Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  finxp00 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finxp00 36586
Description: Cartesian exponentiation of the empty set to any power is the empty set. (Contributed by ML, 24-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
finxp00 (∅↑↑𝑁) = ∅

Proof of Theorem finxp00
Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 finxpeq2 36571 . . . 4 (𝑛 = ∅ → (∅↑↑𝑛) = (∅↑↑∅))
21eqeq1d 2732 . . 3 (𝑛 = ∅ → ((∅↑↑𝑛) = ∅ ↔ (∅↑↑∅) = ∅))
3 finxpeq2 36571 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → (∅↑↑𝑛) = (∅↑↑𝑚))
43eqeq1d 2732 . . 3 (𝑛 = 𝑚 → ((∅↑↑𝑛) = ∅ ↔ (∅↑↑𝑚) = ∅))
5 finxpeq2 36571 . . . 4 (𝑛 = suc 𝑚 → (∅↑↑𝑛) = (∅↑↑suc 𝑚))
65eqeq1d 2732 . . 3 (𝑛 = suc 𝑚 → ((∅↑↑𝑛) = ∅ ↔ (∅↑↑suc 𝑚) = ∅))
7 finxpeq2 36571 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (∅↑↑𝑛) = (∅↑↑𝑁))
87eqeq1d 2732 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → ((∅↑↑𝑛) = ∅ ↔ (∅↑↑𝑁) = ∅))
9 finxp0 36575 . . 3 (∅↑↑∅) = ∅
10 suceq 6429 . . . . . . . . 9 (𝑚 = ∅ → suc 𝑚 = suc ∅)
11 df-1o 8468 . . . . . . . . 9 1o = suc ∅
1210, 11eqtr4di 2788 . . . . . . . 8 (𝑚 = ∅ → suc 𝑚 = 1o)
13 finxpeq2 36571 . . . . . . . 8 (suc 𝑚 = 1o → (∅↑↑suc 𝑚) = (∅↑↑1o))
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝑚 = ∅ → (∅↑↑suc 𝑚) = (∅↑↑1o))
15 finxp1o 36576 . . . . . . 7 (∅↑↑1o) = ∅
1614, 15eqtrdi 2786 . . . . . 6 (𝑚 = ∅ → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅)
1716adantl 480 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 = ∅) → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅)
18 finxpsuc 36582 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 ≠ ∅) → (∅↑↑suc 𝑚) = ((∅↑↑𝑚) × ∅))
19 xp0 6156 . . . . . 6 ((∅↑↑𝑚) × ∅) = ∅
2018, 19eqtrdi 2786 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 ≠ ∅) → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅)
2117, 20pm2.61dane 3027 . . . 4 (𝑚 ∈ ω → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅)
2221a1d 25 . . 3 (𝑚 ∈ ω → ((∅↑↑𝑚) = ∅ → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅))
232, 4, 6, 8, 9, 22finds 7891 . 2 (𝑁 ∈ ω → (∅↑↑𝑁) = ∅)
24 finxpnom 36585 . 2 𝑁 ∈ ω → (∅↑↑𝑁) = ∅)
2523, 24pm2.61i 182 1 (∅↑↑𝑁) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 394   = wceq 1539  wcel 2104  wne 2938  c0 4321   × cxp 5673  suc csuc 6365  ωcom 7857  1oc1o 8461  ↑↑cfinxp 36567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-en 8942  df-fin 8945  df-finxp 36568
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator