MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexanuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexanuz 15239
Description: Combine two different upper integer properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
rexanuz (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πœ‘ ∧ πœ“) ↔ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ‘ ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ“))
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜   πœ‘,𝑗   πœ“,𝑗
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   πœ“(π‘˜)

Proof of Theorem rexanuz
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26 3111 . . . 4 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πœ‘ ∧ πœ“) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ“))
21rexbii 3094 . . 3 (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πœ‘ ∧ πœ“) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ“))
3 r19.40 3119 . . 3 (βˆƒπ‘— ∈ β„€ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ“) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ‘ ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ“))
42, 3sylbi 216 . 2 (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ‘ ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ“))
5 uzf 12774 . . . 4 β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€
6 ffn 6672 . . . 4 (β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€ β†’ β„€β‰₯ Fn β„€)
7 raleq 3308 . . . . 5 (π‘₯ = (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ π‘₯ πœ‘ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ‘))
87rexrn 7041 . . . 4 (β„€β‰₯ Fn β„€ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ π‘₯ πœ‘ ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ‘))
95, 6, 8mp2b 10 . . 3 (βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ π‘₯ πœ‘ ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ‘)
10 raleq 3308 . . . . 5 (𝑦 = (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑦 πœ“ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ“))
1110rexrn 7041 . . . 4 (β„€β‰₯ Fn β„€ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ 𝑦 πœ“ ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ“))
125, 6, 11mp2b 10 . . 3 (βˆƒπ‘¦ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ 𝑦 πœ“ ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ“)
13 uzin2 15238 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ran β„€β‰₯ ∧ 𝑦 ∈ ran β„€β‰₯) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ ran β„€β‰₯)
14 inss1 4192 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† π‘₯
15 ssralv 4014 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† π‘₯ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ π‘₯ πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (π‘₯ ∩ 𝑦)πœ‘))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘˜ ∈ π‘₯ πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (π‘₯ ∩ 𝑦)πœ‘)
17 inss2 4193 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† 𝑦
18 ssralv 4014 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† 𝑦 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑦 πœ“ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (π‘₯ ∩ 𝑦)πœ“))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑦 πœ“ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (π‘₯ ∩ 𝑦)πœ“)
2016, 19anim12i 614 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘˜ ∈ π‘₯ πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑦 πœ“) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (π‘₯ ∩ 𝑦)πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (π‘₯ ∩ 𝑦)πœ“))
21 r19.26 3111 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘˜ ∈ (π‘₯ ∩ 𝑦)(πœ‘ ∧ πœ“) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ (π‘₯ ∩ 𝑦)πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (π‘₯ ∩ 𝑦)πœ“))
2220, 21sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘˜ ∈ π‘₯ πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑦 πœ“) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (π‘₯ ∩ 𝑦)(πœ‘ ∧ πœ“))
23 raleq 3308 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (π‘₯ ∩ 𝑦) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑧 (πœ‘ ∧ πœ“) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (π‘₯ ∩ 𝑦)(πœ‘ ∧ πœ“)))
2423rspcev 3583 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ ran β„€β‰₯ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (π‘₯ ∩ 𝑦)(πœ‘ ∧ πœ“)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ 𝑧 (πœ‘ ∧ πœ“))
2513, 22, 24syl2an 597 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ ran β„€β‰₯ ∧ 𝑦 ∈ ran β„€β‰₯) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ π‘₯ πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑦 πœ“)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ 𝑧 (πœ‘ ∧ πœ“))
2625an4s 659 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ ran β„€β‰₯ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ π‘₯ πœ‘) ∧ (𝑦 ∈ ran β„€β‰₯ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑦 πœ“)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ 𝑧 (πœ‘ ∧ πœ“))
2726rexlimdvaa 3150 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ran β„€β‰₯ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ π‘₯ πœ‘) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ 𝑦 πœ“ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ 𝑧 (πœ‘ ∧ πœ“)))
2827rexlimiva 3141 . . . . 5 (βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ π‘₯ πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ 𝑦 πœ“ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ 𝑧 (πœ‘ ∧ πœ“)))
2928imp 408 . . . 4 ((βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ π‘₯ πœ‘ ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ 𝑦 πœ“) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ 𝑧 (πœ‘ ∧ πœ“))
30 raleq 3308 . . . . . 6 (𝑧 = (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑧 (πœ‘ ∧ πœ“) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πœ‘ ∧ πœ“)))
3130rexrn 7041 . . . . 5 (β„€β‰₯ Fn β„€ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ 𝑧 (πœ‘ ∧ πœ“) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πœ‘ ∧ πœ“)))
325, 6, 31mp2b 10 . . . 4 (βˆƒπ‘§ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ 𝑧 (πœ‘ ∧ πœ“) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πœ‘ ∧ πœ“))
3329, 32sylib 217 . . 3 ((βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ π‘₯ πœ‘ ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ 𝑦 πœ“) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πœ‘ ∧ πœ“))
349, 12, 33syl2anbr 600 . 2 ((βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ‘ ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ“) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πœ‘ ∧ πœ“))
354, 34impbii 208 1 (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πœ‘ ∧ πœ“) ↔ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ‘ ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ“))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  π’« cpw 4564  ran crn 5638   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-neg 11396  df-z 12508  df-uz 12772
This theorem is referenced by:  rexfiuz  15241  rexuz3  15242  rexanuz2  15243
  Copyright terms: Public domain W3C validator