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Theorem volfiniune 34231
Description: The Lebesgue measure function is countably additive. This theorem is to volfiniun 25582 what voliune 34230 is to voliun 25589. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
volfiniune ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) → (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) = Σ*𝑛𝐴(vol‘𝐵))
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑛)

Proof of Theorem volfiniune
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ Fin)
2 simpl2 1193 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol)
3 simpr 484 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ)
4 r19.26 3111 . . . . 5 (∀𝑛𝐴 (𝐵 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) ↔ (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ))
52, 3, 4sylanbrc 583 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → ∀𝑛𝐴 (𝐵 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ))
6 simpl3 1194 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → Disj 𝑛𝐴 𝐵)
7 volfiniun 25582 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 (𝐵 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) → (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) = Σ𝑛𝐴 (vol‘𝐵))
81, 5, 6, 7syl3anc 1373 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) = Σ𝑛𝐴 (vol‘𝐵))
9 nfcv 2905 . . . 4 𝑛𝐴
109nfel1 2922 . . . . . 6 𝑛 𝐴 ∈ Fin
11 nfra1 3284 . . . . . 6 𝑛𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol
12 nfdisj1 5124 . . . . . 6 𝑛Disj 𝑛𝐴 𝐵
1310, 11, 12nf3an 1901 . . . . 5 𝑛(𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵)
14 nfra1 3284 . . . . 5 𝑛𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ
1513, 14nfan 1899 . . . 4 𝑛((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ)
163r19.21bi 3251 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝐴) → (vol‘𝐵) ∈ ℝ)
17 rspa 3248 . . . . . . . 8 ((∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝑛𝐴) → 𝐵 ∈ dom vol)
18 volf 25564 . . . . . . . . 9 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
1918ffvelcdmi 7103 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ dom vol → (vol‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
2017, 19syl 17 . . . . . . 7 ((∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝑛𝐴) → (vol‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
212, 20sylan 580 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝐴) → (vol‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
22 0xr 11308 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
23 pnfxr 11315 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
24 elicc1 13431 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((vol‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((vol‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (vol‘𝐵) ∧ (vol‘𝐵) ≤ +∞)))
2522, 23, 24mp2an 692 . . . . . . 7 ((vol‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((vol‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (vol‘𝐵) ∧ (vol‘𝐵) ≤ +∞))
2625simp2bi 1147 . . . . . 6 ((vol‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (vol‘𝐵))
2721, 26syl 17 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝐴) → 0 ≤ (vol‘𝐵))
28 ltpnf 13162 . . . . . 6 ((vol‘𝐵) ∈ ℝ → (vol‘𝐵) < +∞)
2916, 28syl 17 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝐴) → (vol‘𝐵) < +∞)
30 0re 11263 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
31 elico2 13451 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((vol‘𝐵) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((vol‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (vol‘𝐵) ∧ (vol‘𝐵) < +∞)))
3230, 23, 31mp2an 692 . . . . 5 ((vol‘𝐵) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((vol‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (vol‘𝐵) ∧ (vol‘𝐵) < +∞))
3316, 27, 29, 32syl3anbrc 1344 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝐴) → (vol‘𝐵) ∈ (0[,)+∞))
349, 15, 1, 33esumpfinvalf 34077 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → Σ*𝑛𝐴(vol‘𝐵) = Σ𝑛𝐴 (vol‘𝐵))
358, 34eqtr4d 2780 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) = Σ*𝑛𝐴(vol‘𝐵))
36 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) → ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞)
37 nfv 1914 . . . . . . . . 9 𝑘(vol‘𝐵) = +∞
38 nfcv 2905 . . . . . . . . . . 11 𝑛vol
39 nfcsb1v 3923 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝑘 / 𝑛𝐵
4038, 39nffv 6916 . . . . . . . . . 10 𝑛(vol‘𝑘 / 𝑛𝐵)
4140nfeq1 2921 . . . . . . . . 9 𝑛(vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) = +∞
42 csbeq1a 3913 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘𝐵 = 𝑘 / 𝑛𝐵)
4342fveqeq2d 6914 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → ((vol‘𝐵) = +∞ ↔ (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) = +∞))
4437, 41, 43cbvrexw 3307 . . . . . . . 8 (∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞ ↔ ∃𝑘𝐴 (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) = +∞)
4536, 44sylib 218 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) → ∃𝑘𝐴 (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) = +∞)
4639nfel1 2922 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛𝑘 / 𝑛𝐵 ∈ dom vol
4742eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (𝐵 ∈ dom vol ↔ 𝑘 / 𝑛𝐵 ∈ dom vol))
4846, 47rspc 3610 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝐴 → (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘 / 𝑛𝐵 ∈ dom vol))
4948impcom 407 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘 / 𝑛𝐵 ∈ dom vol)
5049adantll 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘 / 𝑛𝐵 ∈ dom vol)
51 finiunmbl 25579 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol)
5251adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol)
53 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛𝑘
549, 53, 39, 42ssiun2sf 32572 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝐴𝑘 / 𝑛𝐵 𝑛𝐴 𝐵)
5554adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘 / 𝑛𝐵 𝑛𝐴 𝐵)
56 volss 25568 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 / 𝑛𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝑘 / 𝑛𝐵 𝑛𝐴 𝐵) → (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵))
5750, 52, 55, 56syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) ∧ 𝑘𝐴) → (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵))
58573adantl3 1169 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ 𝑘𝐴) → (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵))
5958adantlr 715 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) ∧ 𝑘𝐴) → (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵))
6059ralrimiva 3146 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) → ∀𝑘𝐴 (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵))
61 r19.29r 3116 . . . . . . 7 ((∃𝑘𝐴 (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) = +∞ ∧ ∀𝑘𝐴 (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵)) → ∃𝑘𝐴 ((vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) = +∞ ∧ (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵)))
