MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexanuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexanuz 15296
Description: Combine two different upper integer properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
rexanuz (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πœ‘ ∧ πœ“) ↔ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ‘ ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ“))
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜   πœ‘,𝑗   πœ“,𝑗
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   πœ“(π‘˜)

Proof of Theorem rexanuz
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26 3109 . . . 4 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πœ‘ ∧ πœ“) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ“))
21rexbii 3092 . . 3 (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πœ‘ ∧ πœ“) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ“))
3 r19.40 3117 . . 3 (βˆƒπ‘— ∈ β„€ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ“) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ‘ ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ“))
42, 3sylbi 216 . 2 (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ‘ ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ“))
5 uzf 12829 . . . 4 β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€
6 ffn 6716 . . . 4 (β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€ β†’ β„€β‰₯ Fn β„€)
7 raleq 3320 . . . . 5 (π‘₯ = (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ π‘₯ πœ‘ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ‘))
87rexrn 7087 . . . 4 (β„€β‰₯ Fn β„€ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ π‘₯ πœ‘ ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ‘))
95, 6, 8mp2b 10 . . 3 (βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ π‘₯ πœ‘ ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ‘)
10 raleq 3320 . . . . 5 (𝑦 = (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑦 πœ“ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ“))
1110rexrn 7087 . . . 4 (β„€β‰₯ Fn β„€ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ 𝑦 πœ“ ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ“))
125, 6, 11mp2b 10 . . 3 (βˆƒπ‘¦ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ 𝑦 πœ“ ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ“)
13 uzin2 15295 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ran β„€β‰₯ ∧ 𝑦 ∈ ran β„€β‰₯) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ ran β„€β‰₯)
14 inss1 4227 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† π‘₯
15 ssralv 4049 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† π‘₯ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ π‘₯ πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (π‘₯ ∩ 𝑦)πœ‘))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘˜ ∈ π‘₯ πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (π‘₯ ∩ 𝑦)πœ‘)
17 inss2 4228 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† 𝑦
18 ssralv 4049 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† 𝑦 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑦 πœ“ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (π‘₯ ∩ 𝑦)πœ“))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑦 πœ“ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (π‘₯ ∩ 𝑦)πœ“)
2016, 19anim12i 611 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘˜ ∈ π‘₯ πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑦 πœ“) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (π‘₯ ∩ 𝑦)πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (π‘₯ ∩ 𝑦)πœ“))
21 r19.26 3109 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘˜ ∈ (π‘₯ ∩ 𝑦)(πœ‘ ∧ πœ“) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ (π‘₯ ∩ 𝑦)πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (π‘₯ ∩ 𝑦)πœ“))
2220, 21sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘˜ ∈ π‘₯ πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑦 πœ“) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (π‘₯ ∩ 𝑦)(πœ‘ ∧ πœ“))
23 raleq 3320 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (π‘₯ ∩ 𝑦) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑧 (πœ‘ ∧ πœ“) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (π‘₯ ∩ 𝑦)(πœ‘ ∧ πœ“)))
2423rspcev 3611 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ ran β„€β‰₯ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (π‘₯ ∩ 𝑦)(πœ‘ ∧ πœ“)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ 𝑧 (πœ‘ ∧ πœ“))
2513, 22, 24syl2an 594 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ ran β„€β‰₯ ∧ 𝑦 ∈ ran β„€β‰₯) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ π‘₯ πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑦 πœ“)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ 𝑧 (πœ‘ ∧ πœ“))
2625an4s 656 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ ran β„€β‰₯ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ π‘₯ πœ‘) ∧ (𝑦 ∈ ran β„€β‰₯ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑦 πœ“)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ 𝑧 (πœ‘ ∧ πœ“))
2726rexlimdvaa 3154 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ran β„€β‰₯ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ π‘₯ πœ‘) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ 𝑦 πœ“ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ 𝑧 (πœ‘ ∧ πœ“)))
2827rexlimiva 3145 . . . . 5 (βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ π‘₯ πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ 𝑦 πœ“ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ 𝑧 (πœ‘ ∧ πœ“)))
2928imp 405 . . . 4 ((βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ π‘₯ πœ‘ ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ 𝑦 πœ“) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ 𝑧 (πœ‘ ∧ πœ“))
30 raleq 3320 . . . . . 6 (𝑧 = (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑧 (πœ‘ ∧ πœ“) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πœ‘ ∧ πœ“)))
3130rexrn 7087 . . . . 5 (β„€β‰₯ Fn β„€ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ 𝑧 (πœ‘ ∧ πœ“) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πœ‘ ∧ πœ“)))
325, 6, 31mp2b 10 . . . 4 (βˆƒπ‘§ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ 𝑧 (πœ‘ ∧ πœ“) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πœ‘ ∧ πœ“))
3329, 32sylib 217 . . 3 ((βˆƒπ‘₯ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ π‘₯ πœ‘ ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ran β„€β‰₯βˆ€π‘˜ ∈ 𝑦 πœ“) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πœ‘ ∧ πœ“))
349, 12, 33syl2anbr 597 . 2 ((βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ‘ ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ“) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πœ‘ ∧ πœ“))
354, 34impbii 208 1 (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πœ‘ ∧ πœ“) ↔ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ‘ ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)πœ“))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  ran crn 5676   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-neg 11451  df-z 12563  df-uz 12827
This theorem is referenced by:  rexfiuz  15298  rexuz3  15299  rexanuz2  15300
  Copyright terms: Public domain W3C validator