Theorem finxp00 37718

Description: Cartesian exponentiation of the empty set to any power is the empty set. (Contributed by ML, 24-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
finxp00	⊢ (∅↑↑𝑁) = ∅

Proof of Theorem finxp00

Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		finxpeq2 37703	. . . 4 ⊢ (𝑛 = ∅ → (∅↑↑𝑛) = (∅↑↑∅))
2	1	eqeq1d 2738	. . 3 ⊢ (𝑛 = ∅ → ((∅↑↑𝑛) = ∅ ↔ (∅↑↑∅) = ∅))
3		finxpeq2 37703	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∅↑↑𝑛) = (∅↑↑𝑚))
4	3	eqeq1d 2738	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((∅↑↑𝑛) = ∅ ↔ (∅↑↑𝑚) = ∅))
5		finxpeq2 37703	. . . 4 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → (∅↑↑𝑛) = (∅↑↑suc 𝑚))
6	5	eqeq1d 2738	. . 3 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → ((∅↑↑𝑛) = ∅ ↔ (∅↑↑suc 𝑚) = ∅))
7		finxpeq2 37703	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∅↑↑𝑛) = (∅↑↑𝑁))
8	7	eqeq1d 2738	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((∅↑↑𝑛) = ∅ ↔ (∅↑↑𝑁) = ∅))
9		finxp0 37707	. . 3 ⊢ (∅↑↑∅) = ∅
10		suceq 6391	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = ∅ → suc 𝑚 = suc ∅)
11		df-1o 8405	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o = suc ∅
12	10, 11	eqtr4di 2789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = ∅ → suc 𝑚 = 1o)
13		finxpeq2 37703	. . . . . . . 8 ⊢ (suc 𝑚 = 1o → (∅↑↑suc 𝑚) = (∅↑↑1o))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = ∅ → (∅↑↑suc 𝑚) = (∅↑↑1o))
15		finxp1o 37708	. . . . . . 7 ⊢ (∅↑↑1o) = ∅
16	14, 15	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = ∅ → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅)
17	16	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 = ∅) → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅)
18		finxpsuc 37714	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 ≠ ∅) → (∅↑↑suc 𝑚) = ((∅↑↑𝑚) × ∅))
19		xp0 5731	. . . . . 6 ⊢ ((∅↑↑𝑚) × ∅) = ∅
20	18, 19	eqtrdi 2787	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 ≠ ∅) → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅)
21	17, 20	pm2.61dane 3019	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ω → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅)
22	21	a1d 25	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ω → ((∅↑↑𝑚) = ∅ → (∅↑↑suc 𝑚) = ∅))
23	2, 4, 6, 8, 9, 22	finds 7847	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (∅↑↑𝑁) = ∅)
24		finxpnom 37717	. 2 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ω → (∅↑↑𝑁) = ∅)
25	23, 24	pm2.61i 182	1 ⊢ (∅↑↑𝑁) = ∅

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∅c0 4273   × cxp 5629  suc csuc 6325  ωcom 7817  1_oc1o 8398  ↑↑cfinxp 37699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-en 8894  df-fin 8897  df-finxp 37700

This theorem is referenced by: (None)