6245, 60, 61syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) → ∃𝑘𝐴 ((vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) = +∞ ∧ (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵)))
63 breq1 5146 . . . . . . . 8 ((vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) = +∞ → ((vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) ↔ +∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵)))
6463biimpa 476 . . . . . . 7 (((vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) = +∞ ∧ (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵)) → +∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵))
6564reximi 3084 . . . . . 6 (∃𝑘𝐴 ((vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) = +∞ ∧ (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵)) → ∃𝑘𝐴 +∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵))
6662, 65syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) → ∃𝑘𝐴 +∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵))
67 rexex 3076 . . . . . 6 (∃𝑘𝐴 +∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) → ∃𝑘+∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵))
68 19.9v 1983 . . . . . 6 (∃𝑘+∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) ↔ +∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵))
6967, 68sylib 218 . . . . 5 (∃𝑘𝐴 +∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) → +∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵))
7066, 69syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) → +∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵))
71 iccssxr 13470 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
7218ffvelcdmi 7103 . . . . . . . . 9 ( 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
7371, 72sselid 3981 . . . . . . . 8 ( 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) ∈ ℝ*)
7451, 73syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) ∈ ℝ*)
75743adant3 1133 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) → (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) ∈ ℝ*)
7675adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) → (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) ∈ ℝ*)
77 xgepnf 13207 . . . . 5 ((vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) ∈ ℝ* → (+∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) ↔ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) = +∞))
7876, 77syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) → (+∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) ↔ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) = +∞))
7970, 78mpbid 232 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) → (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) = +∞)
80 nfre1 3285 . . . . 5 𝑛𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞
8113, 80nfan 1899 . . . 4 𝑛((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞)
82 simpl1 1192 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) → 𝐴 ∈ Fin)
83203ad2antl2 1187 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ 𝑛𝐴) → (vol‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
8483adantlr 715 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) ∧ 𝑛𝐴) → (vol‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
8581, 82, 84, 36esumpinfval 34074 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) → Σ*𝑛𝐴(vol‘𝐵) = +∞)
8679, 85eqtr4d 2780 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) → (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) = Σ*𝑛𝐴(vol‘𝐵))
87 exmid 895 . . . . 5 (∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ ∨ ¬ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ)
88 rexnal 3100 . . . . . 6 (∃𝑛𝐴 ¬ (vol‘𝐵) ∈ ℝ ↔ ¬ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ)
8988orbi2i 913 . . . . 5 ((∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ ∨ ∃𝑛𝐴 ¬ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) ↔ (∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ ∨ ¬ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ))
9087, 89mpbir 231 . . . 4 (∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ ∨ ∃𝑛𝐴 ¬ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)
91 r19.29 3114 . . . . . . 7 ((∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ ∃𝑛𝐴 ¬ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → ∃𝑛𝐴 (𝐵 ∈ dom vol ∧ ¬ (vol‘𝐵) ∈ ℝ))
92 xrge0nre 13493 . . . . . . . . 9 (((vol‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) ∧ ¬ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol‘𝐵) = +∞)
9319, 92sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ dom vol ∧ ¬ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol‘𝐵) = +∞)
9493reximi 3084 . . . . . . 7 (∃𝑛𝐴 (𝐵 ∈ dom vol ∧ ¬ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞)
9591, 94syl 17 . . . . . 6 ((∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ ∃𝑛𝐴 ¬ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞)
9695ex 412 . . . . 5 (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → (∃𝑛𝐴 ¬ (vol‘𝐵) ∈ ℝ → ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞))
9796orim2d 969 . . . 4 (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ((∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ ∨ ∃𝑛𝐴 ¬ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → (∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ ∨ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞)))
9890, 97mpi 20 . . 3 (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → (∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ ∨ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞))
99983ad2ant2 1135 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) → (∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ ∨ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞))
10035, 86, 99mpjaodan 961 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) → (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) = Σ*𝑛𝐴(vol‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  csb 3899  wss 3951   ciun 4991  Disj wdisj 5110   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cr 11154  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  [,)cico 13389  [,]cicc 13390  Σcsu 15722  volcvol 25498  Σ*cesum 34028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-ordt 17546  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-plusf 18652  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-abv 20810  df-lmod 20860  df-scaf 20861  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-tmd 24080  df-tgp 24081  df-tsms 24135  df-trg 24168  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-nrg 24598  df-nlm 24599  df-ii 24903  df-cncf 24904  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-esum 34029
This theorem is referenced by:  volmeas  34232
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