MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmcau Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmcau 24700
Description: Every convergent sequence in a metric space is a Cauchy sequence. Theorem 1.4-5 of [Kreyszig] p. 28. (Contributed by NM, 29-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lmcau.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
lmcau (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ dom (β‡π‘‘β€˜π½) βŠ† (Cauβ€˜π·))

Proof of Theorem lmcau
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑓 𝑗 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmcau.1 . . . . 5 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
21methaus 23899 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Haus)
3 lmfun 22755 . . . 4 (𝐽 ∈ Haus β†’ Fun (β‡π‘‘β€˜π½))
4 funfvbrb 7005 . . . 4 (Fun (β‡π‘‘β€˜π½) β†’ (𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½) ↔ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)))
52, 3, 43syl 18 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½) ↔ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)))
6 id 22 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
71, 6lmmbr 24645 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘’ ∈ ran β„€β‰₯(𝑓 β†Ύ 𝑒):π‘’βŸΆ(((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)(ballβ€˜π·)𝑦))))
87biimpa 478 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)) β†’ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘’ ∈ ran β„€β‰₯(𝑓 β†Ύ 𝑒):π‘’βŸΆ(((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)(ballβ€˜π·)𝑦)))
98simp1d 1143 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)) β†’ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
10 simprr 772 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢(((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)(ballβ€˜π·)(π‘₯ / 2)))) β†’ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢(((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)(ballβ€˜π·)(π‘₯ / 2)))
11 simplll 774 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢(((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)(ballβ€˜π·)(π‘₯ / 2)))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
128simp2d 1144 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)) β†’ ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“) ∈ 𝑋)
1312ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢(((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)(ballβ€˜π·)(π‘₯ / 2)))) β†’ ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“) ∈ 𝑋)
14 rpre 12931 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1514ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢(((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)(ballβ€˜π·)(π‘₯ / 2)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
16 uzid 12786 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„€ β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
1716ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢(((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)(ballβ€˜π·)(π‘₯ / 2)))) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
1817fvresd 6866 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢(((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)(ballβ€˜π·)(π‘₯ / 2)))) β†’ ((𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—))β€˜π‘—) = (π‘“β€˜π‘—))
1910, 17ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢(((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)(ballβ€˜π·)(π‘₯ / 2)))) β†’ ((𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—))β€˜π‘—) ∈ (((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)(ballβ€˜π·)(π‘₯ / 2)))
2018, 19eqeltrrd 2835 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢(((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)(ballβ€˜π·)(π‘₯ / 2)))) β†’ (π‘“β€˜π‘—) ∈ (((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)(ballβ€˜π·)(π‘₯ / 2)))
21 blhalf 23781 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“) ∈ 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘“β€˜π‘—) ∈ (((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)(ballβ€˜π·)(π‘₯ / 2)))) β†’ (((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)(ballβ€˜π·)(π‘₯ / 2)) βŠ† ((π‘“β€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯))
2211, 13, 15, 20, 21syl22anc 838 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢(((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)(ballβ€˜π·)(π‘₯ / 2)))) β†’ (((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)(ballβ€˜π·)(π‘₯ / 2)) βŠ† ((π‘“β€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯))
2310, 22fssd 6690 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢(((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)(ballβ€˜π·)(π‘₯ / 2)))) β†’ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢((π‘“β€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯))
24 rphalfcl 12950 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ / 2) ∈ ℝ+)
