Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupresuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupresuz 45153
Description: If the real part of the domain of a function is a subset of the integers, the superior limit doesn't change when the function is restricted to an upper set of integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupresuz.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
limsupresuz.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
limsupresuz.f (𝜑𝐹𝑉)
limsupresuz.d (𝜑 → dom (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℤ)
Assertion
Ref Expression
limsupresuz (𝜑 → (lim sup‘(𝐹𝑍)) = (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem limsupresuz
StepHypRef Expression
1 rescom 6002 . . . . 5 ((𝐹𝑍) ↾ ℝ) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍)
21fveq2i 6894 . . . 4 (lim sup‘((𝐹𝑍) ↾ ℝ)) = (lim sup‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍))
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘((𝐹𝑍) ↾ ℝ)) = (lim sup‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍)))
4 relres 6005 . . . . . . . . . 10 Rel (𝐹 ↾ ℝ)
54a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Rel (𝐹 ↾ ℝ))
6 limsupresuz.d . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℤ)
7 relssres 6021 . . . . . . . . 9 ((Rel (𝐹 ↾ ℝ) ∧ dom (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℤ) → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) = (𝐹 ↾ ℝ))
85, 6, 7syl2anc 582 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) = (𝐹 ↾ ℝ))
98eqcomd 2731 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ))
109reseq1d 5978 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝑀[,)+∞)) = (((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) ↾ (𝑀[,)+∞)))
11 resres 5992 . . . . . . 7 (((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) ↾ (𝑀[,)+∞)) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))
1211a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) ↾ (𝑀[,)+∞)) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
13 limsupresuz.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
14 limsupresuz.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
1513, 14uzinico 45007 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 = (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))
1615eqcomd 2731 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) = 𝑍)
1716reseq2d 5979 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍))
1810, 12, 173eqtrrd 2770 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝑀[,)+∞)))
1918fveq2d 6895 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍)) = (lim sup‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝑀[,)+∞))))
2013zred 12694 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
21 eqid 2725 . . . . 5 (𝑀[,)+∞) = (𝑀[,)+∞)
22 limsupresuz.f . . . . . 6 (𝜑𝐹𝑉)
2322resexd 6027 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ) ∈ V)
2420, 21, 23limsupresico 45150 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝑀[,)+∞))) = (lim sup‘(𝐹 ↾ ℝ)))
2519, 24eqtrd 2765 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍)) = (lim sup‘(𝐹 ↾ ℝ)))
263, 25eqtrd 2765 . 2 (𝜑 → (lim sup‘((𝐹𝑍) ↾ ℝ)) = (lim sup‘(𝐹 ↾ ℝ)))
2722resexd 6027 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑍) ∈ V)
2827limsupresre 45146 . 2 (𝜑 → (lim sup‘((𝐹𝑍) ↾ ℝ)) = (lim sup‘(𝐹𝑍)))
2922limsupresre 45146 . 2 (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ ℝ)) = (lim sup‘𝐹))
3026, 28, 293eqtr3d 2773 1 (𝜑 → (lim sup‘(𝐹𝑍)) = (lim sup‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3463  cin 3939  wss 3940  dom cdm 5672  cres 5674  Rel wrel 5677  cfv 6542  (class class class)co 7415  cr 11135  +∞cpnf 11273  cz 12586  cuz 12850  [,)cico 13356  lim supclsp 15444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12961  df-ico 13360  df-limsup 15445
This theorem is referenced by:  limsupresuz2  45159
  Copyright terms: Public domain W3C validator