MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumz 15068
Description: Any sum of zero over a summable set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sumz ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem sumz
Dummy variables 𝑓 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . . . 5 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 simpr 488 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 simpl 486 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
4 c0ex 10620 . . . . . . . 8 0 ∈ V
54fvconst2 6947 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) = 0)
6 ifid 4487 . . . . . . 7 if(𝑘𝐴, 0, 0) = 0
75, 6syl6eqr 2877 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) = if(𝑘𝐴, 0, 0))
87adantl 485 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) = if(𝑘𝐴, 0, 0))
9 0cnd 10619 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ∈ ℂ)
101, 2, 3, 8, 9zsum 15064 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 0 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0}))))
11 fclim 14899 . . . . . 6 ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
12 ffun 6498 . . . . . 6 ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5 Fun ⇝
14 serclim0 14923 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0})) ⇝ 0)
1514adantl 485 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0})) ⇝ 0)
16 funbrfv 6697 . . . . 5 (Fun ⇝ → (seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0})) ⇝ 0 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0}))) = 0))
1713, 15, 16mpsyl 68 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0}))) = 0)
1810, 17eqtrd 2859 . . 3 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
19 uzf 12232 . . . . . . . . 9 :ℤ⟶𝒫 ℤ
2019fdmi 6505 . . . . . . . 8 dom ℤ = ℤ
2120eleq2i 2907 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ dom ℤ𝑀 ∈ ℤ)
22 ndmfv 6681 . . . . . . 7 𝑀 ∈ dom ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
2321, 22sylnbir 334 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
2423sseq2d 3983 . . . . 5 𝑀 ∈ ℤ → (𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ↔ 𝐴 ⊆ ∅))
2524biimpac 482 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ ∅)
26 ss0 4333 . . . 4 (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
27 sumeq1 15034 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → Σ𝑘𝐴 0 = Σ𝑘 ∈ ∅ 0)
28 sum0 15067 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ ∅ 0 = 0
2927, 28syl6eq 2875 . . . 4 (𝐴 = ∅ → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
3025, 26, 293syl 18 . . 3 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
3118, 30pm2.61dan 812 . 2 (𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
32 fz1f1o 15056 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
33 eqidd 2825 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑓𝑛) → 0 = 0)
34 simpl 486 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
35 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
36 0cnd 10619 . . . . . . . . 9 ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ∈ ℂ)
37 elfznn 12929 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
384fvconst2 6947 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
4039adantl 485 . . . . . . . . 9 ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
4133, 34, 35, 36, 40fsum 15066 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → Σ𝑘𝐴 0 = (seq1( + , (ℕ × {0}))‘(♯‘𝐴)))
42 nnuz 12267 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
4342ser0 13416 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (seq1( + , (ℕ × {0}))‘(♯‘𝐴)) = 0)
4443adantr 484 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (seq1( + , (ℕ × {0}))‘(♯‘𝐴)) = 0)
4541, 44eqtrd 2859 . . . . . . 7 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
4645ex 416 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → Σ𝑘𝐴 0 = 0))
4746exlimdv 1935 . . . . 5 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → Σ𝑘𝐴 0 = 0))
4847imp 410 . . . 4 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
4929, 48jaoi 854 . . 3 ((𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
5032, 49syl 17 . 2 (𝐴 ∈ Fin → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
5131, 50jaoi 854 1 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2115  wss 3918  c0 4274  ifcif 4448  𝒫 cpw 4520  {csn 4548   class class class wbr 5047   × cxp 5534  dom cdm 5536  Fun wfun 6330  wf 6332  1-1-ontowf1o 6335  cfv 6336  (class class class)co 7138  Fincfn 8492  cc 10520  0cc0 10522  1c1 10523   + caddc 10525  cn 11623  cz 11967  cuz 12229  ...cfz 12883  seqcseq 13362  chash 13684  cli 14830  Σcsu 15031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-inf2 9088  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-se 5496  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-rp 12376  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584  df-clim 14834  df-sum 15032
This theorem is referenced by:  fsum00  15142  fsumdvds  15647  pwp1fsum  15729  pcfac  16222  ovoliunnul  24100  vitalilem5  24205  itg1addlem5  24293  itg10a  24303  itg0  24372  itgz  24373  plymullem1  24800  coemullem  24836  logtayl  25240  ftalem5  25651  chp1  25741  logexprlim  25798  bposlem2  25858  rpvmasumlem  26060  axcgrid  26699  axlowdimlem16  26740  indsumin  31299  plymulx0  31835  signsplypnf  31838  fsum2dsub  31896  knoppndvlem6  33874  volsupnfl  35002  binomcxplemnn0  40889  binomcxplemnotnn0  40896  sumnnodd  42114  stoweidlem37  42521  fourierdlem103  42693  fourierdlem104  42694  etransclem24  42742  etransclem32  42750  etransclem35  42753  sge0z  42856  aacllem  45159
  Copyright terms: Public domain W3C validator