Theorem xrge0neqmnf 13538

Description: A nonnegative extended real is not equal to minus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jun-2017.) (Proof shortened by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0neqmnf	⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem xrge0neqmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliccxr 13521	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		0xr 11313	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		pnfxr 11320	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		iccgelb 13488	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
5	2, 3, 4	mp3an12 1480	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐴)
6		ge0nemnf 13258	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ -∞)
7	1, 5, 6	syl2anc 596	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≠ -∞)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  (class class class)co 7409  0cc0 11157  +∞cpnf 11297  -∞cmnf 11298  ℝ^*cxr 11299   ≤ cle 11301  [,]cicc 13434

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-addrcl 11218  ax-rnegex 11228  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5543  df-po 5556  df-so 5557  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-icc 13438

This theorem is used by:  xrge0nre  13539  xrge0adddir  33498  xrge0npcan  33500  hasheuni  34636  esumcvgre  34642  carsgclctunlem2  34871  sge0split  47335  sge0nemnf  47346