Theorem lmcau 23917

Description: Every convergent sequence in a metric space is a Cauchy sequence. Theorem 1.4-5 of [Kreyszig] p. 28. (Contributed by NM, 29-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmcau.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
lmcau	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → dom (⇝𝑡‘𝐽) ⊆ (Cau‘𝐷))

Proof of Theorem lmcau

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 𝑗 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmcau.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	methaus 23127	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)
3		lmfun 21986	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → Fun (⇝𝑡‘𝐽))
4		funfvbrb 6798	. . . 4 ⊢ (Fun (⇝𝑡‘𝐽) → (𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽) ↔ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)))
5	2, 3, 4	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽) ↔ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)))
6		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7	1, 6	lmmbr 23862	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦))))
8	7	biimpa 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦)))
9	8	simp1d 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
10		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
11		simplll 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
12	8	simp2d 1140	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋)
13	12	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋)
14		rpre 12385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
15	14	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
16		uzid 12246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
17	16	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
18	17	fvresd 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → ((𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗))‘𝑗) = (𝑓‘𝑗))
19	10, 17	ffvelrnd 6829	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → ((𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗))‘𝑗) ∈ (((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
20	18, 19	eqeltrrd 2891	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (𝑓‘𝑗) ∈ (((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
21		blhalf 23012	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑓‘𝑗) ∈ (((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ⊆ ((𝑓‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
22	11, 13, 15, 20, 21	syl22anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ⊆ ((𝑓‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
23	10, 22	fssd 6502	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝑓‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
24		rphalfcl 12404	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
25	8	simp3d 1141	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦))
26		oveq2 7143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / 2) → (((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦) = (((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
27	26	feq3d 6474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / 2) → ((𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ (𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
28	27	rexbidv 3256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / 2) → (∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
29	28	rspcv 3566	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 / 2) ∈ ℝ+ → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦) → ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
30	24, 25, 29	syl2im 40	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
31	30	impcom 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
32		uzf 12234	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
33		ffn 6487	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ≥ Fn ℤ)
34		reseq2 5813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = (ℤ≥‘𝑗) → (𝑓 ↾ 𝑢) = (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)))
35		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = (ℤ≥‘𝑗) → 𝑢 = (ℤ≥‘𝑗))
36	34, 35	feq12d 6475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (ℤ≥‘𝑗) → ((𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ↔ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
37	36	rexrn 6830	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥ Fn ℤ → (∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
38	32, 33, 37	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
39	31, 38	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
40	23, 39	reximddv 3234	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝑓‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
41	40	ralrimiva 3149	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝑓‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
42		iscau 23880	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝑓‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
43	42	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝑓‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
44	9, 41, 43	mpbir2and 712	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷))
45	44	ex 416	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)))
46	5, 45	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)))
47	46	ssrdv 3921	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → dom (⇝𝑡‘𝐽) ⊆ (Cau‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3881  𝒫 cpw 4497   class class class wbr 5030  dom cdm 5519  ran crn 5520   ↾ cres 5521  Fun wfun 6318   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↑_pm cpm 8390  ℂcc 10524  ℝcr 10525   / cdiv 11286  2c2 11680  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  ℝ⁺crp 12377  ∞Metcxmet 20076  ballcbl 20078  MetOpencmopn 20081  ⇝_𝑡clm 21831  Hauscha 21913  Cauccau 23857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-icc 12733  df-topgen 16709  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-top 21499  df-topon 21516  df-bases 21551  df-lm 21834  df-haus 21920  df-cau 23860

This theorem is referenced by:  hlimcaui  29019