Theorem sumss 15073

Description: Change the index set to a subset in an upper integer sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumss.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sumss.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
sumss.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)
sumss.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
sumss	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumss

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		sumss.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
4		sumss.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
5	3, 4	sstrd 3925	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
6	5	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
7		nfcv 2955	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝑚
8		nffvmpt1 6656	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚)
9		nfv 1915	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑚 ∈ 𝐴
10		nffvmpt1 6656	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚)
11		nfcv 2955	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘0
12	9, 10, 11	nfif 4454	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0)
13	8, 12	nfeq 2968	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0)
14		fveq2 6645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚))
15		eleq1w 2872	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑚 ∈ 𝐴))
16		fveq2 6645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚))
17	15, 16	ifbieq1d 4448	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0))
18	14, 17	eqeq12d 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) ↔ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0)))
19		eqid 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
20	19	fvmpt2i 6755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = ( I ‘if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))
21		iftrue 4431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
22	21	fveq2d 6649	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → ( I ‘if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = ( I ‘𝐶))
23	20, 22	sylan9eq 2853	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = ( I ‘𝐶))
24		iftrue 4431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘))
25		eqid 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
26	25	fvmpt2i 6755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘) = ( I ‘𝐶))
27	24, 26	eqtrd 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = ( I ‘𝐶))
28	27	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = ( I ‘𝐶))
29	23, 28	eqtr4d 2836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0))
30		iffalse 4434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
31	30	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → ( I ‘if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = ( I ‘0))
32		0z 11980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℤ
33		fvi 6715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℤ → ( I ‘0) = 0)
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( I ‘0) = 0
35	31, 34	eqtrdi 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → ( I ‘if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = 0)
36	20, 35	sylan9eq 2853	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = 0)
37		iffalse 4434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = 0)
38	37	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = 0)
39	36, 38	eqtr4d 2836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0))
40	29, 39	pm2.61dan 812	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0))
41	7, 13, 18, 40	vtoclgaf 3521	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0))
42	41	adantl 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0))
43		sumss.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
44	43	fmpttd 6856	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶ℂ)
45	44	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶ℂ)
46	45	ffvelrnda 6828	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
47	1, 2, 6, 42, 46	zsum 15067	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))))
48	4	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
49		nfv 1915	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
50		nfv 1915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑚 ∈ 𝐵
51		nffvmpt1 6656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚)
52	50, 51, 11	nfif 4454	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0)
53	8, 52	nfeq 2968	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0)
54	49, 53	nfim 1897	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0))
55		eleq1w 2872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↔ 𝑚 ∈ 𝐵))
56		fveq2 6645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘) = ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚))
57	55, 56	ifbieq1d 4448	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0))
58	14, 57	eqeq12d 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) ↔ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0)))
59	58	imbi2d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0)) ↔ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0))))
60	23	adantll 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = ( I ‘𝐶))
61	3	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
62	61	sselda 3915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝐵)
63		iftrue 4431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 → if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘))
64		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
65	64	fvmpt2i 6755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘) = ( I ‘𝐶))
66	63, 65	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 → if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = ( I ‘𝐶))
67	62, 66	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = ( I ‘𝐶))
68	60, 67	eqtr4d 2836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0))
69	36	adantll 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = 0)
70	66	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴)) → if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = ( I ‘𝐶))
71		eldif 3891	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↔ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
72		sumss.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)
73	72	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ( I ‘𝐶) = ( I ‘0))
74		0cn 10622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ∈ ℂ
75		fvi 6715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0 ∈ ℂ → ( I ‘0) = 0)
76	74, 75	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ( I ‘0) = 0
77	73, 76	eqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ( I ‘𝐶) = 0)
78	71, 77	sylan2br 597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ( I ‘𝐶) = 0)
79	70, 78	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴)) → if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = 0)
80	79	expr 460	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = 0))
81		iffalse 4434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐵 → if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = 0)
82	81	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐵) → if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = 0)
83	82	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = 0))
84	80, 83	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = 0))
85	84	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = 0))
86	85	imp 410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0) = 0)
87	69, 86	eqtr4d 2836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0))
88	68, 87	pm2.61dan 812	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0))
89	88	expcom 417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑘), 0)))
90	7, 54, 59, 89	vtoclgaf 3521	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0)))
91	90	impcom 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0))
92	91	adantlr 714	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 0))
93	43	ex 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ ℂ))
94	93	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ ℂ))
95	72, 74	eqeltrdi 2898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
96	71, 95	sylan2br 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
97	96	expr 460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ ℂ))
98	94, 97	pm2.61d 182	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
99	98	fmpttd 6856	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶ℂ)
100	99	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶ℂ)
101	100	ffvelrnda 6828	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
102	1, 2, 48, 92, 101	zsum 15067	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑚 ∈ 𝐵 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))))
103	47, 102	eqtr4d 2836	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) = Σ𝑚 ∈ 𝐵 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚))
104		sumfc 15058	. . 3 ⊢ Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶
105		sumfc 15058	. . 3 ⊢ Σ𝑚 ∈ 𝐵 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶
106	103, 104, 105	3eqtr3g 2856	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
107	3	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
108		uzf 12234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
109	108	fdmi 6498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
110	109	eleq2i 2881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ dom ℤ≥ ↔ 𝑀 ∈ ℤ)
111		ndmfv 6675	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
112	110, 111	sylnbir 334	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
113	112	sseq2d 3947	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝐵 ⊆ ∅))
114	4, 113	syl5ib 247	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝜑 → 𝐵 ⊆ ∅))
115	114	impcom 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ⊆ ∅)
116	107, 115	sstrd 3925	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ ∅)
117		ss0 4306	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
118	116, 117	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 = ∅)
119		ss0 4306	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ ∅ → 𝐵 = ∅)
120	115, 119	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 = ∅)
121	118, 120	eqtr4d 2836	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 = 𝐵)
122	121	sumeq1d 15050	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
123	106, 122	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3878   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  ifcif 4425  𝒫 cpw 4497   ↦ cmpt 5110   I cid 5424  dom cdm 5519  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  ℂcc 10524  0cc0 10526   + caddc 10529  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  seqcseq 13364   ⇝ cli 14833  Σcsu 15034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035

This theorem is referenced by:  fsumss  15074  sumss2  15075  binomlem  15176  eulerpartlemsv2  31726  eulerpartlemsv3  31729  eulerpartlemv  31732  eulerpartlemb  31736