Theorem mulgfvi 18950

Description: The group multiple operation is compatible with identity-function protection. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulgfvi.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgfvi	⊢ · = (.g‘( I ‘𝐺))

Proof of Theorem mulgfvi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgfvi.t	. 2 ⊢ · = (.g‘𝐺)
2		fvi 6964	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
3	2	eqcomd 2738	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝐺 = ( I ‘𝐺))
4	3	fveq2d 6892	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (.g‘𝐺) = (.g‘( I ‘𝐺)))
5		fvprc 6880	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (.g‘𝐺) = ∅)
6		fvprc 6880	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → ( I ‘𝐺) = ∅)
7	6	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (.g‘( I ‘𝐺)) = (.g‘∅))
8		base0 17145	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘∅) = (.g‘∅)
10	8, 9	mulgfn 18949	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘∅) Fn (ℤ × ∅)
11		xp0 6154	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ × ∅) = ∅
12	11	fneq2i 6644	. . . . . . 7 ⊢ ((.g‘∅) Fn (ℤ × ∅) ↔ (.g‘∅) Fn ∅)
13	10, 12	mpbi 229	. . . . . 6 ⊢ (.g‘∅) Fn ∅
14		fn0 6678	. . . . . 6 ⊢ ((.g‘∅) Fn ∅ ↔ (.g‘∅) = ∅)
15	13, 14	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ (.g‘∅) = ∅
16	7, 15	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (.g‘( I ‘𝐺)) = ∅)
17	5, 16	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (.g‘𝐺) = (.g‘( I ‘𝐺)))
18	4, 17	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘( I ‘𝐺))
19	1, 18	eqtri 2760	1 ⊢ · = (.g‘( I ‘𝐺))

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  ∅c0 4321   I cid 5572   × cxp 5673   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540  ℤcz 12554  ._gcmg 18944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-seq 13963  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-mulg 18945

This theorem is referenced by: (None)