MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmflf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmflf 23509
Description: The topological limit relation on functions can be written in terms of the filter limit along the filter generated by the upper integer sets. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmflf.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
lmflf.2 𝐿 = (𝑍filGen(β„€β‰₯ β€œ 𝑍))
Assertion
Ref Expression
lmflf ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ 𝑃 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)β€˜πΉ)))

Proof of Theorem lmflf
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzf 12825 . . . . . . . 8 β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€
2 ffn 6718 . . . . . . . 8 (β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€ β†’ β„€β‰₯ Fn β„€)
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7 β„€β‰₯ Fn β„€
4 lmflf.1 . . . . . . . 8 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
5 uzssz 12843 . . . . . . . 8 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
64, 5eqsstri 4017 . . . . . . 7 𝑍 βŠ† β„€
7 imaeq2 6056 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (𝐹 β€œ 𝑦) = (𝐹 β€œ (β„€β‰₯β€˜π‘—)))
87sseq1d 4014 . . . . . . . 8 (𝑦 = (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† π‘₯ ↔ (𝐹 β€œ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) βŠ† π‘₯))
98rexima 7239 . . . . . . 7 ((β„€β‰₯ Fn β„€ ∧ 𝑍 βŠ† β„€) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (β„€β‰₯ β€œ 𝑍)(𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β€œ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) βŠ† π‘₯))
103, 6, 9mp2an 691 . . . . . 6 (βˆƒπ‘¦ ∈ (β„€β‰₯ β€œ 𝑍)(𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β€œ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) βŠ† π‘₯)
11 simpl3 1194 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
1211ffund 6722 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ Fun 𝐹)
13 uzss 12845 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
1413, 4eleq2s 2852 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
1514adantl 483 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
1611fdmd 6729 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ dom 𝐹 = 𝑍)
1716, 4eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ dom 𝐹 = (β„€β‰₯β€˜π‘€))
1815, 17sseqtrrd 4024 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹)
19 funimass4 6957 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹 ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹) β†’ ((𝐹 β€œ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) βŠ† π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘₯))
2012, 18, 19syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ((𝐹 β€œ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) βŠ† π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘₯))
2120rexbidva 3177 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β€œ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) βŠ† π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘₯))
2210, 21bitr2id 284 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (β„€β‰₯ β€œ 𝑍)(𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† π‘₯))
2322imbi2d 341 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ ((𝑃 ∈ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘₯) ↔ (𝑃 ∈ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (β„€β‰₯ β€œ 𝑍)(𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† π‘₯)))
2423ralbidv 3178 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (β„€β‰₯ β€œ 𝑍)(𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† π‘₯)))
2524anbi2d 630 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘₯)) ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (β„€β‰₯ β€œ 𝑍)(𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† π‘₯))))
26 simp1 1137 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
27 simp2 1138 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
28 simp3 1139 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
29 eqidd 2734 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
3026, 4, 27, 28, 29lmbrf 22764 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘₯))))
314uzfbas 23402 . . 3 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (β„€β‰₯ β€œ 𝑍) ∈ (fBasβ€˜π‘))
32 lmflf.2 . . . 4 𝐿 = (𝑍filGen(β„€β‰₯ β€œ 𝑍))
3332flffbas 23499 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (β„€β‰₯ β€œ 𝑍) ∈ (fBasβ€˜π‘) ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (𝑃 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)β€˜πΉ) ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (β„€β‰₯ β€œ 𝑍)(𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† π‘₯))))
3431, 33syl3an2 1165 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (𝑃 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)β€˜πΉ) ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (β„€β‰₯ β€œ 𝑍)(𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† π‘₯))))
3525, 30, 343bitr4d 311 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ 𝑃 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)β€˜πΉ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603   class class class wbr 5149  dom cdm 5677   β€œ cima 5680  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  fBascfbas 20932  filGencfg 20933  TopOnctopon 22412  β‡π‘‘clm 22730   fLimf cflf 23439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-neg 11447  df-nn 12213  df-z 12559  df-uz 12823  df-rest 17368  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-top 22396  df-topon 22413  df-ntr 22524  df-nei 22602  df-lm 22733  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444
This theorem is referenced by:  cmetcaulem  24805
  Copyright terms: Public domain W3C validator