Theorem finxp00 38593

Description: Cartesian exponentiation of the empty set to any power is the empty set. (Contributed by ML, 24-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
finxp00	⊢ (∅↑↑𝑁) = ∅

Proof of Theorem finxp00

Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		finxpeq2 38578	. . . 4 ⊢ (𝑛 = ∅ → (∅↑↑𝑛) = (∅↑↑∅))
2	1	eqeq1d 2765	. . 3 ⊢ (𝑛 = ∅ → ((∅↑↑𝑛) = ∅ ↔ (∅↑↑∅) = ∅))
3		finxpeq2 38578	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∅↑↑𝑛) = (∅↑↑𝑚))
4	3	eqeq1d 2765	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((∅↑↑𝑛) = ∅ ↔ (∅↑↑𝑚) = ∅))
5		finxpeq2 38578	. . . 4 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → (∅↑↑𝑛) = (∅↑↑suc 𝑚))
6	5	eqeq1d 2765	. . 3 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → ((∅↑↑𝑛) = ∅ ↔ (∅↑↑suc 𝑚) = ∅))
7		finxpeq2 38578	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∅↑↑𝑛) = (∅↑↑𝑁))
8	7	eqeq1d 2765	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((∅↑↑𝑛) = ∅ ↔ (∅↑↑𝑁) = ∅))
9		finxp0 38582	. . 3 ⊢ (∅↑↑∅) = ∅
10		suceq 6457	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = ∅ → suc 𝑚 = suc ∅)
11		df-1o 8514	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o = suc ∅
12	10, 11	eqtr4di 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = ∅ → suc 𝑚 = 1o)
13		finxpeq2 38578	. . . . . . . 8 ⊢ (suc 𝑚 = 1o → (∅↑↑suc 𝑚) = (∅↑↑1o))
14	12, 13	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = ∅ → (∅↑↑suc 𝑚) = (∅↑↑1o))
15		finxp1o 38583	. . . . . . 7 ⊢ (∅↑↑1o) = ∅
16	14, 15	eqtrdi 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = ∅ → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅)
17	16	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 = ∅) → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅)
18		finxpsuc 38589	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 ≠ ∅) → (∅↑↑suc 𝑚) = ((∅↑↑𝑚) × ∅))
19		xp0 5759	. . . . . 6 ⊢ ((∅↑↑𝑚) × ∅) = ∅
20	18, 19	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 ≠ ∅) → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅)
21	17, 20	pm2.61dane 3046	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ω → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅)
22	21	a1d 26	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ω → ((∅↑↑𝑚) = ∅ → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅))
23	2, 4, 6, 8, 9, 22	finds 7942	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (∅↑↑𝑁) = ∅)
24		finxpnom 38592	. 2 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ω → (∅↑↑𝑁) = ∅)
25	23, 24	pm2.61i 184	1 ⊢ (∅↑↑𝑁) = ∅

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∅c0 4281   × cxp 5656  suc csuc 6390  ωcom 7911  1_oc1o 8507  ↑↑cfinxp 38574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-oadd 8518  df-en 9012  df-fin 9015  df-finxp 38575

This theorem is used by: (None)