Theorem liminfresuz 45782

Description: If the real part of the domain of a function is a subset of the integers, the inferior limit doesn't change when the function is restricted to an upper set of integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfresuz.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminfresuz.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminfresuz.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
liminfresuz.d	⊢ (𝜑 → dom (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
liminfresuz	⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝐹 ↾ 𝑍)) = (lim inf‘𝐹))

Proof of Theorem liminfresuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rescom 5973	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑍) ↾ ℝ) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍)
2	1	fveq2i 6861	. . . 4 ⊢ (lim inf‘((𝐹 ↾ 𝑍) ↾ ℝ)) = (lim inf‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍))
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘((𝐹 ↾ 𝑍) ↾ ℝ)) = (lim inf‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍)))
4		relres 5976	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel (𝐹 ↾ ℝ)
5	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Rel (𝐹 ↾ ℝ))
6		liminfresuz.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℤ)
7		relssres 5993	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Rel (𝐹 ↾ ℝ) ∧ dom (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℤ) → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) = (𝐹 ↾ ℝ))
8	5, 6, 7	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) = (𝐹 ↾ ℝ))
9	8	eqcomd 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ))
10	9	reseq1d 5949	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝑀[,)+∞)) = (((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) ↾ (𝑀[,)+∞)))
11		resres 5963	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) ↾ (𝑀[,)+∞)) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) ↾ (𝑀[,)+∞)) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
13		liminfresuz.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
14		liminfresuz.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
15	13, 14	uzinico 45557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))
16	15	eqcomd 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) = 𝑍)
17	16	reseq2d 5950	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍))
18	10, 12, 17	3eqtrrd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝑀[,)+∞)))
19	18	fveq2d 6862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍)) = (lim inf‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝑀[,)+∞))))
20	13	zred 12638	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
21		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑀[,)+∞) = (𝑀[,)+∞)
22		liminfresuz.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
23	22	resexd 5999	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ) ∈ V)
24	20, 21, 23	liminfresico 45769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝑀[,)+∞))) = (lim inf‘(𝐹 ↾ ℝ)))
25	19, 24	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍)) = (lim inf‘(𝐹 ↾ ℝ)))
26	3, 25	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘((𝐹 ↾ 𝑍) ↾ ℝ)) = (lim inf‘(𝐹 ↾ ℝ)))
27	22	resexd 5999	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑍) ∈ V)
28	27	liminfresre 45777	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘((𝐹 ↾ 𝑍) ↾ ℝ)) = (lim inf‘(𝐹 ↾ 𝑍)))
29	22	liminfresre 45777	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝐹 ↾ ℝ)) = (lim inf‘𝐹))
30	26, 28, 29	3eqtr3d 2772	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝐹 ↾ 𝑍)) = (lim inf‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  dom cdm 5638   ↾ cres 5640  Rel wrel 5643  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  +∞cpnf 11205  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  [,)cico 13308  lim infclsi 45749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-ico 13312  df-liminf 45750

This theorem is referenced by:  liminfresuz2  45785