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Theorem sumss 15616
Description: Change the index set to a subset in an upper integer sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sumss.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
sumss.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
sumss.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 = 0)
sumss.4 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
sumss (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   𝐡,π‘˜   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐢(π‘˜)

Proof of Theorem sumss
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . 5 (β„€β‰₯β€˜π‘€) = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 sumss.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
4 sumss.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
53, 4sstrd 3959 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
65adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
7 nfcv 2908 . . . . . . 7 β„²π‘˜π‘š
8 nffvmpt1 6858 . . . . . . . 8 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘š)
9 nfv 1918 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜ π‘š ∈ 𝐴
10 nffvmpt1 6858 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š)
11 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜0
129, 10, 11nfif 4521 . . . . . . . 8 β„²π‘˜if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 0)
138, 12nfeq 2921 . . . . . . 7 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 0)
14 fveq2 6847 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘š β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘š))
15 eleq1w 2821 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = π‘š β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↔ π‘š ∈ 𝐴))
16 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = π‘š β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š))
1715, 16ifbieq1d 4515 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘š β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 0))
1814, 17eqeq12d 2753 . . . . . . 7 (π‘˜ = π‘š β†’ (((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) ↔ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 0)))
19 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) = (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))
2019fvmpt2i 6963 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘˜) = ( I β€˜if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)))
21 iftrue 4497 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) = 𝐢)
2221fveq2d 6851 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ ( I β€˜if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) = ( I β€˜πΆ))
2320, 22sylan9eq 2797 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘˜) = ( I β€˜πΆ))
24 iftrue 4497 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜))
25 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)
2625fvmpt2i 6963 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜) = ( I β€˜πΆ))
2724, 26eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = ( I β€˜πΆ))
2827adantl 483 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = ( I β€˜πΆ))
2923, 28eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0))
30 iffalse 4500 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0) = 0)
3130fveq2d 6851 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ ( I β€˜if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) = ( I β€˜0))
32 0z 12517 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ β„€
33 fvi 6922 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ β„€ β†’ ( I β€˜0) = 0)
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ( I β€˜0) = 0
3531, 34eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ ( I β€˜if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)) = 0)
3620, 35sylan9eq 2797 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘˜) = 0)
37 iffalse 4500 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = 0)
3837adantl 483 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = 0)
3936, 38eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0))
4029, 39pm2.61dan 812 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0))
417, 13, 18, 40vtoclgaf 3536 . . . . . 6 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 0))
4241adantl 483 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 0))
43 sumss.2 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
4443fmpttd 7068 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚)
4544adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚)
4645ffvelcdmda 7040 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
471, 2, 6, 42, 46zsum 15610 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)))))
484adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐡 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
49 nfv 1918 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜πœ‘
50 nfv 1918 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜ π‘š ∈ 𝐡
51 nffvmpt1 6858 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š)
5250, 51, 11nfif 4521 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 0)
538, 52nfeq 2921 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 0)
5449, 53nfim 1900 . . . . . . . 8 β„²π‘˜(πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 0))
55 eleq1w 2821 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = π‘š β†’ (π‘˜ ∈ 𝐡 ↔ π‘š ∈ 𝐡))
56 fveq2 6847 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = π‘š β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š))
5755, 56ifbieq1d 4515 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = π‘š β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 0))
5814, 57eqeq12d 2753 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = π‘š β†’ (((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) ↔ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 0)))
5958imbi2d 341 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘š β†’ ((πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0)) ↔ (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 0))))
