MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumss 15080
Description: Change the index set to a subset in an upper integer sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sumss.1 (𝜑𝐴𝐵)
sumss.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
sumss.3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
sumss.4 (𝜑𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
Assertion
Ref Expression
sumss (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumss
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2821 . . . . 5 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 simpr 487 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 sumss.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
4 sumss.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
53, 4sstrd 3976 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
65adantr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
7 nfcv 2977 . . . . . . 7 𝑘𝑚
8 nffvmpt1 6680 . . . . . . . 8 𝑘((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚)
9 nfv 1911 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑚𝐴
10 nffvmpt1 6680 . . . . . . . . 9 𝑘((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚)
11 nfcv 2977 . . . . . . . . 9 𝑘0
129, 10, 11nfif 4495 . . . . . . . 8 𝑘if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 0)
138, 12nfeq 2991 . . . . . . 7 𝑘((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 0)
14 fveq2 6669 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚))
15 eleq1w 2895 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐴𝑚𝐴))
16 fveq2 6669 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘) = ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚))
1715, 16ifbieq1d 4489 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘), 0) = if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 0))
1814, 17eqeq12d 2837 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘), 0) ↔ ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 0)))
19 eqid 2821 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
2019fvmpt2i 6777 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = ( I ‘if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)))
21 iftrue 4472 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
2221fveq2d 6673 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝐴 → ( I ‘if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)) = ( I ‘𝐶))
2320, 22sylan9eq 2876 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = ( I ‘𝐶))
24 iftrue 4472 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘), 0) = ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘))
25 eqid 2821 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝐴𝐶) = (𝑘𝐴𝐶)
2625fvmpt2i 6777 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐴 → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘) = ( I ‘𝐶))
2724, 26eqtrd 2856 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘), 0) = ( I ‘𝐶))
2827adantl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘), 0) = ( I ‘𝐶))
2923, 28eqtr4d 2859 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘), 0))
30 iffalse 4475 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 0)
3130fveq2d 6673 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝐴 → ( I ‘if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)) = ( I ‘0))
32 0z 11991 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℤ
33 fvi 6739 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℤ → ( I ‘0) = 0)
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ( I ‘0) = 0
3531, 34syl6eq 2872 . . . . . . . . . 10 𝑘𝐴 → ( I ‘if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)) = 0)
3620, 35sylan9eq 2876 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = 0)
37 iffalse 4475 . . . . . . . . . 10 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘), 0) = 0)
3837adantl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘), 0) = 0)
3936, 38eqtr4d 2859 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘), 0))
4029, 39pm2.61dan 811 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘), 0))
417, 13, 18, 40vtoclgaf 3572 . . . . . 6 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 0))
4241adantl 484 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 0))
43 sumss.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
4443fmpttd 6878 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶):𝐴⟶ℂ)
4544adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘𝐴𝐶):𝐴⟶ℂ)
4645ffvelrnda 6850 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
471, 2, 6, 42, 46zsum 15074 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)))))
484adantr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
49 nfv 1911 . . . . . . . . 9 𝑘𝜑
50 nfv 1911 . . . . . . . . . . 11 𝑘 𝑚𝐵
51 nffvmpt1 6680 . . . . . . . . . . 11 𝑘((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚)
5250, 51, 11nfif 4495 . . . . . . . . . 10 𝑘if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0)
538, 52nfeq 2991 . . . . . . . . 9 𝑘((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0)
5449, 53nfim 1893 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0))
55 eleq1w 2895 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐵𝑚𝐵))
56 fveq2 6669 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘) = ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚))
5755, 56ifbieq1d 4489 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0))
5814, 57eqeq12d 2837 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) ↔ ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0)))
5958imbi2d 343 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → ((𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0)) ↔ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0))))
6023adantll 712 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = ( I ‘𝐶))
613adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴𝐵)
6261sselda 3966 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘𝐵)
