Theorem lmcau 24473

Description: Every convergent sequence in a metric space is a Cauchy sequence. Theorem 1.4-5 of [Kreyszig] p. 28. (Contributed by NM, 29-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmcau.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
lmcau	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → dom (⇝𝑡‘𝐽) ⊆ (Cau‘𝐷))

Proof of Theorem lmcau

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 𝑗 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmcau.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	methaus 23672	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)
3		lmfun 22528	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → Fun (⇝𝑡‘𝐽))
4		funfvbrb 6923	. . . 4 ⊢ (Fun (⇝𝑡‘𝐽) → (𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽) ↔ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)))
5	2, 3, 4	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽) ↔ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)))
6		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7	1, 6	lmmbr 24418	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦))))
8	7	biimpa 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦)))
9	8	simp1d 1141	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
10		simprr 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
11		simplll 772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
12	8	simp2d 1142	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋)
13	12	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋)
14		rpre 12735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
15	14	ad2antlr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
16		uzid 12594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
17	16	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
18	17	fvresd 6789	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → ((𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗))‘𝑗) = (𝑓‘𝑗))
19	10, 17	ffvelrnd 6957	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → ((𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗))‘𝑗) ∈ (((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
20	18, 19	eqeltrrd 2842	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (𝑓‘𝑗) ∈ (((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
21		blhalf 23554	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑓‘𝑗) ∈ (((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ⊆ ((𝑓‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
22	11, 13, 15, 20, 21	syl22anc 836	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ⊆ ((𝑓‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
23	10, 22	fssd 6615	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝑓‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
24		rphalfcl 12754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
25	8	simp3d 1143	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦))
26		oveq2 7277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / 2) → (((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦) = (((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
27	26	feq3d 6584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / 2) → ((𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ (𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
28	27	rexbidv 3228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / 2) → (∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
29	28	rspcv 3556	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 / 2) ∈ ℝ+ → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦) → ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
30	24, 25, 29	syl2im 40	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
31	30	impcom 408	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
32		uzf 12582	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
33		ffn 6597	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ≥ Fn ℤ)
34		reseq2 5884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = (ℤ≥‘𝑗) → (𝑓 ↾ 𝑢) = (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)))
35		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = (ℤ≥‘𝑗) → 𝑢 = (ℤ≥‘𝑗))
36	34, 35	feq12d 6585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (ℤ≥‘𝑗) → ((𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ↔ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
37	36	rexrn 6958	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥ Fn ℤ → (∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
38	32, 33, 37	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
39	31, 38	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
40	23, 39	reximddv 3206	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝑓‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
41	40	ralrimiva 3110	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝑓‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
42		iscau 24436	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝑓‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
43	42	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝑓‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
44	9, 41, 43	mpbir2and 710	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷))
45	44	ex 413	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)))
46	5, 45	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)))
47	46	ssrdv 3932	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → dom (⇝𝑡‘𝐽) ⊆ (Cau‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ∀wral 3066  ∃wrex 3067   ⊆ wss 3892  𝒫 cpw 4539   class class class wbr 5079  dom cdm 5589  ran crn 5590   ↾ cres 5591  Fun wfun 6425   Fn wfn 6426  ⟶wf 6427  ‘cfv 6431  (class class class)co 7269   ↑_pm cpm 8597  ℂcc 10868  ℝcr 10869   / cdiv 11630  2c2 12026  ℤcz 12317  ℤ_≥cuz 12579  ℝ⁺crp 12727  ∞Metcxmet 20578  ballcbl 20580  MetOpencmopn 20583  ⇝_𝑡clm 22373  Hauscha 22455  Cauccau 24413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947  ax-pre-sup 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-er 8479  df-map 8598  df-pm 8599  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-sup 9177  df-inf 9178  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-div 11631  df-nn 11972  df-2 12034  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12580  df-q 12686  df-rp 12728  df-xneg 12845  df-xadd 12846  df-xmul 12847  df-icc 13083  df-topgen 17150  df-psmet 20585  df-xmet 20586  df-met 20587  df-bl 20588  df-mopn 20589  df-top 22039  df-topon 22056  df-bases 22092  df-lm 22376  df-haus 22462  df-cau 24416

This theorem is referenced by:  hlimcaui  29592