MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumz 15614
Description: Any sum of zero over a summable set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sumz ((𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∨ 𝐴 ∈ Fin) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 0 = 0)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝑀

Proof of Theorem sumz
Dummy variables 𝑓 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . 5 (β„€β‰₯β€˜π‘€) = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 simpr 486 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 simpl 484 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
4 c0ex 11156 . . . . . . . 8 0 ∈ V
54fvconst2 7158 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (((β„€β‰₯β€˜π‘€) Γ— {0})β€˜π‘˜) = 0)
6 ifid 4531 . . . . . . 7 if(π‘˜ ∈ 𝐴, 0, 0) = 0
75, 6eqtr4di 2795 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (((β„€β‰₯β€˜π‘€) Γ— {0})β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, 0, 0))
87adantl 483 . . . . 5 (((𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (((β„€β‰₯β€˜π‘€) Γ— {0})β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, 0, 0))
9 0cnd 11155 . . . . 5 (((𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ β„‚)
101, 2, 3, 8, 9zsum 15610 . . . 4 ((𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 0 = ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , ((β„€β‰₯β€˜π‘€) Γ— {0}))))
11 fclim 15442 . . . . . 6 ⇝ :dom ⇝ βŸΆβ„‚
12 ffun 6676 . . . . . 6 ( ⇝ :dom ⇝ βŸΆβ„‚ β†’ Fun ⇝ )
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5 Fun ⇝
14 serclim0 15466 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„€ β†’ seq𝑀( + , ((β„€β‰₯β€˜π‘€) Γ— {0})) ⇝ 0)
1514adantl 483 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ seq𝑀( + , ((β„€β‰₯β€˜π‘€) Γ— {0})) ⇝ 0)
16 funbrfv 6898 . . . . 5 (Fun ⇝ β†’ (seq𝑀( + , ((β„€β‰₯β€˜π‘€) Γ— {0})) ⇝ 0 β†’ ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , ((β„€β‰₯β€˜π‘€) Γ— {0}))) = 0))
1713, 15, 16mpsyl 68 . . . 4 ((𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , ((β„€β‰₯β€˜π‘€) Γ— {0}))) = 0)
1810, 17eqtrd 2777 . . 3 ((𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 0 = 0)
19 uzf 12773 . . . . . . . . 9 β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€
2019fdmi 6685 . . . . . . . 8 dom β„€β‰₯ = β„€
2120eleq2i 2830 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ dom β„€β‰₯ ↔ 𝑀 ∈ β„€)
22 ndmfv 6882 . . . . . . 7 (Β¬ 𝑀 ∈ dom β„€β‰₯ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘€) = βˆ…)
2321, 22sylnbir 331 . . . . . 6 (Β¬ 𝑀 ∈ β„€ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘€) = βˆ…)
2423sseq2d 3981 . . . . 5 (Β¬ 𝑀 ∈ β„€ β†’ (𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↔ 𝐴 βŠ† βˆ…))
2524biimpac 480 . . . 4 ((𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐴 βŠ† βˆ…)
26 ss0 4363 . . . 4 (𝐴 βŠ† βˆ… β†’ 𝐴 = βˆ…)
27 sumeq1 15580 . . . . 5 (𝐴 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 0 = Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 0)
28 sum0 15613 . . . . 5 Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 0 = 0
2927, 28eqtrdi 2793 . . . 4 (𝐴 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 0 = 0)
3025, 26, 293syl 18 . . 3 ((𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 0 = 0)
3118, 30pm2.61dan 812 . 2 (𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 0 = 0)
32 fz1f1o 15602 . . 3 (𝐴 ∈ Fin β†’ (𝐴 = βˆ… ∨ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)))
33 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘›) β†’ 0 = 0)
34 simpl 484 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•)
35 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)
36 0cnd 11155 . . . . . . . . 9 ((((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ β„‚)
37 elfznn 13477 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
384fvconst2 7158 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((β„• Γ— {0})β€˜π‘›) = 0)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄)) β†’ ((β„• Γ— {0})β€˜π‘›) = 0)
4039adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ ((β„• Γ— {0})β€˜π‘›) = 0)
4133, 34, 35, 36, 40fsum 15612 . . . . . . . 8 (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 0 = (seq1( + , (β„• Γ— {0}))β€˜(β™―β€˜π΄)))
42 nnuz 12813 . . . . . . . . . 10 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
4342ser0 13967 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• β†’ (seq1( + , (β„• Γ— {0}))β€˜(β™―β€˜π΄)) = 0)
4443adantr 482 . . . . . . . 8 (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) β†’ (seq1( + , (β„• Γ— {0}))β€˜(β™―β€˜π΄)) = 0)
4541, 44eqtrd 2777 . . . . . . 7 (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 0 = 0)
4645ex 414 . . . . . 6 ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• β†’ (𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 0 = 0))
4746exlimdv 1937 . . . . 5 ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 0 = 0))
4847imp 408 . . . 4 (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 0 = 0)
4929, 48jaoi 856 . . 3 ((𝐴 = βˆ… ∨ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 0 = 0)
5032, 49syl 17 . 2 (𝐴 ∈ Fin β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 0 = 0)
5131, 50jaoi 856 1 ((𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∨ 𝐴 ∈ Fin) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 0 = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  ifcif 4491  π’« cpw 4565  {csn 4591   class class class wbr 5110   Γ— cxp 5636  dom cdm 5638  Fun wfun 6495  βŸΆwf 6497  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6500  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  β„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061  β„•cn 12160  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  ...cfz 13431  seqcseq 13913  β™―chash 14237   ⇝ cli 15373  Ξ£csu 15577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  fsum00  15690  fsumdvds  16197  pwp1fsum  16280  pcfac  16778  ovoliunnul  24887  vitalilem5  24992  itg1addlem5  25081  itg10a  25091  itg0  25160  itgz  25161  plymullem1  25591  coemullem  25627  logtayl  26031  ftalem5  26442  chp1  26532  logexprlim  26589  bposlem2  26649  rpvmasumlem  26851  axcgrid  27907  axlowdimlem16  27948  indsumin  32661  plymulx0  33199  signsplypnf  33202  fsum2dsub  33260  knoppndvlem6  35009  volsupnfl  36152  binomcxplemnn0  42703  binomcxplemnotnn0  42710  sumnnodd  43945  stoweidlem37  44352  fourierdlem103  44524  fourierdlem104  44525  etransclem24  44573  etransclem32  44581  etransclem35  44584  sge0z  44690  aacllem  47322
  Copyright terms: Public domain W3C validator