq 13966   ⇝ cli 15428  Ξ£csu 15632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633
This theorem is referenced by:  fsumss  15671  sumss2  15672  binomlem  15775  eulerpartlemsv2  33357  eulerpartlemsv3  33360  eulerpartlemv  33363  eulerpartlemb  33367
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