Theorem finxp00 37732

Description: Cartesian exponentiation of the empty set to any power is the empty set. (Contributed by ML, 24-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
finxp00	⊢ (∅↑↑𝑁) = ∅

Proof of Theorem finxp00

Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		finxpeq2 37717	. . . 4 ⊢ (𝑛 = ∅ → (∅↑↑𝑛) = (∅↑↑∅))
2	1	eqeq1d 2739	. . 3 ⊢ (𝑛 = ∅ → ((∅↑↑𝑛) = ∅ ↔ (∅↑↑∅) = ∅))
3		finxpeq2 37717	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∅↑↑𝑛) = (∅↑↑𝑚))
4	3	eqeq1d 2739	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((∅↑↑𝑛) = ∅ ↔ (∅↑↑𝑚) = ∅))
5		finxpeq2 37717	. . . 4 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → (∅↑↑𝑛) = (∅↑↑suc 𝑚))
6	5	eqeq1d 2739	. . 3 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → ((∅↑↑𝑛) = ∅ ↔ (∅↑↑suc 𝑚) = ∅))
7		finxpeq2 37717	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∅↑↑𝑛) = (∅↑↑𝑁))
8	7	eqeq1d 2739	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((∅↑↑𝑛) = ∅ ↔ (∅↑↑𝑁) = ∅))
9		finxp0 37721	. . 3 ⊢ (∅↑↑∅) = ∅
10		suceq 6385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = ∅ → suc 𝑚 = suc ∅)
11		df-1o 8398	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o = suc ∅
12	10, 11	eqtr4di 2790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = ∅ → suc 𝑚 = 1o)
13		finxpeq2 37717	. . . . . . . 8 ⊢ (suc 𝑚 = 1o → (∅↑↑suc 𝑚) = (∅↑↑1o))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = ∅ → (∅↑↑suc 𝑚) = (∅↑↑1o))
15		finxp1o 37722	. . . . . . 7 ⊢ (∅↑↑1o) = ∅
16	14, 15	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = ∅ → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅)
17	16	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 = ∅) → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅)
18		finxpsuc 37728	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 ≠ ∅) → (∅↑↑suc 𝑚) = ((∅↑↑𝑚) × ∅))
19		xp0 5724	. . . . . 6 ⊢ ((∅↑↑𝑚) × ∅) = ∅
20	18, 19	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 ≠ ∅) → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅)
21	17, 20	pm2.61dane 3020	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ω → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅)
22	21	a1d 25	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ω → ((∅↑↑𝑚) = ∅ → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅))
23	2, 4, 6, 8, 9, 22	finds 7840	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (∅↑↑𝑁) = ∅)
24		finxpnom 37731	. 2 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ω → (∅↑↑𝑁) = ∅)
25	23, 24	pm2.61i 182	1 ⊢ (∅↑↑𝑁) = ∅

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∅c0 4274   × cxp 5622  suc csuc 6319  ωcom 7810  1_oc1o 8391  ↑↑cfinxp 37713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-en 8887  df-fin 8890  df-finxp 37714

This theorem is referenced by: (None)