MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgfvi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgfvi 19036
Description: The group multiple operation is compatible with identity-function protection. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mulgfvi.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgfvi ยท = (.gโ€˜( I โ€˜๐บ))

Proof of Theorem mulgfvi
StepHypRef Expression
1 mulgfvi.t . 2 ยท = (.gโ€˜๐บ)
2 fvi 6979 . . . . 5 (๐บ โˆˆ V โ†’ ( I โ€˜๐บ) = ๐บ)
32eqcomd 2734 . . . 4 (๐บ โˆˆ V โ†’ ๐บ = ( I โ€˜๐บ))
43fveq2d 6906 . . 3 (๐บ โˆˆ V โ†’ (.gโ€˜๐บ) = (.gโ€˜( I โ€˜๐บ)))
5 fvprc 6894 . . . 4 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ (.gโ€˜๐บ) = โˆ…)
6 fvprc 6894 . . . . . 6 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ ( I โ€˜๐บ) = โˆ…)
76fveq2d 6906 . . . . 5 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ (.gโ€˜( I โ€˜๐บ)) = (.gโ€˜โˆ…))
8 base0 17192 . . . . . . . 8 โˆ… = (Baseโ€˜โˆ…)
9 eqid 2728 . . . . . . . 8 (.gโ€˜โˆ…) = (.gโ€˜โˆ…)
108, 9mulgfn 19035 . . . . . . 7 (.gโ€˜โˆ…) Fn (โ„ค ร— โˆ…)
11 xp0 6167 . . . . . . . 8 (โ„ค ร— โˆ…) = โˆ…
1211fneq2i 6657 . . . . . . 7 ((.gโ€˜โˆ…) Fn (โ„ค ร— โˆ…) โ†” (.gโ€˜โˆ…) Fn โˆ…)
1310, 12mpbi 229 . . . . . 6 (.gโ€˜โˆ…) Fn โˆ…
14 fn0 6691 . . . . . 6 ((.gโ€˜โˆ…) Fn โˆ… โ†” (.gโ€˜โˆ…) = โˆ…)
1513, 14mpbi 229 . . . . 5 (.gโ€˜โˆ…) = โˆ…
167, 15eqtrdi 2784 . . . 4 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ (.gโ€˜( I โ€˜๐บ)) = โˆ…)
175, 16eqtr4d 2771 . . 3 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ (.gโ€˜๐บ) = (.gโ€˜( I โ€˜๐บ)))
184, 17pm2.61i 182 . 2 (.gโ€˜๐บ) = (.gโ€˜( I โ€˜๐บ))
191, 18eqtri 2756 1 ยท = (.gโ€˜( I โ€˜๐บ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3473  โˆ…c0 4326   I cid 5579   ร— cxp 5680   Fn wfn 6548  โ€˜cfv 6553  โ„คcz 12596  .gcmg 19030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-seq 14007  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-mulg 19031
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator