MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrge0nre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0nre 13456
Description: An extended real which is not a real is plus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
xrge0nre ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 = +∞)

Proof of Theorem xrge0nre
StepHypRef Expression
1 eliccxr 13438 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 xrge0neqmnf 13455 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≠ -∞)
3 xrnemnf 13123 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
43biimpi 215 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
51, 2, 4syl2anc 583 . 2 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
65orcanai 1001 1 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 846   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2936  (class class class)co 7414  cr 11131  0cc0 11132  +∞cpnf 11269  -∞cmnf 11270  *cxr 11271  [,]cicc 13353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-addrcl 11193  ax-rnegex 11203  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-icc 13357
This theorem is referenced by:  voliune  33842  volfiniune  33843  omssubadd  33914  ismbl3  45368
  Copyright terms: Public domain W3C validator