Theorem xrge0nre 13397

Description: An extended real which is not a real is plus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0nre	⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 = +∞)

Proof of Theorem xrge0nre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliccxr 13379	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xrge0neqmnf 13396	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≠ -∞)
3		xrnemnf 13059	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
4	3	biimpi 217	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
5	1, 2, 4	syl2anc 590	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
6	5	orcanai 1010	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 = +∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  0cc0 11029  +∞cpnf 11167  -∞cmnf 11168  ℝ^*cxr 11169  [,]cicc 13292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-addrcl 11090  ax-rnegex 11100  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-icc 13296

This theorem is referenced by:  voliune  34413  volfiniune  34414  omssubadd  34484  ismbl3  46429