Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | uzf 12825 |
. . . . . . . 8
β’
β€β₯:β€βΆπ« β€ |
2 | | ffn 6718 |
. . . . . . . 8
β’
(β€β₯:β€βΆπ« β€ β
β€β₯ Fn β€) |
3 | 1, 2 | ax-mp 5 |
. . . . . . 7
β’
β€β₯ Fn β€ |
4 | | lmflf.1 |
. . . . . . . 8
β’ π =
(β€β₯βπ) |
5 | | uzssz 12843 |
. . . . . . . 8
β’
(β€β₯βπ) β β€ |
6 | 4, 5 | eqsstri 4017 |
. . . . . . 7
β’ π β
β€ |
7 | | imaeq2 6056 |
. . . . . . . . 9
β’ (π¦ =
(β€β₯βπ) β (πΉ β π¦) = (πΉ β (β€β₯βπ))) |
8 | 7 | sseq1d 4014 |
. . . . . . . 8
β’ (π¦ =
(β€β₯βπ) β ((πΉ β π¦) β π₯ β (πΉ β (β€β₯βπ)) β π₯)) |
9 | 8 | rexima 7239 |
. . . . . . 7
β’
((β€β₯ Fn β€ β§ π β β€) β (βπ¦ β (β€β₯
β π)(πΉ β π¦) β π₯ β βπ β π (πΉ β (β€β₯βπ)) β π₯)) |
10 | 3, 6, 9 | mp2an 691 |
. . . . . 6
β’
(βπ¦ β
(β€β₯ β π)(πΉ β π¦) β π₯ β βπ β π (πΉ β (β€β₯βπ)) β π₯) |
11 | | simpl3 1194 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π½ β (TopOnβπ) β§ π β β€ β§ πΉ:πβΆπ) β§ π β π) β πΉ:πβΆπ) |
12 | 11 | ffund 6722 |
. . . . . . . 8
β’ (((π½ β (TopOnβπ) β§ π β β€ β§ πΉ:πβΆπ) β§ π β π) β Fun πΉ) |
13 | | uzss 12845 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β
(β€β₯βπ) β (β€β₯βπ) β
(β€β₯βπ)) |
14 | 13, 4 | eleq2s 2852 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π β (β€β₯βπ) β
(β€β₯βπ)) |
15 | 14 | adantl 483 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π½ β (TopOnβπ) β§ π β β€ β§ πΉ:πβΆπ) β§ π β π) β (β€β₯βπ) β
(β€β₯βπ)) |
16 | 11 | fdmd 6729 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π½ β (TopOnβπ) β§ π β β€ β§ πΉ:πβΆπ) β§ π β π) β dom πΉ = π) |
17 | 16, 4 | eqtrdi 2789 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π½ β (TopOnβπ) β§ π β β€ β§ πΉ:πβΆπ) β§ π β π) β dom πΉ = (β€β₯βπ)) |
18 | 15, 17 | sseqtrrd 4024 |
. . . . . . . 8
β’ (((π½ β (TopOnβπ) β§ π β β€ β§ πΉ:πβΆπ) β§ π β π) β (β€β₯βπ) β dom πΉ) |
19 | | funimass4 6957 |
. . . . . . . 8
β’ ((Fun
πΉ β§
(β€β₯βπ) β dom πΉ) β ((πΉ β (β€β₯βπ)) β π₯ β βπ β (β€β₯βπ)(πΉβπ) β π₯)) |
20 | 12, 18, 19 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ (((π½ β (TopOnβπ) β§ π β β€ β§ πΉ:πβΆπ) β§ π β π) β ((πΉ β (β€β₯βπ)) β π₯ β βπ β (β€β₯βπ)(πΉβπ) β π₯)) |