258simp3d 1145 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘’ ∈ ran β„€β‰₯(𝑓 β†Ύ 𝑒):π‘’βŸΆ(((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)(ballβ€˜π·)𝑦))
26 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (π‘₯ / 2) β†’ (((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)(ballβ€˜π·)𝑦) = (((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)(ballβ€˜π·)(π‘₯ / 2)))
2726feq3d 6659 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (π‘₯ / 2) β†’ ((𝑓 β†Ύ 𝑒):π‘’βŸΆ(((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)(ballβ€˜π·)𝑦) ↔ (𝑓 β†Ύ 𝑒):π‘’βŸΆ(((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)(ballβ€˜π·)(π‘₯ / 2))))
2827rexbidv 3172 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (π‘₯ / 2) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ ran β„€β‰₯(𝑓 β†Ύ 𝑒):π‘’βŸΆ(((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)(ballβ€˜π·)𝑦) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ ran β„€β‰₯(𝑓 β†Ύ 𝑒):π‘’βŸΆ(((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)(ballβ€˜π·)(π‘₯ / 2))))
2928rspcv 3579 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ / 2) ∈ ℝ+ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘’ ∈ ran β„€β‰₯(𝑓 β†Ύ 𝑒):π‘’βŸΆ(((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran β„€β‰₯(𝑓 β†Ύ 𝑒):π‘’βŸΆ(((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)(ballβ€˜π·)(π‘₯ / 2))))
3024, 25, 29syl2im 40 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran β„€β‰₯(𝑓 β†Ύ 𝑒):π‘’βŸΆ(((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)(ballβ€˜π·)(π‘₯ / 2))))
3130impcom 409 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran β„€β‰₯(𝑓 β†Ύ 𝑒):π‘’βŸΆ(((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)(ballβ€˜π·)(π‘₯ / 2)))
32 uzf 12774 . . . . . . . . 9 β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€
33 ffn 6672 . . . . . . . . 9 (β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€ β†’ β„€β‰₯ Fn β„€)
34 reseq2 5936 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (𝑓 β†Ύ 𝑒) = (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)))
35 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ 𝑒 = (β„€β‰₯β€˜π‘—))
3634, 35feq12d 6660 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ ((𝑓 β†Ύ 𝑒):π‘’βŸΆ(((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)(ballβ€˜π·)(π‘₯ / 2)) ↔ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢(((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)(ballβ€˜π·)(π‘₯ / 2))))
3736rexrn 7041 . . . . . . . . 9 (β„€β‰₯ Fn β„€ β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ ran β„€β‰₯(𝑓 β†Ύ 𝑒):π‘’βŸΆ(((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)(ballβ€˜π·)(π‘₯ / 2)) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢(((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)(ballβ€˜π·)(π‘₯ / 2))))
3832, 33, 37mp2b 10 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘’ ∈ ran β„€β‰₯(𝑓 β†Ύ 𝑒):π‘’βŸΆ(((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)(ballβ€˜π·)(π‘₯ / 2)) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢(((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)(ballβ€˜π·)(π‘₯ / 2)))
3931, 38sylib 217 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢(((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)(ballβ€˜π·)(π‘₯ / 2)))
4023, 39reximddv 3165 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢((π‘“β€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯))
4140ralrimiva 3140 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢((π‘“β€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯))
42 iscau 24663 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢((π‘“β€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯))))
4342adantr 482 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)) β†’ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢((π‘“β€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯))))
449, 41, 43mpbir2and 712 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“)) β†’ 𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·))
4544ex 414 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜π‘“) β†’ 𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·)))
465, 45sylbid 239 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½) β†’ 𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·)))
4746ssrdv 3954 1 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ dom (β‡π‘‘β€˜π½) βŠ† (Cauβ€˜π·))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3914  π’« cpw 4564   class class class wbr 5109  dom cdm 5637  ran crn 5638   β†Ύ cres 5639  Fun wfun 6494   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑pm cpm 8772  β„‚cc 11057  β„cr 11058   / cdiv 11820  2c2 12216  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  β„+crp 12923  βˆžMetcxmet 20804  ballcbl 20806  MetOpencmopn 20809  β‡π‘‘clm 22600  Hauscha 22682  Cauccau 24640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-icc 13280  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-lm 22603  df-haus 22689  df-cau 24643
This theorem is referenced by:  hlimcaui  30227
  Copyright terms: Public domain W3C validator