MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumss 15756
Description: Change the index set to a subset in an upper integer sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sumss.1 (𝜑𝐴𝐵)
sumss.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
sumss.3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
sumss.4 (𝜑𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
Assertion
Ref Expression
sumss (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumss
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2734 . . . . 5 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 sumss.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
4 sumss.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
53, 4sstrd 4005 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
65adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
7 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑘𝑚
8 nffvmpt1 6917 . . . . . . . 8 𝑘((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚)
9 nfv 1911 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑚𝐴
10 nffvmpt1 6917 . . . . . . . . 9 𝑘((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚)
11 nfcv 2902 . . . . . . . . 9 𝑘0
129, 10, 11nfif 4560 . . . . . . . 8 𝑘if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 0)
138, 12nfeq 2916 . . . . . . 7 𝑘((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 0)
14 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚))
15 eleq1w 2821 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐴𝑚𝐴))
16 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘) = ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚))
1715, 16ifbieq1d 4554 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘), 0) = if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 0))
1814, 17eqeq12d 2750 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘), 0) ↔ ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 0)))
19 eqid 2734 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
2019fvmpt2i 7025 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = ( I ‘if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)))
21 iftrue 4536 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
2221fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝐴 → ( I ‘if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)) = ( I ‘𝐶))
2320, 22sylan9eq 2794 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = ( I ‘𝐶))
24 iftrue 4536 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘), 0) = ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘))
25 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝐴𝐶) = (𝑘𝐴𝐶)
2625fvmpt2i 7025 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐴 → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘) = ( I ‘𝐶))
2724, 26eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘), 0) = ( I ‘𝐶))
2827adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘), 0) = ( I ‘𝐶))
2923, 28eqtr4d 2777 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘), 0))
30 iffalse 4539 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 0)
3130fveq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝐴 → ( I ‘if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)) = ( I ‘0))
32 0z 12621 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℤ
33 fvi 6984 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℤ → ( I ‘0) = 0)
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ( I ‘0) = 0
3531, 34eqtrdi 2790 . . . . . . . . . 10 𝑘𝐴 → ( I ‘if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)) = 0)
3620, 35sylan9eq 2794 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = 0)
37 iffalse 4539 . . . . . . . . . 10 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘), 0) = 0)
3837adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘), 0) = 0)
3936, 38eqtr4d 2777 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘), 0))
4029, 39pm2.61dan 813 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘), 0))
417, 13, 18, 40vtoclgaf 3575 . . . . . 6 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 0))
4241adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 0))
43 sumss.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
4443fmpttd 7134 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶):𝐴⟶ℂ)
4544adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘𝐴𝐶):𝐴⟶ℂ)
4645ffvelcdmda 7103 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
471, 2, 6, 42, 46zsum 15750 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)))))
484adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
49 nfv 1911 . . . . . . . . 9 𝑘𝜑
50 nfv 1911 . . . . . . . . . . 11 𝑘 𝑚𝐵
51 nffvmpt1 6917 . . . . . . . . . . 11 𝑘((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚)
5250, 51, 11nfif 4560 . . . . . . . . . 10 𝑘if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0)
538, 52nfeq 2916 . . . . . . . . 9 𝑘((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0)
5449, 53nfim 1893 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0))
55 eleq1w 2821 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐵𝑚𝐵))
56 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘) = ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚))
5755, 56ifbieq1d 4554 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0))
5814, 57eqeq12d 2750 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) ↔ ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0)))
5958imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → ((𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0)) ↔ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0))))
6023adantll 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = ( I ‘𝐶))
613adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴𝐵)
6261sselda 3994 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘𝐵)
63 iftrue 4536 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝐵 → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘))
64 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝐵𝐶) = (𝑘𝐵𝐶)
6564fvmpt2i 7025 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝐵 → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘) = ( I ‘𝐶))
6663, 65eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝐵 → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = ( I ‘𝐶))
6762, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = ( I ‘𝐶))
6860, 67eqtr4d 2777 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0))
6936adantll 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = 0)
7066ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐵 ∧ ¬ 𝑘𝐴)) → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = ( I ‘𝐶))
71 eldif 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↔ (𝑘𝐵 ∧ ¬ 𝑘𝐴))
72 sumss.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
7372fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → ( I ‘𝐶) = ( I ‘0))
74 0cn 11250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℂ
75 fvi 6984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 ∈ ℂ → ( I ‘0) = 0)
7674, 75ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( I ‘0) = 0
7773, 76eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → ( I ‘𝐶) = 0)
7871, 77sylan2br 595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐵 ∧ ¬ 𝑘𝐴)) → ( I ‘𝐶) = 0)
7970, 78eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐵 ∧ ¬ 𝑘𝐴)) → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = 0)
8079expr 456 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐵) → (¬ 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = 0))
81 iffalse 4539 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘𝐵 → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = 0)
8281adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐵) → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = 0)
8382a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐵) → (¬ 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = 0))
8480, 83pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (¬ 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = 0))
8584adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (¬ 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = 0))
8685imp 406 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = 0)
8769, 86eqtr4d 2777 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0))
8868, 87pm2.61dan 813 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0))
8988expcom 413 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0)))
907, 54, 59, 89vtoclgaf 3575 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0)))
9190impcom 407 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0))
9291adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0))
9343ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶 ∈ ℂ))
9493adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑘𝐴𝐶 ∈ ℂ))
9572, 74eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
9671, 95sylan2br 595 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐵 ∧ ¬ 𝑘𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
9796expr 456 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵) → (¬ 𝑘𝐴𝐶 ∈ ℂ))
9894, 97pm2.61d 179 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
9998fmpttd 7134 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶ℂ)
10099adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶ℂ)
101100ffvelcdmda 7103 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐵) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
1021, 2, 48, 92, 101zsum 15750 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)))))
10347, 102eqtr4d 2777 . . 3 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = Σ𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚))
104 sumfc 15741 . . 3 Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘𝐴 𝐶
105 sumfc 15741 . . 3 Σ𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘𝐵 𝐶
106103, 104, 1053eqtr3g 2797 . 2 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶)
1073adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴𝐵)
108 uzf 12878 . . . . . . . . . . . 12 :ℤ⟶𝒫 ℤ
109108fdmi 6747 . . . . . . . . . . 11 dom ℤ = ℤ
110109eleq2i 2830 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ dom ℤ𝑀 ∈ ℤ)
111 ndmfv 6941 . . . . . . . . . 10 𝑀 ∈ dom ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
112110, 111sylnbir 331 . . . . . . . . 9 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
113112sseq2d 4027 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ ℤ → (𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ↔ 𝐵 ⊆ ∅))
1144, 113imbitrid 244 . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℤ → (𝜑𝐵 ⊆ ∅))
115114impcom 407 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ⊆ ∅)
116107, 115sstrd 4005 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ ∅)
117 ss0 4407 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
118116, 117syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 = ∅)
119 ss0 4407 . . . . 5 (𝐵 ⊆ ∅ → 𝐵 = ∅)
120115, 119syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 = ∅)
121118, 120eqtr4d 2777 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 = 𝐵)
122121sumeq1d 15732 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶)
123106, 122pm2.61dan 813 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  cdif 3959  wss 3962  c0 4338  ifcif 4530  𝒫 cpw 4604  cmpt 5230   I cid 5581  dom cdm 5688  wf 6558  cfv 6562  cc 11150  0cc0 11152   + caddc 11155  cz 12610  cuz 12875  seqcseq 14038  cli 15516  Σcsu 15718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719
This theorem is referenced by:  fsumss  15757  sumss2  15758  binomlem  15861  eulerpartlemsv2  34339  eulerpartlemsv3  34342  eulerpartlemv  34345  eulerpartlemb  34349
  Copyright terms: Public domain W3C validator