21 | 20 | rexbidva 3177 |
. . . . . 6
β’ ((π½ β (TopOnβπ) β§ π β β€ β§ πΉ:πβΆπ) β (βπ β π (πΉ β (β€β₯βπ)) β π₯ β βπ β π βπ β (β€β₯βπ)(πΉβπ) β π₯)) |
22 | 10, 21 | bitr2id 284 |
. . . . 5
β’ ((π½ β (TopOnβπ) β§ π β β€ β§ πΉ:πβΆπ) β (βπ β π βπ β (β€β₯βπ)(πΉβπ) β π₯ β βπ¦ β (β€β₯ β π)(πΉ β π¦) β π₯)) |
23 | 22 | imbi2d 341 |
. . . 4
β’ ((π½ β (TopOnβπ) β§ π β β€ β§ πΉ:πβΆπ) β ((π β π₯ β βπ β π βπ β (β€β₯βπ)(πΉβπ) β π₯) β (π β π₯ β βπ¦ β (β€β₯ β π)(πΉ β π¦) β π₯))) |
24 | 23 | ralbidv 3178 |
. . 3
β’ ((π½ β (TopOnβπ) β§ π β β€ β§ πΉ:πβΆπ) β (βπ₯ β π½ (π β π₯ β βπ β π βπ β (β€β₯βπ)(πΉβπ) β π₯) β βπ₯ β π½ (π β π₯ β βπ¦ β (β€β₯ β π)(πΉ β π¦) β π₯))) |
25 | 24 | anbi2d 630 |
. 2
β’ ((π½ β (TopOnβπ) β§ π β β€ β§ πΉ:πβΆπ) β ((π β π β§ βπ₯ β π½ (π β π₯ β βπ β π βπ β (β€β₯βπ)(πΉβπ) β π₯)) β (π β π β§ βπ₯ β π½ (π β π₯ β βπ¦ β (β€β₯ β π)(πΉ β π¦) β π₯)))) |
26 | | simp1 1137 |
. . 3
β’ ((π½ β (TopOnβπ) β§ π β β€ β§ πΉ:πβΆπ) β π½ β (TopOnβπ)) |
27 | | simp2 1138 |
. . 3
β’ ((π½ β (TopOnβπ) β§ π β β€ β§ πΉ:πβΆπ) β π β β€) |
28 | | simp3 1139 |
. . 3
β’ ((π½ β (TopOnβπ) β§ π β β€ β§ πΉ:πβΆπ) β πΉ:πβΆπ) |
29 | | eqidd 2734 |
. . 3
β’ (((π½ β (TopOnβπ) β§ π β β€ β§ πΉ:πβΆπ) β§ π β π) β (πΉβπ) = (πΉβπ)) |
30 | 26, 4, 27, 28, 29 | lmbrf 22764 |
. 2
β’ ((π½ β (TopOnβπ) β§ π β β€ β§ πΉ:πβΆπ) β (πΉ(βπ‘βπ½)π β (π β π β§ βπ₯ β π½ (π β π₯ β βπ β π βπ β (β€β₯βπ)(πΉβπ) β π₯)))) |
31 | 4 | uzfbas 23402 |
. . 3
β’ (π β β€ β
(β€β₯ β π) β (fBasβπ)) |
32 | | lmflf.2 |
. . . 4
β’ πΏ = (πfilGen(β€β₯ β π)) |
33 | 32 | flffbas 23499 |
. . 3
β’ ((π½ β (TopOnβπ) β§ (β€β₯
β π) β
(fBasβπ) β§ πΉ:πβΆπ) β (π β ((π½ fLimf πΏ)βπΉ) β (π β π β§ βπ₯ β π½ (π β π₯ β βπ¦ β (β€β₯ β π)(πΉ β π¦) β π₯)))) |
34 | 31, 33 | syl3an2 1165 |
. 2
β’ ((π½ β (TopOnβπ) β§ π β β€ β§ πΉ:πβΆπ) β (π β ((π½ fLimf πΏ)βπΉ) β (π β π β§ βπ₯ β π½ (π β π₯ β βπ¦ β (β€β₯ β π)(πΉ β π¦) β π₯)))) |
35 | 25, 30, 34 | 3bitr4d 311 |
1
β’ ((π½ β (TopOnβπ) β§ π β β€ β§ πΉ:πβΆπ) β (πΉ(βπ‘βπ½)π β π β ((π½ fLimf πΏ)βπΉ))) |