MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrge0neqmnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0neqmnf 13380
Description: A nonnegative extended real is not equal to minus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jun-2017.) (Proof shortened by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
xrge0neqmnf (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem xrge0neqmnf
StepHypRef Expression
1 eliccxr 13363 . 2 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 0xr 11212 . . 3 0 ∈ ℝ*
3 pnfxr 11219 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
4 iccgelb 13331 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
52, 3, 4mp3an12 1452 . 2 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐴)
6 ge0nemnf 13103 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ -∞)
71, 5, 6syl2anc 585 1 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≠ -∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  wne 2940   class class class wbr 5111  (class class class)co 7363  0cc0 11061  +∞cpnf 11196  -∞cmnf 11197  *cxr 11198  cle 11200  [,]cicc 13278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2703  ax-sep 5262  ax-nul 5269  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7678  ax-cnex 11117  ax-resscn 11118  ax-1cn 11119  ax-addrcl 11122  ax-rnegex 11132  ax-cnre 11134  ax-pre-lttri 11135  ax-pre-lttrn 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4289  df-if 4493  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4872  df-iun 4962  df-br 5112  df-opab 5174  df-mpt 5195  df-id 5537  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5645  df-rel 5646  df-cnv 5647  df-co 5648  df-dm 5649  df-rn 5650  df-res 5651  df-ima 5652  df-iota 6454  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-er 8656  df-en 8892  df-dom 8893  df-sdom 8894  df-pnf 11201  df-mnf 11202  df-xr 11203  df-ltxr 11204  df-le 11205  df-icc 13282
This theorem is referenced by:  xrge0nre  13381  xrge0adddir  31954  xrge0npcan  31956  hasheuni  32774  esumcvgre  32780  carsgclctunlem2  33009  sge0split  44752  sge0nemnf  44763
  Copyright terms: Public domain W3C validator