Theorem xrge0neqmnf 13352

Description: A nonnegative extended real is not equal to minus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jun-2017.) (Proof shortened by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0neqmnf	⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem xrge0neqmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliccxr 13335	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		0xr 11159	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		pnfxr 11166	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		iccgelb 13302	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
5	2, 3, 4	mp3an12 1453	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐴)
6		ge0nemnf 13072	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ -∞)
7	1, 5, 6	syl2anc 584	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≠ -∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5089  (class class class)co 7346  0cc0 11006  +∞cpnf 11143  -∞cmnf 11144  ℝ^*cxr 11145   ≤ cle 11147  [,]cicc 13248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-addrcl 11067  ax-rnegex 11077  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-icc 13252

This theorem is referenced by:  xrge0nre  13353  xrge0adddir  32999  xrge0npcan  33001  hasheuni  34098  esumcvgre  34104  carsgclctunlem2  34332  sge0split  46455  sge0nemnf  46466