Theorem sumz 15694

Description: Any sum of zero over a summable set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sumz	⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem sumz

Dummy variables 𝑓 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
4		c0ex 11232	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
5	4	fvconst2 7210	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((ℤ≥‘𝑀) × {0})‘𝑘) = 0)
6		ifid 4564	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑘 ∈ 𝐴, 0, 0) = 0
7	5, 6	eqtr4di 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((ℤ≥‘𝑀) × {0})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 0, 0))
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (((ℤ≥‘𝑀) × {0})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 0, 0))
9		0cnd 11231	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℂ)
10	1, 2, 3, 8, 9	zsum 15690	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , ((ℤ≥‘𝑀) × {0}))))
11		fclim 15523	. . . . . 6 ⊢ ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
12		ffun 6719	. . . . . 6 ⊢ ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Fun ⇝
14		serclim0 15547	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , ((ℤ≥‘𝑀) × {0})) ⇝ 0)
15	14	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → seq𝑀( + , ((ℤ≥‘𝑀) × {0})) ⇝ 0)
16		funbrfv 6942	. . . . 5 ⊢ (Fun ⇝ → (seq𝑀( + , ((ℤ≥‘𝑀) × {0})) ⇝ 0 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , ((ℤ≥‘𝑀) × {0}))) = 0))
17	13, 15, 16	mpsyl 68	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , ((ℤ≥‘𝑀) × {0}))) = 0)
18	10, 17	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
19		uzf 12849	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
20	19	fdmi 6728	. . . . . . . 8 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
21	20	eleq2i 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ dom ℤ≥ ↔ 𝑀 ∈ ℤ)
22		ndmfv 6926	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
23	21, 22	sylnbir 331	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
24	23	sseq2d 4010	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝐴 ⊆ ∅))
25	24	biimpac 478	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ ∅)
26		ss0 4394	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
27		sumeq1 15661	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = Σ𝑘 ∈ ∅ 0)
28		sum0 15693	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 0 = 0
29	27, 28	eqtrdi 2784	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
30	25, 26, 29	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
31	18, 30	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
32		fz1f1o 15682	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
33		eqidd 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑛) → 0 = 0)
34		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
35		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
36		0cnd 11231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℂ)
37		elfznn 13556	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
38	4	fvconst2 7210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
40	39	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
41	33, 34, 35, 36, 40	fsum 15692	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = (seq1( + , (ℕ × {0}))‘(♯‘𝐴)))
42		nnuz 12889	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
43	42	ser0 14045	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (seq1( + , (ℕ × {0}))‘(♯‘𝐴)) = 0)
44	43	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → (seq1( + , (ℕ × {0}))‘(♯‘𝐴)) = 0)
45	41, 44	eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
46	45	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0))
47	46	exlimdv 1929	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0))
48	47	imp 406	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
49	29, 48	jaoi 856	. . 3 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
50	32, 49	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
51	31, 50	jaoi 856	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534  ∃wex 1774   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3945  ∅c0 4318  ifcif 4524  𝒫 cpw 4598  {csn 4624   class class class wbr 5142   × cxp 5670  dom cdm 5672  Fun wfun 6536  ⟶wf 6538  –1-1-onto→wf1o 6541  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8957  ℂcc 11130  0cc0 11132  1c1 11133   + caddc 11135  ℕcn 12236  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12846  ...cfz 13510  seqcseq 13992  ♯chash 14315   ⇝ cli 15454  Σcsu 15658

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-seq 13993  df-exp 14053  df-hash 14316  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15458  df-sum 15659

This theorem is referenced by:  fsum00  15770  fsumdvds  16278  pwp1fsum  16361  pcfac  16861  ovoliunnul  25429  vitalilem5  25534  itg1addlem5  25623  itg10a  25633  itg0  25702  itgz  25703  plymullem1  26141  coemullem  26177  logtayl  26587  ftalem5  27002  chp1  27092  logexprlim  27151  bposlem2  27211  rpvmasumlem  27413  axcgrid  28720  axlowdimlem16  28761  indsumin  33635  plymulx0  34173  signsplypnf  34176  fsum2dsub  34233  knoppndvlem6  35986  volsupnfl  37132  binomcxplemnn0  43780  binomcxplemnotnn0  43787  sumnnodd  45012  stoweidlem37  45419  fourierdlem103  45591  fourierdlem104  45592  etransclem24  45640  etransclem32  45648  etransclem35  45651  sge0z  45757  aacllem  48228