MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgfvi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgfvi 18230
Description: The group multiple operation is compatible with identity-function protection. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mulgfvi.t · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgfvi · = (.g‘( I ‘𝐺))

Proof of Theorem mulgfvi
StepHypRef Expression
1 mulgfvi.t . 2 · = (.g𝐺)
2 fvi 6731 . . . . 5 (𝐺 ∈ V → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
32eqcomd 2830 . . . 4 (𝐺 ∈ V → 𝐺 = ( I ‘𝐺))
43fveq2d 6665 . . 3 (𝐺 ∈ V → (.g𝐺) = (.g‘( I ‘𝐺)))
5 fvprc 6654 . . . 4 𝐺 ∈ V → (.g𝐺) = ∅)
6 fvprc 6654 . . . . . 6 𝐺 ∈ V → ( I ‘𝐺) = ∅)
76fveq2d 6665 . . . . 5 𝐺 ∈ V → (.g‘( I ‘𝐺)) = (.g‘∅))
8 base0 16536 . . . . . . . 8 ∅ = (Base‘∅)
9 eqid 2824 . . . . . . . 8 (.g‘∅) = (.g‘∅)
108, 9mulgfn 18229 . . . . . . 7 (.g‘∅) Fn (ℤ × ∅)
11 xp0 6002 . . . . . . . 8 (ℤ × ∅) = ∅
1211fneq2i 6439 . . . . . . 7 ((.g‘∅) Fn (ℤ × ∅) ↔ (.g‘∅) Fn ∅)
1310, 12mpbi 233 . . . . . 6 (.g‘∅) Fn ∅
14 fn0 6468 . . . . . 6 ((.g‘∅) Fn ∅ ↔ (.g‘∅) = ∅)
1513, 14mpbi 233 . . . . 5 (.g‘∅) = ∅
167, 15syl6eq 2875 . . . 4 𝐺 ∈ V → (.g‘( I ‘𝐺)) = ∅)
175, 16eqtr4d 2862 . . 3 𝐺 ∈ V → (.g𝐺) = (.g‘( I ‘𝐺)))
184, 17pm2.61i 185 . 2 (.g𝐺) = (.g‘( I ‘𝐺))
191, 18eqtri 2847 1 · = (.g‘( I ‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3480  c0 4276   I cid 5446   × cxp 5540   Fn wfn 6338  cfv 6343  cz 11978  .gcmg 18224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-seq 13374  df-slot 16487  df-base 16489  df-mulg 18225
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator