Theorem liminfresuz 42426

Description: If the real part of the domain of a function is a subset of the integers, the inferior limit doesn't change when the function is restricted to an upper set of integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfresuz.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminfresuz.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminfresuz.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
liminfresuz.d	⊢ (𝜑 → dom (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
liminfresuz	⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝐹 ↾ 𝑍)) = (lim inf‘𝐹))

Proof of Theorem liminfresuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rescom 5844	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑍) ↾ ℝ) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍)
2	1	fveq2i 6648	. . . 4 ⊢ (lim inf‘((𝐹 ↾ 𝑍) ↾ ℝ)) = (lim inf‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍))
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘((𝐹 ↾ 𝑍) ↾ ℝ)) = (lim inf‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍)))
4		relres 5847	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel (𝐹 ↾ ℝ)
5	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Rel (𝐹 ↾ ℝ))
6		liminfresuz.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℤ)
7		relssres 5859	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Rel (𝐹 ↾ ℝ) ∧ dom (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℤ) → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) = (𝐹 ↾ ℝ))
8	5, 6, 7	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) = (𝐹 ↾ ℝ))
9	8	eqcomd 2804	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ))
10	9	reseq1d 5817	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝑀[,)+∞)) = (((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) ↾ (𝑀[,)+∞)))
11		resres 5831	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) ↾ (𝑀[,)+∞)) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) ↾ (𝑀[,)+∞)) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
13		liminfresuz.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
14		liminfresuz.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
15	13, 14	uzinico 42197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))
16	15	eqcomd 2804	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) = 𝑍)
17	16	reseq2d 5818	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍))
18	10, 12, 17	3eqtrrd 2838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝑀[,)+∞)))
19	18	fveq2d 6649	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍)) = (lim inf‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝑀[,)+∞))))
20	13	zred 12075	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
21		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (𝑀[,)+∞) = (𝑀[,)+∞)
22		liminfresuz.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
23	22	resexd 5865	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ) ∈ V)
24	20, 21, 23	liminfresico 42413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝑀[,)+∞))) = (lim inf‘(𝐹 ↾ ℝ)))
25	19, 24	eqtrd 2833	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍)) = (lim inf‘(𝐹 ↾ ℝ)))
26	3, 25	eqtrd 2833	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘((𝐹 ↾ 𝑍) ↾ ℝ)) = (lim inf‘(𝐹 ↾ ℝ)))
27	22	resexd 5865	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑍) ∈ V)
28	27	liminfresre 42421	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘((𝐹 ↾ 𝑍) ↾ ℝ)) = (lim inf‘(𝐹 ↾ 𝑍)))
29	22	liminfresre 42421	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝐹 ↾ ℝ)) = (lim inf‘𝐹))
30	26, 28, 29	3eqtr3d 2841	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝐹 ↾ 𝑍)) = (lim inf‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  dom cdm 5519   ↾ cres 5521  Rel wrel 5524  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  +∞cpnf 10661  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  [,)cico 12728  lim infclsi 42393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-ico 12732  df-liminf 42394

This theorem is referenced by:  liminfresuz2  42429