MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmcau Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmcau 24473
Description: Every convergent sequence in a metric space is a Cauchy sequence. Theorem 1.4-5 of [Kreyszig] p. 28. (Contributed by NM, 29-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lmcau.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
lmcau (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → dom (⇝𝑡𝐽) ⊆ (Cau‘𝐷))

Proof of Theorem lmcau
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 𝑗 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmcau.1 . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21methaus 23672 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)
3 lmfun 22528 . . . 4 (𝐽 ∈ Haus → Fun (⇝𝑡𝐽))
4 funfvbrb 6923 . . . 4 (Fun (⇝𝑡𝐽) → (𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽) ↔ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)))
52, 3, 43syl 18 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽) ↔ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)))
6 id 22 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
71, 6lmmbr 24418 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ran ℤ(𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦))))
87biimpa 477 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) → (𝑓 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ran ℤ(𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦)))
98simp1d 1141 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) → 𝑓 ∈ (𝑋pm ℂ))
10 simprr 770 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
11 simplll 772 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
128simp2d 1142 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) → ((⇝𝑡𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋)
1312ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → ((⇝𝑡𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋)
14 rpre 12735 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
1514ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
16 uzid 12594 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
1716ad2antrl 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
1817fvresd 6789 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → ((𝑓 ↾ (ℤ𝑗))‘𝑗) = (𝑓𝑗))
1910, 17ffvelrnd 6957 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → ((𝑓 ↾ (ℤ𝑗))‘𝑗) ∈ (((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
2018, 19eqeltrrd 2842 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (𝑓𝑗) ∈ (((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
21 blhalf 23554 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑓𝑗) ∈ (((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ⊆ ((𝑓𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
2211, 13, 15, 20, 21syl22anc 836 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ⊆ ((𝑓𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
2310, 22fssd 6615 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝑓𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
24 rphalfcl 12754 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
258simp3d 1143 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ran ℤ(𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦))
26 oveq2 7277 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑥 / 2) → (((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦) = (((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
2726feq3d 6584 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑥 / 2) → ((𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ (𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
2827rexbidv 3228 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑥 / 2) → (∃𝑢 ∈ ran ℤ(𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ∃𝑢 ∈ ran ℤ(𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
2928rspcv 3556 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 / 2) ∈ ℝ+ → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ran ℤ(𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦) → ∃𝑢 ∈ ran ℤ(𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
3024, 25, 29syl2im 40 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) → ∃𝑢 ∈ ran ℤ(𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
3130impcom 408 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ran ℤ(𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
32 uzf 12582 . . . . . . . . 9 :ℤ⟶𝒫 ℤ
33 ffn 6597 . . . . . . . . 9 (ℤ:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ Fn ℤ)
34 reseq2 5884 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = (ℤ𝑗) → (𝑓𝑢) = (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)))
35 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = (ℤ𝑗) → 𝑢 = (ℤ𝑗))
3634, 35feq12d 6585 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (ℤ𝑗) → ((𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ↔ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
3736rexrn 6958 . . . . . . . . 9 (ℤ Fn ℤ → (∃𝑢 ∈ ran ℤ(𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
3832, 33, 37mp2b 10 . . . . . . . 8 (∃𝑢 ∈ ran ℤ(𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
3931, 38sylib 217 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
4023, 39reximddv 3206 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝑓𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
4140ralrimiva 3110 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝑓𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
42 iscau 24436 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝑓𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
4342adantr 481 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝑓𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
449, 41, 43mpbir2and 710 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷))
4544ex 413 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)))
465, 45sylbid 239 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)))
4746ssrdv 3932 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → dom (⇝𝑡𝐽) ⊆ (Cau‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110  wral 3066  wrex 3067  wss 3892  𝒫 cpw 4539   class class class wbr 5079  dom cdm 5589  ran crn 5590  cres 5591  Fun wfun 6425   Fn wfn 6426  wf 6427  cfv 6431  (class class class)co 7269  pm cpm 8597  cc 10868  cr 10869   / cdiv 11630  2c2 12026  cz 12317  cuz 12579  +crp 12727  ∞Metcxmet 20578  ballcbl 20580  MetOpencmopn 20583  𝑡clm 22373  Hauscha 22455  Cauccau 24413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947  ax-pre-sup 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-er 8479  df-map 8598  df-pm 8599  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-sup 9177  df-inf 9178  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-div 11631  df-nn 11972  df-2 12034  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12580  df-q 12686  df-rp 12728  df-xneg 12845  df-xadd 12846  df-xmul 12847  df-icc 13083  df-topgen 17150  df-psmet 20585  df-xmet 20586  df-met 20587  df-bl 20588  df-mopn 20589  df-top 22039  df-topon 22056  df-bases 22092  df-lm 22376  df-haus 22462  df-cau 24416
This theorem is referenced by:  hlimcaui  29592
  Copyright terms: Public domain W3C validator