Theorem sumz 15657

Description: Any sum of zero over a summable set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sumz	⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem sumz

Dummy variables 𝑓 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
4		c0ex 11138	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
5	4	fvconst2 7160	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((ℤ≥‘𝑀) × {0})‘𝑘) = 0)
6		ifid 4522	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑘 ∈ 𝐴, 0, 0) = 0
7	5, 6	eqtr4di 2790	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((ℤ≥‘𝑀) × {0})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 0, 0))
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (((ℤ≥‘𝑀) × {0})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 0, 0))
9		0cnd 11137	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℂ)
10	1, 2, 3, 8, 9	zsum 15653	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , ((ℤ≥‘𝑀) × {0}))))
11		fclim 15488	. . . . . 6 ⊢ ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
12		ffun 6673	. . . . . 6 ⊢ ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Fun ⇝
14		serclim0 15512	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , ((ℤ≥‘𝑀) × {0})) ⇝ 0)
15	14	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → seq𝑀( + , ((ℤ≥‘𝑀) × {0})) ⇝ 0)
16		funbrfv 6890	. . . . 5 ⊢ (Fun ⇝ → (seq𝑀( + , ((ℤ≥‘𝑀) × {0})) ⇝ 0 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , ((ℤ≥‘𝑀) × {0}))) = 0))
17	13, 15, 16	mpsyl 68	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , ((ℤ≥‘𝑀) × {0}))) = 0)
18	10, 17	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
19		uzf 12766	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
20	19	fdmi 6681	. . . . . . . 8 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
21	20	eleq2i 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ dom ℤ≥ ↔ 𝑀 ∈ ℤ)
22		ndmfv 6874	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
23	21, 22	sylnbir 331	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
24	23	sseq2d 3968	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝐴 ⊆ ∅))
25	24	biimpac 478	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ ∅)
26		ss0 4356	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
27		sumeq1 15624	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = Σ𝑘 ∈ ∅ 0)
28		sum0 15656	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 0 = 0
29	27, 28	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
30	25, 26, 29	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
31	18, 30	pm2.61dan 813	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
32		fz1f1o 15645	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
33		eqidd 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑛) → 0 = 0)
34		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
35		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
36		0cnd 11137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℂ)
37		elfznn 13481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
38	4	fvconst2 7160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
40	39	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
41	33, 34, 35, 36, 40	fsum 15655	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = (seq1( + , (ℕ × {0}))‘(♯‘𝐴)))
42		nnuz 12802	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
43	42	ser0 13989	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (seq1( + , (ℕ × {0}))‘(♯‘𝐴)) = 0)
44	43	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → (seq1( + , (ℕ × {0}))‘(♯‘𝐴)) = 0)
45	41, 44	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
46	45	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0))
47	46	exlimdv 1935	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0))
48	47	imp 406	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
49	29, 48	jaoi 858	. . 3 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
50	32, 49	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
51	31, 50	jaoi 858	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  ifcif 4481  𝒫 cpw 4556  {csn 4582   class class class wbr 5100   × cxp 5630  dom cdm 5632  Fun wfun 6494  ⟶wf 6496  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041  ℕcn 12157  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13435  seqcseq 13936  ♯chash 14265   ⇝ cli 15419  Σcsu 15621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622

This theorem is referenced by:  fsum00  15733  fsumdvds  16247  pwp1fsum  16330  pcfac  16839  ovoliunnul  25476  vitalilem5  25581  itg1addlem5  25669  itg10a  25679  itg0  25749  itgz  25750  plymullem1  26187  coemullem  26223  logtayl  26637  ftalem5  27055  chp1  27145  logexprlim  27204  bposlem2  27264  rpvmasumlem  27466  axcgrid  29001  axlowdimlem16  29042  indsumin  32953  elrgspnlem2  33336  plymulx0  34724  signsplypnf  34727  fsum2dsub  34784  knoppndvlem6  36736  volsupnfl  37910  binomcxplemnn0  44699  binomcxplemnotnn0  44706  sumnnodd  45984  stoweidlem37  46389  fourierdlem103  46561  fourierdlem104  46562  etransclem24  46610  etransclem32  46618  etransclem35  46621  sge0z  46727  aacllem  50154