MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmcau Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmcau 23895
Description: Every convergent sequence in a metric space is a Cauchy sequence. Theorem 1.4-5 of [Kreyszig] p. 28. (Contributed by NM, 29-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lmcau.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
lmcau (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → dom (⇝𝑡𝐽) ⊆ (Cau‘𝐷))

Proof of Theorem lmcau
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 𝑗 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmcau.1 . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21methaus 23105 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)
3 lmfun 21964 . . . 4 (𝐽 ∈ Haus → Fun (⇝𝑡𝐽))
4 funfvbrb 6794 . . . 4 (Fun (⇝𝑡𝐽) → (𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽) ↔ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)))
52, 3, 43syl 18 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽) ↔ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)))
6 id 22 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
71, 6lmmbr 23840 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ran ℤ(𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦))))
87biimpa 480 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) → (𝑓 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ran ℤ(𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦)))
98simp1d 1139 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) → 𝑓 ∈ (𝑋pm ℂ))
10 simprr 772 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
11 simplll 774 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
128simp2d 1140 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) → ((⇝𝑡𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋)
1312ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → ((⇝𝑡𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋)
14 rpre 12375 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
1514ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
16 uzid 12236 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
1716ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
1817fvresd 6663 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → ((𝑓 ↾ (ℤ𝑗))‘𝑗) = (𝑓𝑗))
1910, 17ffvelrnd 6825 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → ((𝑓 ↾ (ℤ𝑗))‘𝑗) ∈ (((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
2018, 19eqeltrrd 2913 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (𝑓𝑗) ∈ (((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
21 blhalf 22990 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑓𝑗) ∈ (((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ⊆ ((𝑓𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
2211, 13, 15, 20, 21syl22anc 837 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ⊆ ((𝑓𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
2310, 22fssd 6501 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝑓𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
24 rphalfcl 12394 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
258simp3d 1141 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ran ℤ(𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦))
26 oveq2 7138 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑥 / 2) → (((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦) = (((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
2726feq3d 6474 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑥 / 2) → ((𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ (𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
2827rexbidv 3283 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑥 / 2) → (∃𝑢 ∈ ran ℤ(𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ∃𝑢 ∈ ran ℤ(𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
2928rspcv 3595 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 / 2) ∈ ℝ+ → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ran ℤ(𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦) → ∃𝑢 ∈ ran ℤ(𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
3024, 25, 29syl2im 40 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) → ∃𝑢 ∈ ran ℤ(𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
3130impcom 411 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ran ℤ(𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
32 uzf 12224 . . . . . . . . 9 :ℤ⟶𝒫 ℤ
33 ffn 6487 . . . . . . . . 9 (ℤ:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ Fn ℤ)
34 reseq2 5821 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = (ℤ𝑗) → (𝑓𝑢) = (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)))
35 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = (ℤ𝑗) → 𝑢 = (ℤ𝑗))
3634, 35feq12d 6475 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (ℤ𝑗) → ((𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ↔ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
3736rexrn 6826 . . . . . . . . 9 (ℤ Fn ℤ → (∃𝑢 ∈ ran ℤ(𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
3832, 33, 37mp2b 10 . . . . . . . 8 (∃𝑢 ∈ ran ℤ(𝑓𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
3931, 38sylib 221 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
4023, 39reximddv 3261 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝑓𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
4140ralrimiva 3170 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝑓𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
42 iscau 23858 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝑓𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
4342adantr 484 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝑓𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
449, 41, 43mpbir2and 712 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷))
4544ex 416 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝑓) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)))
465, 45sylbid 243 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)))
4746ssrdv 3949 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → dom (⇝𝑡𝐽) ⊆ (Cau‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3126  wrex 3127  wss 3910  𝒫 cpw 4512   class class class wbr 5039  dom cdm 5528  ran crn 5529  cres 5530  Fun wfun 6322   Fn wfn 6323  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7130  pm cpm 8382  cc 10512  cr 10513   / cdiv 11274  2c2 11670  cz 11959  cuz 12221  +crp 12367  ∞Metcxmet 20505  ballcbl 20507  MetOpencmopn 20510  𝑡clm 21809  Hauscha 21891  Cauccau 23835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-sup 8882  df-inf 8883  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-xneg 12485  df-xadd 12486  df-xmul 12487  df-icc 12723  df-topgen 16695  df-psmet 20512  df-xmet 20513  df-met 20514  df-bl 20515  df-mopn 20516  df-top 21477  df-topon 21494  df-bases 21529  df-lm 21812  df-haus 21898  df-cau 23838
This theorem is referenced by:  hlimcaui  28997
  Copyright terms: Public domain W3C validator