63 iftrue 4472 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝐵 → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘))
64 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝐵𝐶) = (𝑘𝐵𝐶)
6564fvmpt2i 6777 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝐵 → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘) = ( I ‘𝐶))
6663, 65eqtrd 2856 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝐵 → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = ( I ‘𝐶))
6762, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = ( I ‘𝐶))
6860, 67eqtr4d 2859 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0))
6936adantll 712 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = 0)
7066ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐵 ∧ ¬ 𝑘𝐴)) → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = ( I ‘𝐶))
71 eldif 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↔ (𝑘𝐵 ∧ ¬ 𝑘𝐴))
72 sumss.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
7372fveq2d 6673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → ( I ‘𝐶) = ( I ‘0))
74 0cn 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℂ
75 fvi 6739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 ∈ ℂ → ( I ‘0) = 0)
7674, 75ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( I ‘0) = 0
7773, 76syl6eq 2872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → ( I ‘𝐶) = 0)
7871, 77sylan2br 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐵 ∧ ¬ 𝑘𝐴)) → ( I ‘𝐶) = 0)
7970, 78eqtrd 2856 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐵 ∧ ¬ 𝑘𝐴)) → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = 0)
8079expr 459 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐵) → (¬ 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = 0))
81 iffalse 4475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘𝐵 → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = 0)
8281adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐵) → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = 0)
8382a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐵) → (¬ 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = 0))
8480, 83pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (¬ 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = 0))
8584adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (¬ 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = 0))
8685imp 409 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = 0)
8769, 86eqtr4d 2859 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0))
8868, 87pm2.61dan 811 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0))
8988expcom 416 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0)))
907, 54, 59, 89vtoclgaf 3572 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0)))
9190impcom 410 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0))
9291adantlr 713 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0))
9343ex 415 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶 ∈ ℂ))
9493adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑘𝐴𝐶 ∈ ℂ))
9572, 74eqeltrdi 2921 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
9671, 95sylan2br 596 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐵 ∧ ¬ 𝑘𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
9796expr 459 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵) → (¬ 𝑘𝐴𝐶 ∈ ℂ))
9894, 97pm2.61d 181 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
9998fmpttd 6878 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶ℂ)
10099adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶ℂ)
101100ffvelrnda 6850 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐵) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
1021, 2, 48, 92, 101zsum 15074 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)))))
10347, 102eqtr4d 2859 . . 3 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = Σ𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚))
104 sumfc 15065 . . 3 Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘𝐴 𝐶
105 sumfc 15065 . . 3 Σ𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘𝐵 𝐶
106103, 104, 1053eqtr3g 2879 . 2 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶)
1073adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴𝐵)
108 uzf 12245 . . . . . . . . . . . 12 :ℤ⟶𝒫 ℤ
109108fdmi 6523 . . . . . . . . . . 11 dom ℤ = ℤ
110109eleq2i 2904 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ dom ℤ𝑀 ∈ ℤ)
111 ndmfv 6699 . . . . . . . . . 10 𝑀 ∈ dom ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
112110, 111sylnbir 333 . . . . . . . . 9 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
113112sseq2d 3998 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ ℤ → (𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ↔ 𝐵 ⊆ ∅))
1144, 113syl5ib 246 . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℤ → (𝜑𝐵 ⊆ ∅))
115114impcom 410 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ⊆ ∅)
116107, 115sstrd 3976 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ ∅)
117 ss0 4351 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
118116, 117syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 = ∅)
119 ss0 4351 . . . . 5 (𝐵 ⊆ ∅ → 𝐵 = ∅)
120115, 119syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 = ∅)
121118, 120eqtr4d 2859 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 = 𝐵)
122121sumeq1d 15057 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶)
123106, 122pm2.61dan 811 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  cdif 3932  wss 3935  c0 4290  ifcif 4466  𝒫 cpw 4538  cmpt 5145   I cid 5458  dom cdm 5554  wf 6350  cfv 6354  cc 10534  0cc0 10536   + caddc 10539  cz 11980  cuz 12242  seqcseq 13368  cli 14840  Σcsu 15041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-clim 14844  df-sum 15042
This theorem is referenced by:  fsumss  15081  sumss2  15082  binomlem  15183  eulerpartlemsv2  31616  eulerpartlemsv3  31619  eulerpartlemv  31622  eulerpartlemb  31626
  Copyright terms: Public domain W3C validator