Theorem mulgfvi 19134

Description: The group multiple operation is compatible with identity-function protection. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulgfvi.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgfvi	⊢ · = (.g‘( I ‘𝐺))

Proof of Theorem mulgfvi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgfvi.t	. 2 ⊢ · = (.g‘𝐺)
2		fvi 6957	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
3	2	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝐺 = ( I ‘𝐺))
4	3	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (.g‘𝐺) = (.g‘( I ‘𝐺)))
5		fvprc 6873	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (.g‘𝐺) = ∅)
6		fvprc 6873	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → ( I ‘𝐺) = ∅)
7	6	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (.g‘( I ‘𝐺)) = (.g‘∅))
8		base0 17269	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘∅) = (.g‘∅)
10	8, 9	mulgfn 19133	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘∅) Fn (ℤ × ∅)
11		xp0 5761	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ × ∅) = ∅
12	11	fneq2i 6633	. . . . . . 7 ⊢ ((.g‘∅) Fn (ℤ × ∅) ↔ (.g‘∅) Fn ∅)
13	10, 12	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (.g‘∅) Fn ∅
14		fn0 6666	. . . . . 6 ⊢ ((.g‘∅) Fn ∅ ↔ (.g‘∅) = ∅)
15	13, 14	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ (.g‘∅) = ∅
16	7, 15	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (.g‘( I ‘𝐺)) = ∅)
17	5, 16	eqtr4d 2801	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (.g‘𝐺) = (.g‘( I ‘𝐺)))
18	4, 17	pm2.61i 184	. 2 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘( I ‘𝐺))
19	1, 18	eqtri 2786	1 ⊢ · = (.g‘( I ‘𝐺))

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  ∅c0 4286   I cid 5555   × cxp 5659   Fn wfn 6531  ‘cfv 6536  ℤcz 12586  ._gcmg 19128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-seq 14034  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-mulg 19129

This theorem is referenced by: (None)