Theorem xrge0neqmnf 13583

Description: A nonnegative extended real is not equal to minus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jun-2017.) (Proof shortened by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0neqmnf	⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem xrge0neqmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliccxr 13566	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		0xr 11356	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		pnfxr 11363	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		iccgelb 13533	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
5	2, 3, 4	mp3an12 1480	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐴)
6		ge0nemnf 13303	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ -∞)
7	1, 5, 6	syl2anc 596	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≠ -∞)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  0cc0 11200  +∞cpnf 11340  -∞cmnf 11341  ℝ^*cxr 11342   ≤ cle 11344  [,]cicc 13479

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-addrcl 11261  ax-rnegex 11271  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-icc 13483

This theorem is used by:  xrge0nre  13584  xrge0adddir  33579  xrge0npcan  33581  hasheuni  34717  esumcvgre  34723  carsgclctunlem2  34951  sge0split  47419  sge0nemnf  47430