6023adantll 713 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘˜) = ( I β€˜πΆ))
613adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
6261sselda 3949 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ π‘˜ ∈ 𝐡)
63 iftrue 4497 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ 𝐡 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜))
64 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)
6564fvmpt2i 6963 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ 𝐡 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜) = ( I β€˜πΆ))
6663, 65eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ 𝐡 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = ( I β€˜πΆ))
6762, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = ( I β€˜πΆ))
6860, 67eqtr4d 2780 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0))
6936adantll 713 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘˜) = 0)
7066ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴)) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = ( I β€˜πΆ))
71 eldif 3925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴))
72 sumss.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 = 0)
7372fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ ( I β€˜πΆ) = ( I β€˜0))
74 0cn 11154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ β„‚
75 fvi 6922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 ∈ β„‚ β†’ ( I β€˜0) = 0)
7674, 75ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( I β€˜0) = 0
7773, 76eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ ( I β€˜πΆ) = 0)
7871, 77sylan2br 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴)) β†’ ( I β€˜πΆ) = 0)
7970, 78eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴)) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = 0)
8079expr 458 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = 0))
81 iffalse 4500 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ π‘˜ ∈ 𝐡 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = 0)
8281adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = 0)
8382a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = 0))
8480, 83pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = 0))
8584adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = 0))
8685imp 408 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0) = 0)
8769, 86eqtr4d 2780 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0))
8868, 87pm2.61dan 812 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0))
8988expcom 415 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜), 0)))
907, 54, 59, 89vtoclgaf 3536 . . . . . . 7 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 0)))
9190impcom 409 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 0))
9291adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 0))
9343ex 414 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ 𝐢 ∈ β„‚))
9493adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ 𝐢 ∈ β„‚))
9572, 74eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
9671, 95sylan2br 596 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
9796expr 458 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ 𝐢 ∈ β„‚))
9894, 97pm2.61d 179 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
9998fmpttd 7068 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢):π΅βŸΆβ„‚)
10099adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢):π΅βŸΆβ„‚)
101100ffvelcdmda 7040 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
1021, 2, 48, 92, 101zsum 15610 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐡 ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐢, 0)))))
10347, 102eqtr4d 2780 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = Ξ£π‘š ∈ 𝐡 ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š))
104 sumfc 15601 . . 3 Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢
105 sumfc 15601 . . 3 Ξ£π‘š ∈ 𝐡 ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢
106103, 104, 1053eqtr3g 2800 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
1073adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
108 uzf 12773 . . . . . . . . . . . 12 β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€
109108fdmi 6685 . . . . . . . . . . 11 dom β„€β‰₯ = β„€
110109eleq2i 2830 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ dom β„€β‰₯ ↔ 𝑀 ∈ β„€)
111 ndmfv 6882 . . . . . . . . . 10 (Β¬ 𝑀 ∈ dom β„€β‰₯ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘€) = βˆ…)
112110, 111sylnbir 331 . . . . . . . . 9 (Β¬ 𝑀 ∈ β„€ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘€) = βˆ…)
113112sseq2d 3981 . . . . . . . 8 (Β¬ 𝑀 ∈ β„€ β†’ (𝐡 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↔ 𝐡 βŠ† βˆ…))
1144, 113imbitrid 243 . . . . . . 7 (Β¬ 𝑀 ∈ β„€ β†’ (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† βˆ…))
115114impcom 409 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐡 βŠ† βˆ…)
116107, 115sstrd 3959 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐴 βŠ† βˆ…)
117 ss0 4363 . . . . 5 (𝐴 βŠ† βˆ… β†’ 𝐴 = βˆ…)
118116, 117syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐴 = βˆ…)
119 ss0 4363 . . . . 5 (𝐡 βŠ† βˆ… β†’ 𝐡 = βˆ…)
120115, 119syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐡 = βˆ…)
121118, 120eqtr4d 2780 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐴 = 𝐡)
122121sumeq1d 15593 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
123106, 122pm2.61dan 812 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  ifcif 4491  π’« cpw 4565   ↦ cmpt 5193   I cid 5535  dom cdm 5638  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  β„‚cc 11056  0cc0 11058   + caddc 11061  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  seqcseq 13913   ⇝ cli 15373  Ξ£csu 15577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  fsumss  15617  sumss2  15618  binomlem  15721  eulerpartlemsv2  32998  eulerpartlemsv3  33001  eulerpartlemv  33004  eulerpartlemb  33008
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