Theorem limsupresuz 46131

Description: If the real part of the domain of a function is a subset of the integers, the superior limit doesn't change when the function is restricted to an upper set of integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupresuz.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupresuz.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupresuz.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
limsupresuz.d	⊢ (𝜑 → dom (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
limsupresuz	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝑍)) = (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem limsupresuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rescom 5967	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑍) ↾ ℝ) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍)
2	1	fveq2i 6843	. . . 4 ⊢ (lim sup‘((𝐹 ↾ 𝑍) ↾ ℝ)) = (lim sup‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍))
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘((𝐹 ↾ 𝑍) ↾ ℝ)) = (lim sup‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍)))
4		relres 5970	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel (𝐹 ↾ ℝ)
5	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Rel (𝐹 ↾ ℝ))
6		limsupresuz.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℤ)
7		relssres 5987	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Rel (𝐹 ↾ ℝ) ∧ dom (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℤ) → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) = (𝐹 ↾ ℝ))
8	5, 6, 7	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) = (𝐹 ↾ ℝ))
9	8	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ))
10	9	reseq1d 5943	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝑀[,)+∞)) = (((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) ↾ (𝑀[,)+∞)))
11		resres 5957	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) ↾ (𝑀[,)+∞)) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) ↾ (𝑀[,)+∞)) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
13		limsupresuz.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
14		limsupresuz.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
15	13, 14	uzinico 45989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))
16	15	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) = 𝑍)
17	16	reseq2d 5944	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍))
18	10, 12, 17	3eqtrrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝑀[,)+∞)))
19	18	fveq2d 6844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍)) = (lim sup‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝑀[,)+∞))))
20	13	zred 12633	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
21		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑀[,)+∞) = (𝑀[,)+∞)
22		limsupresuz.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
23	22	resexd 5993	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ) ∈ V)
24	20, 21, 23	limsupresico 46128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝑀[,)+∞))) = (lim sup‘(𝐹 ↾ ℝ)))
25	19, 24	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍)) = (lim sup‘(𝐹 ↾ ℝ)))
26	3, 25	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘((𝐹 ↾ 𝑍) ↾ ℝ)) = (lim sup‘(𝐹 ↾ ℝ)))
27	22	resexd 5993	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑍) ∈ V)
28	27	limsupresre 46124	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘((𝐹 ↾ 𝑍) ↾ ℝ)) = (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝑍)))
29	22	limsupresre 46124	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ ℝ)) = (lim sup‘𝐹))
30	26, 28, 29	3eqtr3d 2779	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝑍)) = (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  dom cdm 5631   ↾ cres 5633  Rel wrel 5636  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  +∞cpnf 11176  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  [,)cico 13300  lim supclsp 15432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-ico 13304  df-limsup 15433

This theorem is referenced by:  limsupresuz2  46137