Theorem xrge0neqmnf 12589

Description: A nonnegative extended real is not equal to minus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jun-2017.) (Proof shortened by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0neqmnf	⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem xrge0neqmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliccxr 12572	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		0xr 10423	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		pnfxr 10430	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		iccgelb 12542	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
5	2, 3, 4	mp3an12 1524	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐴)
6		ge0nemnf 12316	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ -∞)
7	1, 5, 6	syl2anc 579	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≠ -∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969   class class class wbr 4886  (class class class)co 6922  0cc0 10272  +∞cpnf 10408  -∞cmnf 10409  ℝ^*cxr 10410   ≤ cle 10412  [,]cicc 12490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-addrcl 10333  ax-rnegex 10343  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-icc 12494

This theorem is referenced by:  xrge0nre  12591  xrge0adddir  30254  xrge0npcan  30256  hasheuni  30745  esumcvgre  30751  carsgclctunlem2  30979  sge0split  41554  sge0nemnf  41565