Theorem limsupresuz 41991

Description: If the real part of the domain of a function is a subset of the integers, the superior limit doesn't change when the function is restricted to an upper set of integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupresuz.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupresuz.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupresuz.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
limsupresuz.d	⊢ (𝜑 → dom (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
limsupresuz	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝑍)) = (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem limsupresuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rescom 5881	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑍) ↾ ℝ) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍)
2	1	fveq2i 6675	. . . 4 ⊢ (lim sup‘((𝐹 ↾ 𝑍) ↾ ℝ)) = (lim sup‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍))
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘((𝐹 ↾ 𝑍) ↾ ℝ)) = (lim sup‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍)))
4		relres 5884	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel (𝐹 ↾ ℝ)
5	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Rel (𝐹 ↾ ℝ))
6		limsupresuz.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℤ)
7		relssres 5895	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Rel (𝐹 ↾ ℝ) ∧ dom (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℤ) → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) = (𝐹 ↾ ℝ))
8	5, 6, 7	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) = (𝐹 ↾ ℝ))
9	8	eqcomd 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ))
10	9	reseq1d 5854	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝑀[,)+∞)) = (((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) ↾ (𝑀[,)+∞)))
11		resres 5868	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) ↾ (𝑀[,)+∞)) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) ↾ (𝑀[,)+∞)) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
13		limsupresuz.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
14		limsupresuz.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
15	13, 14	uzinico 41843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))
16	15	eqcomd 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) = 𝑍)
17	16	reseq2d 5855	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍))
18	10, 12, 17	3eqtrrd 2863	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝑀[,)+∞)))
19	18	fveq2d 6676	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍)) = (lim sup‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝑀[,)+∞))))
20	13	zred 12090	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
21		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑀[,)+∞) = (𝑀[,)+∞)
22		limsupresuz.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
23	22	resexd 41410	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ) ∈ V)
24	20, 21, 23	limsupresico 41988	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝑀[,)+∞))) = (lim sup‘(𝐹 ↾ ℝ)))
25	19, 24	eqtrd 2858	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍)) = (lim sup‘(𝐹 ↾ ℝ)))
26	3, 25	eqtrd 2858	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘((𝐹 ↾ 𝑍) ↾ ℝ)) = (lim sup‘(𝐹 ↾ ℝ)))
27	22	resexd 41410	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑍) ∈ V)
28	27	limsupresre 41984	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘((𝐹 ↾ 𝑍) ↾ ℝ)) = (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝑍)))
29	22	limsupresre 41984	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ ℝ)) = (lim sup‘𝐹))
30	26, 28, 29	3eqtr3d 2866	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝑍)) = (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496   ∩ cin 3937   ⊆ wss 3938  dom cdm 5557   ↾ cres 5559  Rel wrel 5562  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  +∞cpnf 10674  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  [,)cico 12743  lim supclsp 14829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-q 12352  df-ico 12747  df-limsup 14830

This theorem is referenced by:  limsupresuz2  41997