Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmcau Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmcau 23895
 Description: Every convergent sequence in a metric space is a Cauchy sequence. Theorem 1.4-5 of [Kreyszig] p. 28. (Contributed by NM, 29-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lmcau.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
lmcau (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → dom (⇝𝑡𝐽) ⊆ (Cau‘𝐷))

Proof of Theorem lmcau
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 𝑗 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmcau.1 . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21methaus 23105 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)
3 lmfun 21964 . . . 4 (𝐽 ∈ Haus → Fun (⇝𝑡𝐽))
4 funfvbrb 6794 . . . 4 (Fun (⇝𝑡𝐽) → (𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽) ↔ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)))
52, 3, 43syl 18 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽) ↔ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)))
6 id 22 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
71, 6lmmbr 23840 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ran ℤ(𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦))))
87biimpa 480 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) → (𝑓 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ran ℤ(𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦)))
98simp1d 1139 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) → 𝑓 ∈ (𝑋pm ℂ))
10 simprr 772 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
11 simplll 774 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
128simp2d 1140 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) → ((⇝𝑡𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋)
1312ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → ((⇝𝑡𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋)
14 rpre 12375 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
1514ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
16 uzid 12236 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
1716ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
1817fvresd 6663 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → ((𝑓 ↾ (ℤ𝑗))‘𝑗) = (𝑓𝑗))
1910, 17ffvelrnd 6825 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → ((𝑓 ↾ (ℤ𝑗))‘𝑗) ∈ (((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
2018, 19eqeltrrd 2913 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (𝑓𝑗) ∈ (((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
21 blhalf 22990 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑓𝑗) ∈ (((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ⊆ ((𝑓𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
2211, 13, 15, 20, 21syl22anc 837 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ⊆ ((𝑓𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
2310, 22fssd 6501 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝑓𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
24 rphalfcl 12394 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
258simp3d 1141 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ran ℤ(𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦))
26 oveq2 7138 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑥 / 2) → (((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦) = (((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
2726feq3d 6474 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑥 / 2) → ((𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ (𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
2827rexbidv 3283 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑥 / 2) → (∃𝑢 ∈ ran ℤ(𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ∃𝑢 ∈ ran ℤ(𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
2928rspcv 3595 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 / 2) ∈ ℝ+ → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ran ℤ(𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦) → ∃𝑢 ∈ ran ℤ(𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
3024, 25, 29syl2im 40 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) → ∃𝑢 ∈ ran ℤ(𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
3130impcom 411 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ran ℤ(𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
32 uzf 12224 . . . . . . . . 9 :ℤ⟶𝒫 ℤ
33 ffn 6487 . . . . . . . . 9 (ℤ:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ Fn ℤ)
34 reseq2 5821 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = (ℤ𝑗) → (𝑓𝑢) = (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)))
35 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = (ℤ𝑗) → 𝑢 = (ℤ𝑗))
3634, 35feq12d 6475 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (ℤ𝑗) → ((𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ↔ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
3736rexrn 6826 . . . . . . . . 9 (ℤ Fn ℤ → (∃𝑢 ∈ ran ℤ(𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
3832, 33, 37mp2b 10 . . . . . . . 8 (∃𝑢 ∈ ran ℤ(𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
3931, 38sylib 221 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
4023, 39reximddv 3261 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝑓𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
4140ralrimiva 3170 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝑓𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
42 iscau 23858 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝑓𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
4342adantr 484 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝑓𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
449, 41, 43mpbir2and 712 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷))
4544ex 416 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)))
465, 45sylbid 243 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)))
4746ssrdv 3949 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → dom (⇝𝑡𝐽) ⊆ (Cau‘𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3126  ∃wrex 3127   ⊆ wss 3910  𝒫 cpw 4512   class class class wbr 5039  dom cdm 5528  ran crn 5529   ↾ cres 5530  Fun wfun 6322   Fn wfn 6323  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130   ↑pm cpm 8382  ℂcc 10512  ℝcr 10513   / cdiv 11274  2c2 11670  ℤcz 11959  ℤ≥cuz 12221  ℝ+crp 12367  ∞Metcxmet 20505  ballcbl 20507  MetOpencmopn 20510  ⇝𝑡clm 21809  Hauscha 21891  Cauccau 23835 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-sup 8882  df-inf 8883  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-xneg 12485  df-xadd 12486  df-xmul 12487  df-icc 12723  df-topgen 16695  df-psmet 20512  df-xmet 20513  df-met 20514  df-bl 20515  df-mopn 20516  df-top 21477  df-topon 21494  df-bases 21529  df-lm 21812  df-haus 21898  df-cau 23838 This theorem is referenced by:  hlimcaui  28997
 Copyright terms: Public domain W3C validator