Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  finxp00 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finxp00 37403
Description: Cartesian exponentiation of the empty set to any power is the empty set. (Contributed by ML, 24-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
finxp00 (∅↑↑𝑁) = ∅

Proof of Theorem finxp00
Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 finxpeq2 37388 . . . 4 (𝑛 = ∅ → (∅↑↑𝑛) = (∅↑↑∅))
21eqeq1d 2739 . . 3 (𝑛 = ∅ → ((∅↑↑𝑛) = ∅ ↔ (∅↑↑∅) = ∅))
3 finxpeq2 37388 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → (∅↑↑𝑛) = (∅↑↑𝑚))
43eqeq1d 2739 . . 3 (𝑛 = 𝑚 → ((∅↑↑𝑛) = ∅ ↔ (∅↑↑𝑚) = ∅))
5 finxpeq2 37388 . . . 4 (𝑛 = suc 𝑚 → (∅↑↑𝑛) = (∅↑↑suc 𝑚))
65eqeq1d 2739 . . 3 (𝑛 = suc 𝑚 → ((∅↑↑𝑛) = ∅ ↔ (∅↑↑suc 𝑚) = ∅))
7 finxpeq2 37388 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (∅↑↑𝑛) = (∅↑↑𝑁))
87eqeq1d 2739 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → ((∅↑↑𝑛) = ∅ ↔ (∅↑↑𝑁) = ∅))
9 finxp0 37392 . . 3 (∅↑↑∅) = ∅
10 suceq 6450 . . . . . . . . 9 (𝑚 = ∅ → suc 𝑚 = suc ∅)
11 df-1o 8506 . . . . . . . . 9 1o = suc ∅
1210, 11eqtr4di 2795 . . . . . . . 8 (𝑚 = ∅ → suc 𝑚 = 1o)
13 finxpeq2 37388 . . . . . . . 8 (suc 𝑚 = 1o → (∅↑↑suc 𝑚) = (∅↑↑1o))
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝑚 = ∅ → (∅↑↑suc 𝑚) = (∅↑↑1o))
15 finxp1o 37393 . . . . . . 7 (∅↑↑1o) = ∅
1614, 15eqtrdi 2793 . . . . . 6 (𝑚 = ∅ → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅)
1716adantl 481 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 = ∅) → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅)
18 finxpsuc 37399 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 ≠ ∅) → (∅↑↑suc 𝑚) = ((∅↑↑𝑚) × ∅))
19 xp0 6178 . . . . . 6 ((∅↑↑𝑚) × ∅) = ∅
2018, 19eqtrdi 2793 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 ≠ ∅) → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅)
2117, 20pm2.61dane 3029 . . . 4 (𝑚 ∈ ω → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅)
2221a1d 25 . . 3 (𝑚 ∈ ω → ((∅↑↑𝑚) = ∅ → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅))
232, 4, 6, 8, 9, 22finds 7918 . 2 (𝑁 ∈ ω → (∅↑↑𝑁) = ∅)
24 finxpnom 37402 . 2 𝑁 ∈ ω → (∅↑↑𝑁) = ∅)
2523, 24pm2.61i 182 1 (∅↑↑𝑁) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  c0 4333   × cxp 5683  suc csuc 6386  ωcom 7887  1oc1o 8499  ↑↑cfinxp 37384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-en 8986  df-fin 8989  df-finxp 37385
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator