Theorem finxp00 37378

Description: Cartesian exponentiation of the empty set to any power is the empty set. (Contributed by ML, 24-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
finxp00	⊢ (∅↑↑𝑁) = ∅

Proof of Theorem finxp00

Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		finxpeq2 37363	. . . 4 ⊢ (𝑛 = ∅ → (∅↑↑𝑛) = (∅↑↑∅))
2	1	eqeq1d 2736	. . 3 ⊢ (𝑛 = ∅ → ((∅↑↑𝑛) = ∅ ↔ (∅↑↑∅) = ∅))
3		finxpeq2 37363	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∅↑↑𝑛) = (∅↑↑𝑚))
4	3	eqeq1d 2736	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((∅↑↑𝑛) = ∅ ↔ (∅↑↑𝑚) = ∅))
5		finxpeq2 37363	. . . 4 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → (∅↑↑𝑛) = (∅↑↑suc 𝑚))
6	5	eqeq1d 2736	. . 3 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → ((∅↑↑𝑛) = ∅ ↔ (∅↑↑suc 𝑚) = ∅))
7		finxpeq2 37363	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∅↑↑𝑛) = (∅↑↑𝑁))
8	7	eqeq1d 2736	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((∅↑↑𝑛) = ∅ ↔ (∅↑↑𝑁) = ∅))
9		finxp0 37367	. . 3 ⊢ (∅↑↑∅) = ∅
10		suceq 6430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = ∅ → suc 𝑚 = suc ∅)
11		df-1o 8488	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o = suc ∅
12	10, 11	eqtr4di 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = ∅ → suc 𝑚 = 1o)
13		finxpeq2 37363	. . . . . . . 8 ⊢ (suc 𝑚 = 1o → (∅↑↑suc 𝑚) = (∅↑↑1o))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = ∅ → (∅↑↑suc 𝑚) = (∅↑↑1o))
15		finxp1o 37368	. . . . . . 7 ⊢ (∅↑↑1o) = ∅
16	14, 15	eqtrdi 2785	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = ∅ → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅)
17	16	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 = ∅) → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅)
18		finxpsuc 37374	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 ≠ ∅) → (∅↑↑suc 𝑚) = ((∅↑↑𝑚) × ∅))
19		xp0 6158	. . . . . 6 ⊢ ((∅↑↑𝑚) × ∅) = ∅
20	18, 19	eqtrdi 2785	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 ≠ ∅) → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅)
21	17, 20	pm2.61dane 3018	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ω → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅)
22	21	a1d 25	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ω → ((∅↑↑𝑚) = ∅ → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅))
23	2, 4, 6, 8, 9, 22	finds 7900	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (∅↑↑𝑁) = ∅)
24		finxpnom 37377	. 2 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ω → (∅↑↑𝑁) = ∅)
25	23, 24	pm2.61i 182	1 ⊢ (∅↑↑𝑁) = ∅

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ∅c0 4313   × cxp 5663  suc csuc 6365  ωcom 7869  1_oc1o 8481  ↑↑cfinxp 37359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-oadd 8492  df-en 8968  df-fin 8971  df-finxp 37360

This theorem is referenced by: (None)