Theorem sumss 15677

Description: Change the index set to a subset in an upper integer sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumss.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sumss.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
sumss.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)
sumss.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
sumss	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumss

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		sumss.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
4		sumss.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
5	3, 4	sstrd 3992	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
7		nfcv 2902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝑚
8		nffvmpt1 6902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚)
9		nfv 1916	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑚 ∈ 𝐴
10		nffvmpt1 6902	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚)
11		nfcv 2902	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘0
12	9, 10, 11	nfif 4558	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0)
13	8, 12	nfeq 2915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0)
14		fveq2 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚))
15		eleq1w 2815	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑚 ∈ 𝐴))
16		fveq2 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚))
17	15, 16	ifbieq1d 4552	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0))
18	14, 17	eqeq12d 2747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) ↔ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0)))
19		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
20	19	fvmpt2i 7008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = ( I ‘if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))
21		iftrue 4534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
22	21	fveq2d 6895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → ( I ‘if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = ( I ‘𝐶))
23	20, 22	sylan9eq 2791	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = ( I ‘𝐶))
24		iftrue 4534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘))
25		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
26	25	fvmpt2i 7008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘) = ( I ‘𝐶))
27	24, 26	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = ( I ‘𝐶))
28	27	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = ( I ‘𝐶))
29	23, 28	eqtr4d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0))
30		iffalse 4537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
31	30	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → ( I ‘if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = ( I ‘0))
32		0z 12576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℤ
33		fvi 6967	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℤ → ( I ‘0) = 0)
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( I ‘0) = 0
35	31, 34	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → ( I ‘if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = 0)
36	20, 35	sylan9eq 2791	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = 0)
37		iffalse 4537	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = 0)
38	37	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = 0)
39	36, 38	eqtr4d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0))
40	29, 39	pm2.61dan 810	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0))
41	7, 13, 18, 40	vtoclgaf 3565	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0))
42	41	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0))
43		sumss.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
44	43	fmpttd 7116	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶ℂ)
45	44	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶ℂ)
46	45	ffvelcdmda 7086	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
47	1, 2, 6, 42, 46	zsum 15671	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))))
48	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
49		nfv 1916	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
50		nfv 1916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑚 ∈ 𝐵
51		nffvmpt1 6902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚)
52	50, 51, 11	nfif 4558	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0)
53	8, 52	nfeq 2915	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0)
54	49, 53	nfim 1898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0))
55		eleq1w 2815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↔ 𝑚 ∈ 𝐵))
56		fveq2 6891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘) = ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚))
57	55, 56	ifbieq1d 4552	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0))
58	14, 57	eqeq12d 2747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) ↔ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0)))
59	58	imbi2d 340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0)) ↔ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0))))
60	23	adantll 711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = ( I ‘𝐶))
61	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
62	61	sselda 3982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝐵)
63		iftrue 4534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 → if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘))
64		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
65	64	fvmpt2i 7008	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘) = ( I ‘𝐶))
66	63, 65	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 → if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = ( I ‘𝐶))
67	62, 66	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = ( I ‘𝐶))
68	60, 67	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0))
69	36	adantll 711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = 0)
70	66	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴)) → if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = ( I ‘𝐶))
71		eldif 3958	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↔ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
72		sumss.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)
73	72	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ( I ‘𝐶) = ( I ‘0))
74		0cn 11213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ∈ ℂ
75		fvi 6967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0 ∈ ℂ → ( I ‘0) = 0)
76	74, 75	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ( I ‘0) = 0
77	73, 76	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ( I ‘𝐶) = 0)
78	71, 77	sylan2br 594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ( I ‘𝐶) = 0)
79	70, 78	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴)) → if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = 0)
80	79	expr 456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = 0))
81		iffalse 4537	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐵 → if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = 0)
82	81	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = 0)
83	82	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = 0))
84	80, 83	pm2.61dan 810	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = 0))
85	84	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = 0))
86	85	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = 0)
87	69, 86	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0))
88	68, 87	pm2.61dan 810	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0))
89	88	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0)))
90	7, 54, 59, 89	vtoclgaf 3565	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0)))
91	90	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0))
92	91	adantlr 712	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0))
93	43	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ ℂ))
94	93	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ ℂ))
95	72, 74	eqeltrdi 2840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
96	71, 95	sylan2br 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
97	96	expr 456	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ ℂ))
98	94, 97	pm2.61d 179	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
99	98	fmpttd 7116	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶ℂ)
100	99	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶ℂ)
101	100	ffvelcdmda 7086	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
102	1, 2, 48, 92, 101	zsum 15671	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑚 ∈ 𝐵 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))))
103	47, 102	eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) = Σ𝑚 ∈ 𝐵 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚))
104		sumfc 15662	. . 3 ⊢ Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶
105		sumfc 15662	. . 3 ⊢ Σ𝑚 ∈ 𝐵 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶
106	103, 104, 105	3eqtr3g 2794	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
107	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
108		uzf 12832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
109	108	fdmi 6729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
110	109	eleq2i 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ dom ℤ≥ ↔ 𝑀 ∈ ℤ)
111		ndmfv 6926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
112	110, 111	sylnbir 331	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
113	112	sseq2d 4014	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝐵 ⊆ ∅))
114	4, 113	imbitrid 243	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝜑 → 𝐵 ⊆ ∅))
115	114	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ⊆ ∅)
116	107, 115	sstrd 3992	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ ∅)
117		ss0 4398	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
118	116, 117	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 = ∅)
119		ss0 4398	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ ∅ → 𝐵 = ∅)
120	115, 119	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 = ∅)
121	118, 120	eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 = 𝐵)
122	121	sumeq1d 15654	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
123	106, 122	pm2.61dan 810	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∖ cdif 3945   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  ifcif 4528  𝒫 cpw 4602   ↦ cmpt 5231   I cid 5573  dom cdm 5676  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  ℂcc 11114  0cc0 11116   + caddc 11119  ℤcz 12565  ℤ_≥cuz 12829  seqcseq 13973   ⇝ cli 15435  Σcsu 15639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-sum 15640

This theorem is referenced by:  fsumss  15678  sumss2  15679  binomlem  15782  eulerpartlemsv2  33820  eulerpartlemsv3  33823  eulerpartlemv  33826  eulerpartlemb  33830