Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupresuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupresuz 43198
Description: If the real part of the domain of a function is a subset of the integers, the superior limit doesn't change when the function is restricted to an upper set of integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupresuz.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
limsupresuz.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
limsupresuz.f (𝜑𝐹𝑉)
limsupresuz.d (𝜑 → dom (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℤ)
Assertion
Ref Expression
limsupresuz (𝜑 → (lim sup‘(𝐹𝑍)) = (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem limsupresuz
StepHypRef Expression
1 rescom 5914 . . . . 5 ((𝐹𝑍) ↾ ℝ) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍)
21fveq2i 6771 . . . 4 (lim sup‘((𝐹𝑍) ↾ ℝ)) = (lim sup‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍))
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘((𝐹𝑍) ↾ ℝ)) = (lim sup‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍)))
4 relres 5917 . . . . . . . . . 10 Rel (𝐹 ↾ ℝ)
54a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Rel (𝐹 ↾ ℝ))
6 limsupresuz.d . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℤ)
7 relssres 5929 . . . . . . . . 9 ((Rel (𝐹 ↾ ℝ) ∧ dom (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℤ) → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) = (𝐹 ↾ ℝ))
85, 6, 7syl2anc 583 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) = (𝐹 ↾ ℝ))
98eqcomd 2745 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ))
109reseq1d 5887 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝑀[,)+∞)) = (((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) ↾ (𝑀[,)+∞)))
11 resres 5901 . . . . . . 7 (((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) ↾ (𝑀[,)+∞)) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))
1211a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) ↾ (𝑀[,)+∞)) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
13 limsupresuz.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
14 limsupresuz.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
1513, 14uzinico 43052 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 = (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))
1615eqcomd 2745 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) = 𝑍)
1716reseq2d 5888 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍))
1810, 12, 173eqtrrd 2784 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝑀[,)+∞)))
1918fveq2d 6772 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍)) = (lim sup‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝑀[,)+∞))))
2013zred 12408 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
21 eqid 2739 . . . . 5 (𝑀[,)+∞) = (𝑀[,)+∞)
22 limsupresuz.f . . . . . 6 (𝜑𝐹𝑉)
2322resexd 5935 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ) ∈ V)
2420, 21, 23limsupresico 43195 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝑀[,)+∞))) = (lim sup‘(𝐹 ↾ ℝ)))
2519, 24eqtrd 2779 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍)) = (lim sup‘(𝐹 ↾ ℝ)))
263, 25eqtrd 2779 . 2 (𝜑 → (lim sup‘((𝐹𝑍) ↾ ℝ)) = (lim sup‘(𝐹 ↾ ℝ)))
2722resexd 5935 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑍) ∈ V)
2827limsupresre 43191 . 2 (𝜑 → (lim sup‘((𝐹𝑍) ↾ ℝ)) = (lim sup‘(𝐹𝑍)))
2922limsupresre 43191 . 2 (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ ℝ)) = (lim sup‘𝐹))
3026, 28, 293eqtr3d 2787 1 (𝜑 → (lim sup‘(𝐹𝑍)) = (lim sup‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2109  Vcvv 3430  cin 3890  wss 3891  dom cdm 5588  cres 5590  Rel wrel 5593  cfv 6430  (class class class)co 7268  cr 10854  +∞cpnf 10990  cz 12302  cuz 12564  [,)cico 13063  lim supclsp 15160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-sup 9162  df-inf 9163  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-q 12671  df-ico 13067  df-limsup 15161
This theorem is referenced by:  limsupresuz2  43204
  Copyright terms: Public domain W3C validator