MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumz 15726
Description: Any sum of zero over a summable set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sumz ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem sumz
Dummy variables 𝑓 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . 5 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 simpr 483 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 simpl 481 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
4 c0ex 11258 . . . . . . . 8 0 ∈ V
54fvconst2 7221 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) = 0)
6 ifid 4573 . . . . . . 7 if(𝑘𝐴, 0, 0) = 0
75, 6eqtr4di 2784 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) = if(𝑘𝐴, 0, 0))
87adantl 480 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) = if(𝑘𝐴, 0, 0))
9 0cnd 11257 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ∈ ℂ)
101, 2, 3, 8, 9zsum 15722 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 0 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0}))))
11 fclim 15555 . . . . . 6 ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
12 ffun 6731 . . . . . 6 ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5 Fun ⇝
14 serclim0 15579 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0})) ⇝ 0)
1514adantl 480 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0})) ⇝ 0)
16 funbrfv 6952 . . . . 5 (Fun ⇝ → (seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0})) ⇝ 0 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0}))) = 0))
1713, 15, 16mpsyl 68 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0}))) = 0)
1810, 17eqtrd 2766 . . 3 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
19 uzf 12877 . . . . . . . . 9 :ℤ⟶𝒫 ℤ
2019fdmi 6739 . . . . . . . 8 dom ℤ = ℤ
2120eleq2i 2818 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ dom ℤ𝑀 ∈ ℤ)
22 ndmfv 6936 . . . . . . 7 𝑀 ∈ dom ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
2321, 22sylnbir 330 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
2423sseq2d 4012 . . . . 5 𝑀 ∈ ℤ → (𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ↔ 𝐴 ⊆ ∅))
2524biimpac 477 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ ∅)
26 ss0 4403 . . . 4 (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
27 sumeq1 15693 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → Σ𝑘𝐴 0 = Σ𝑘 ∈ ∅ 0)
28 sum0 15725 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ ∅ 0 = 0
2927, 28eqtrdi 2782 . . . 4 (𝐴 = ∅ → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
3025, 26, 293syl 18 . . 3 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
3118, 30pm2.61dan 811 . 2 (𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
32 fz1f1o 15714 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
33 eqidd 2727 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑓𝑛) → 0 = 0)
34 simpl 481 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
35 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
36 0cnd 11257 . . . . . . . . 9 ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ∈ ℂ)
37 elfznn 13584 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
384fvconst2 7221 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
4039adantl 480 . . . . . . . . 9 ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
4133, 34, 35, 36, 40fsum 15724 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → Σ𝑘𝐴 0 = (seq1( + , (ℕ × {0}))‘(♯‘𝐴)))
42 nnuz 12917 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
4342ser0 14074 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (seq1( + , (ℕ × {0}))‘(♯‘𝐴)) = 0)
4443adantr 479 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (seq1( + , (ℕ × {0}))‘(♯‘𝐴)) = 0)
4541, 44eqtrd 2766 . . . . . . 7 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
4645ex 411 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → Σ𝑘𝐴 0 = 0))
4746exlimdv 1929 . . . . 5 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → Σ𝑘𝐴 0 = 0))
4847imp 405 . . . 4 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
4929, 48jaoi 855 . . 3 ((𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
5032, 49syl 17 . 2 (𝐴 ∈ Fin → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
5131, 50jaoi 855 1 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  wo 845   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  wss 3947  c0 4325  ifcif 4533  𝒫 cpw 4607  {csn 4633   class class class wbr 5153   × cxp 5680  dom cdm 5682  Fun wfun 6548  wf 6550  1-1-ontowf1o 6553  cfv 6554  (class class class)co 7424  Fincfn 8974  cc 11156  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161  cn 12264  cz 12610  cuz 12874  ...cfz 13538  seqcseq 14021  chash 14347  cli 15486  Σcsu 15690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-clim 15490  df-sum 15691
This theorem is referenced by:  fsum00  15802  fsumdvds  16310  pwp1fsum  16393  pcfac  16901  ovoliunnul  25527  vitalilem5  25632  itg1addlem5  25721  itg10a  25731  itg0  25800  itgz  25801  plymullem1  26241  coemullem  26277  logtayl  26687  ftalem5  27105  chp1  27195  logexprlim  27254  bposlem2  27314  rpvmasumlem  27516  axcgrid  28850  axlowdimlem16  28891  indsumin  33855  plymulx0  34393  signsplypnf  34396  fsum2dsub  34453  knoppndvlem6  36220  volsupnfl  37366  binomcxplemnn0  44023  binomcxplemnotnn0  44030  sumnnodd  45251  stoweidlem37  45658  fourierdlem103  45830  fourierdlem104  45831  etransclem24  45879  etransclem32  45887  etransclem35  45890  sge0z  45996  aacllem  48549
  Copyright terms: Public domain W3C validator