Theorem lmcau 25213

Description: Every convergent sequence in a metric space is a Cauchy sequence. Theorem 1.4-5 of [Kreyszig] p. 28. (Contributed by NM, 29-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmcau.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
lmcau	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → dom (⇝𝑡‘𝐽) ⊆ (Cau‘𝐷))

Proof of Theorem lmcau

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 𝑗 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmcau.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	methaus 24408	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)
3		lmfun 23268	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → Fun (⇝𝑡‘𝐽))
4		funfvbrb 7023	. . . 4 ⊢ (Fun (⇝𝑡‘𝐽) → (𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽) ↔ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)))
5	2, 3, 4	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽) ↔ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)))
6		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7	1, 6	lmmbr 25158	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦))))
8	7	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦)))
9	8	simp1d 1142	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
10		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
11		simplll 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
12	8	simp2d 1143	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋)
13	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋)
14		rpre 12960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
15	14	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
16		uzid 12808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
17	16	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
18	17	fvresd 6878	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → ((𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗))‘𝑗) = (𝑓‘𝑗))
19	10, 17	ffvelcdmd 7057	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → ((𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗))‘𝑗) ∈ (((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
20	18, 19	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (𝑓‘𝑗) ∈ (((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
21		blhalf 24293	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑓‘𝑗) ∈ (((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ⊆ ((𝑓‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
22	11, 13, 15, 20, 21	syl22anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ⊆ ((𝑓‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
23	10, 22	fssd 6705	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝑓‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
24		rphalfcl 12980	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
25	8	simp3d 1144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦))
26		oveq2 7395	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / 2) → (((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦) = (((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
27	26	feq3d 6673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / 2) → ((𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ (𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
28	27	rexbidv 3157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / 2) → (∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
29	28	rspcv 3584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 / 2) ∈ ℝ+ → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦) → ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
30	24, 25, 29	syl2im 40	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
31	30	impcom 407	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
32		uzf 12796	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
33		ffn 6688	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ≥ Fn ℤ)
34		reseq2 5945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = (ℤ≥‘𝑗) → (𝑓 ↾ 𝑢) = (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)))
35		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = (ℤ≥‘𝑗) → 𝑢 = (ℤ≥‘𝑗))
36	34, 35	feq12d 6676	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (ℤ≥‘𝑗) → ((𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ↔ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
37	36	rexrn 7059	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥ Fn ℤ → (∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
38	32, 33, 37	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
39	31, 38	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
40	23, 39	reximddv 3149	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝑓‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
41	40	ralrimiva 3125	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝑓‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
42		iscau 25176	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝑓‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
43	42	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝑓‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
44	9, 41, 43	mpbir2and 713	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷))
45	44	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)))
46	5, 45	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)))
47	46	ssrdv 3952	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → dom (⇝𝑡‘𝐽) ⊆ (Cau‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3914  𝒫 cpw 4563   class class class wbr 5107  dom cdm 5638  ran crn 5639   ↾ cres 5640  Fun wfun 6505   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↑_pm cpm 8800  ℂcc 11066  ℝcr 11067   / cdiv 11835  2c2 12241  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  ℝ⁺crp 12951  ∞Metcxmet 21249  ballcbl 21251  MetOpencmopn 21254  ⇝_𝑡clm 23113  Hauscha 23195  Cauccau 25153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-icc 13313  df-topgen 17406  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-top 22781  df-topon 22798  df-bases 22833  df-lm 23116  df-haus 23202  df-cau 25156

This theorem is referenced by:  hlimcaui  31165