MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrge0nre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0nre 13167
Description: An extended real which is not a real is plus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
xrge0nre ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 = +∞)

Proof of Theorem xrge0nre
StepHypRef Expression
1 eliccxr 13149 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 xrge0neqmnf 13166 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≠ -∞)
3 xrnemnf 12835 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
43biimpi 215 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
51, 2, 4syl2anc 583 . 2 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
65orcanai 999 1 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 843   = wceq 1541  wcel 2109  wne 2944  (class class class)co 7268  cr 10854  0cc0 10855  +∞cpnf 10990  -∞cmnf 10991  *cxr 10992  [,]cicc 13064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-addrcl 10916  ax-rnegex 10926  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-icc 13068
This theorem is referenced by:  voliune  32176  volfiniune  32177  omssubadd  32246  ismbl3  43481
  Copyright terms: Public domain W3C validator