Theorem limsupresuz 43244

Description: If the real part of the domain of a function is a subset of the integers, the superior limit doesn't change when the function is restricted to an upper set of integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupresuz.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupresuz.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupresuz.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
limsupresuz.d	⊢ (𝜑 → dom (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
limsupresuz	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝑍)) = (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem limsupresuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rescom 5917	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑍) ↾ ℝ) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍)
2	1	fveq2i 6777	. . . 4 ⊢ (lim sup‘((𝐹 ↾ 𝑍) ↾ ℝ)) = (lim sup‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍))
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘((𝐹 ↾ 𝑍) ↾ ℝ)) = (lim sup‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍)))
4		relres 5920	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel (𝐹 ↾ ℝ)
5	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Rel (𝐹 ↾ ℝ))
6		limsupresuz.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℤ)
7		relssres 5932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Rel (𝐹 ↾ ℝ) ∧ dom (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℤ) → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) = (𝐹 ↾ ℝ))
8	5, 6, 7	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) = (𝐹 ↾ ℝ))
9	8	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ))
10	9	reseq1d 5890	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝑀[,)+∞)) = (((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) ↾ (𝑀[,)+∞)))
11		resres 5904	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) ↾ (𝑀[,)+∞)) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ ℝ) ↾ ℤ) ↾ (𝑀[,)+∞)) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))))
13		limsupresuz.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
14		limsupresuz.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
15	13, 14	uzinico 43098	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)))
16	15	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞)) = 𝑍)
17	16	reseq2d 5891	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (ℤ ∩ (𝑀[,)+∞))) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍))
18	10, 12, 17	3eqtrrd 2783	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍) = ((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝑀[,)+∞)))
19	18	fveq2d 6778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍)) = (lim sup‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝑀[,)+∞))))
20	13	zred 12426	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
21		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑀[,)+∞) = (𝑀[,)+∞)
22		limsupresuz.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
23	22	resexd 5938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ) ∈ V)
24	20, 21, 23	limsupresico 43241	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ (𝑀[,)+∞))) = (lim sup‘(𝐹 ↾ ℝ)))
25	19, 24	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘((𝐹 ↾ ℝ) ↾ 𝑍)) = (lim sup‘(𝐹 ↾ ℝ)))
26	3, 25	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘((𝐹 ↾ 𝑍) ↾ ℝ)) = (lim sup‘(𝐹 ↾ ℝ)))
27	22	resexd 5938	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑍) ∈ V)
28	27	limsupresre 43237	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘((𝐹 ↾ 𝑍) ↾ ℝ)) = (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝑍)))
29	22	limsupresre 43237	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ ℝ)) = (lim sup‘𝐹))
30	26, 28, 29	3eqtr3d 2786	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝑍)) = (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  dom cdm 5589   ↾ cres 5591  Rel wrel 5594  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  +∞cpnf 11006  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  [,)cico 13081  lim supclsp 15179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-ico 13085  df-limsup 15180

This theorem is referenced by:  limsupresuz2  43250