Theorem lmcau 23439

Description: Every convergent sequence in a metric space is a Cauchy sequence. Theorem 1.4-5 of [Kreyszig] p. 28. (Contributed by NM, 29-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmcau.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
lmcau	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → dom (⇝𝑡‘𝐽) ⊆ (Cau‘𝐷))

Proof of Theorem lmcau

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 𝑗 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmcau.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	methaus 22653	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)
3		lmfun 21514	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → Fun (⇝𝑡‘𝐽))
4		funfvbrb 6556	. . . 4 ⊢ (Fun (⇝𝑡‘𝐽) → (𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽) ↔ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)))
5	2, 3, 4	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽) ↔ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)))
6		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7	1, 6	lmmbr 23384	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦))))
8	7	biimpa 469	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦)))
9	8	simp1d 1173	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
10		simprr 790	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
11		simplll 792	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
12	8	simp2d 1174	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋)
13	12	ad2antrr 718	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋)
14		rpre 12082	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
15	14	ad2antlr 719	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
16		uzid 11945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
17	16	ad2antrl 720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
18		fvres 6430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → ((𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗))‘𝑗) = (𝑓‘𝑗))
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → ((𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗))‘𝑗) = (𝑓‘𝑗))
20	10, 17	ffvelrnd 6586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → ((𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗))‘𝑗) ∈ (((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
21	19, 20	eqeltrrd 2879	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (𝑓‘𝑗) ∈ (((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
22		blhalf 22538	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑓‘𝑗) ∈ (((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ⊆ ((𝑓‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
23	11, 13, 15, 21, 22	syl22anc 868	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ⊆ ((𝑓‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
24	10, 23	fssd 6270	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝑓‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
25		rphalfcl 12103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
26	8	simp3d 1175	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦))
27		oveq2 6886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / 2) → (((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦) = (((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
28	27	feq3d 6243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / 2) → ((𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ (𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
29	28	rexbidv 3233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / 2) → (∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
30	29	rspcv 3493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 / 2) ∈ ℝ+ → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦) → ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
31	25, 26, 30	syl2im 40	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
32	31	impcom 397	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
33		uzf 11933	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
34		ffn 6256	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ≥ Fn ℤ)
35		reseq2 5595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = (ℤ≥‘𝑗) → (𝑓 ↾ 𝑢) = (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)))
36		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = (ℤ≥‘𝑗) → 𝑢 = (ℤ≥‘𝑗))
37	35, 36	feq12d 6244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (ℤ≥‘𝑗) → ((𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ↔ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
38	37	rexrn 6587	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥ Fn ℤ → (∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
39	33, 34, 38	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
40	32, 39	sylib 210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
41	24, 40	reximddv 3198	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝑓‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
42	41	ralrimiva 3147	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝑓‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
43		iscau 23402	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝑓‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
44	43	adantr 473	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝑓‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
45	9, 42, 44	mpbir2and 705	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷))
46	45	ex 402	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)))
47	5, 46	sylbid 232	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)))
48	47	ssrdv 3804	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → dom (⇝𝑡‘𝐽) ⊆ (Cau‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ∀wral 3089  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3769  𝒫 cpw 4349   class class class wbr 4843  dom cdm 5312  ran crn 5313   ↾ cres 5314  Fun wfun 6095   Fn wfn 6096  ⟶wf 6097  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878   ↑_pm cpm 8096  ℂcc 10222  ℝcr 10223   / cdiv 10976  2c2 11368  ℤcz 11666  ℤ_≥cuz 11930  ℝ⁺crp 12074  ∞Metcxmet 20053  ballcbl 20055  MetOpencmopn 20058  ⇝_𝑡clm 21359  Hauscha 21441  Cauccau 23379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-sup 8590  df-inf 8591  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-xneg 12193  df-xadd 12194  df-xmul 12195  df-icc 12431  df-topgen 16419  df-psmet 20060  df-xmet 20061  df-met 20062  df-bl 20063  df-mopn 20064  df-top 21027  df-topon 21044  df-bases 21079  df-lm 21362  df-haus 21448  df-cau 23382

This theorem is referenced by:  hlimcaui  28618