Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfresuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfresuz 42217
 Description: If the real part of the domain of a function is a subset of the integers, the inferior limit doesn't change when the function is restricted to an upper set of integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfresuz.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
liminfresuz.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
liminfresuz.f (𝜑𝐹𝑉)
liminfresuz.d (𝜑 → dom (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℤ)
Assertion
Ref Expression
liminfresuz (𝜑 → (lim inf‘(𝐹𝑍)) = (lim inf‘𝐹))

Proof of Theorem liminfresuz
StepHypRef Expression
1 rescom 5855 . . . . 5 ((𝐹𝑍) ↾ ℝ) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍)
21fveq2i 6649 . . . 4 (lim inf‘((𝐹𝑍) ↾ ℝ)) = (lim inf‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍))
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → (lim inf‘((𝐹𝑍) ↾ ℝ)) = (lim inf‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍)))
4 relres 5858 . . . . . . . . . 10 Rel (𝐹 ↾ ℝ)
54a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Rel (𝐹 ↾ ℝ))
6 liminfresuz.d . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℤ)
7 relssres 5869 . . . . . . . . 9 ((Rel (𝐹 ↾ ℝ) ∧ dom (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℤ) → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) = (𝐹 ↾ ℝ))
85, 6, 7syl2anc 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) = (𝐹 ↾ ℝ))
98eqcomd 2826 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ))
109reseq1d 5828 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝑀[,)+∞)) = (((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) ↾ (𝑀[,)+∞)))
11 resres 5842 . . . . . . 7 (((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) ↾ (𝑀[,)+∞)) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))
1211a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) ↾ (𝑀[,)+∞)) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
13 liminfresuz.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
14 liminfresuz.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
1513, 14uzinico 41988 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 = (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))
1615eqcomd 2826 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) = 𝑍)
1716reseq2d 5829 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍))
1810, 12, 173eqtrrd 2860 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝑀[,)+∞)))
1918fveq2d 6650 . . . 4 (𝜑 → (lim inf‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍)) = (lim inf‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝑀[,)+∞))))
2013zred 12066 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
21 eqid 2820 . . . . 5 (𝑀[,)+∞) = (𝑀[,)+∞)
22 liminfresuz.f . . . . . 6 (𝜑𝐹𝑉)
2322resexd 41557 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ) ∈ V)
2420, 21, 23liminfresico 42204 . . . 4 (𝜑 → (lim inf‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝑀[,)+∞))) = (lim inf‘(𝐹 ↾ ℝ)))
2519, 24eqtrd 2855 . . 3 (𝜑 → (lim inf‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍)) = (lim inf‘(𝐹 ↾ ℝ)))
263, 25eqtrd 2855 . 2 (𝜑 → (lim inf‘((𝐹𝑍) ↾ ℝ)) = (lim inf‘(𝐹 ↾ ℝ)))
2722resexd 41557 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑍) ∈ V)
2827liminfresre 42212 . 2 (𝜑 → (lim inf‘((𝐹𝑍) ↾ ℝ)) = (lim inf‘(𝐹𝑍)))
2922liminfresre 42212 . 2 (𝜑 → (lim inf‘(𝐹 ↾ ℝ)) = (lim inf‘𝐹))
3026, 28, 293eqtr3d 2863 1 (𝜑 → (lim inf‘(𝐹𝑍)) = (lim inf‘𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3473   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  dom cdm 5531   ↾ cres 5533  Rel wrel 5536  ‘cfv 6331  (class class class)co 7133  ℝcr 10514  +∞cpnf 10650  ℤcz 11960  ℤ≥cuz 12222  [,)cico 12719  lim infclsi 42184 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-sup 8884  df-inf 8885  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-q 12328  df-ico 12723  df-liminf 42185 This theorem is referenced by:  liminfresuz2  42220
 Copyright terms: Public domain W3C validator