MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgfvi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgfvi 18883
Description: The group multiple operation is compatible with identity-function protection. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mulgfvi.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgfvi ยท = (.gโ€˜( I โ€˜๐บ))

Proof of Theorem mulgfvi
StepHypRef Expression
1 mulgfvi.t . 2 ยท = (.gโ€˜๐บ)
2 fvi 6918 . . . . 5 (๐บ โˆˆ V โ†’ ( I โ€˜๐บ) = ๐บ)
32eqcomd 2739 . . . 4 (๐บ โˆˆ V โ†’ ๐บ = ( I โ€˜๐บ))
43fveq2d 6847 . . 3 (๐บ โˆˆ V โ†’ (.gโ€˜๐บ) = (.gโ€˜( I โ€˜๐บ)))
5 fvprc 6835 . . . 4 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ (.gโ€˜๐บ) = โˆ…)
6 fvprc 6835 . . . . . 6 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ ( I โ€˜๐บ) = โˆ…)
76fveq2d 6847 . . . . 5 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ (.gโ€˜( I โ€˜๐บ)) = (.gโ€˜โˆ…))
8 base0 17093 . . . . . . . 8 โˆ… = (Baseโ€˜โˆ…)
9 eqid 2733 . . . . . . . 8 (.gโ€˜โˆ…) = (.gโ€˜โˆ…)
108, 9mulgfn 18882 . . . . . . 7 (.gโ€˜โˆ…) Fn (โ„ค ร— โˆ…)
11 xp0 6111 . . . . . . . 8 (โ„ค ร— โˆ…) = โˆ…
1211fneq2i 6601 . . . . . . 7 ((.gโ€˜โˆ…) Fn (โ„ค ร— โˆ…) โ†” (.gโ€˜โˆ…) Fn โˆ…)
1310, 12mpbi 229 . . . . . 6 (.gโ€˜โˆ…) Fn โˆ…
14 fn0 6633 . . . . . 6 ((.gโ€˜โˆ…) Fn โˆ… โ†” (.gโ€˜โˆ…) = โˆ…)
1513, 14mpbi 229 . . . . 5 (.gโ€˜โˆ…) = โˆ…
167, 15eqtrdi 2789 . . . 4 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ (.gโ€˜( I โ€˜๐บ)) = โˆ…)
175, 16eqtr4d 2776 . . 3 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ (.gโ€˜๐บ) = (.gโ€˜( I โ€˜๐บ)))
184, 17pm2.61i 182 . 2 (.gโ€˜๐บ) = (.gโ€˜( I โ€˜๐บ))
191, 18eqtri 2761 1 ยท = (.gโ€˜( I โ€˜๐บ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3444  โˆ…c0 4283   I cid 5531   ร— cxp 5632   Fn wfn 6492  โ€˜cfv 6497  โ„คcz 12504  .gcmg 18877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-seq 13913  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-mulg 18878
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator