Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  volfiniune Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem volfiniune 32893
Description: The Lebesgue measure function is countably additive. This theorem is to volfiniun 24934 what voliune 32892 is to voliun 24941. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
volfiniune ((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£*𝑛 ∈ 𝐴(volβ€˜π΅))
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐡(𝑛)

Proof of Theorem volfiniune
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
2 simpl2 1193 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol)
3 simpr 486 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ)
4 r19.26 3111 . . . . 5 (βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (𝐡 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) ↔ (βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ))
52, 3, 4sylanbrc 584 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (𝐡 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π΅) ∈ ℝ))
6 simpl3 1194 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡)
7 volfiniun 24934 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (𝐡 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅))
81, 5, 6, 7syl3anc 1372 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅))
9 nfcv 2904 . . . 4 Ⅎ𝑛𝐴
109nfel1 2920 . . . . . 6 Ⅎ𝑛 𝐴 ∈ Fin
11 nfra1 3266 . . . . . 6 β„²π‘›βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol
12 nfdisj1 5088 . . . . . 6 Ⅎ𝑛Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡
1310, 11, 12nf3an 1905 . . . . 5 Ⅎ𝑛(𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡)
14 nfra1 3266 . . . . 5 β„²π‘›βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ
1513, 14nfan 1903 . . . 4 Ⅎ𝑛((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ)
163r19.21bi 3233 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜π΅) ∈ ℝ)
17 rspa 3230 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
18 volf 24916 . . . . . . . . 9 vol:dom vol⟢(0[,]+∞)
1918ffvelcdmi 7038 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ dom vol β†’ (volβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
2017, 19syl 17 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
212, 20sylan 581 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
22 0xr 11210 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
23 pnfxr 11217 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
24 elicc1 13317 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ ((volβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((volβ€˜π΅) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (volβ€˜π΅) ∧ (volβ€˜π΅) ≀ +∞)))
2522, 23, 24mp2an 691 . . . . . . 7 ((volβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((volβ€˜π΅) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (volβ€˜π΅) ∧ (volβ€˜π΅) ≀ +∞))
2625simp2bi 1147 . . . . . 6 ((volβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (volβ€˜π΅))
2721, 26syl 17 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (volβ€˜π΅))
28 ltpnf 13049 . . . . . 6 ((volβ€˜π΅) ∈ ℝ β†’ (volβ€˜π΅) < +∞)
2916, 28syl 17 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜π΅) < +∞)
30 0re 11165 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
31 elico2 13337 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ ((volβ€˜π΅) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((volβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (volβ€˜π΅) ∧ (volβ€˜π΅) < +∞)))
3230, 23, 31mp2an 691 . . . . 5 ((volβ€˜π΅) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((volβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (volβ€˜π΅) ∧ (volβ€˜π΅) < +∞))
3316, 27, 29, 32syl3anbrc 1344 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜π΅) ∈ (0[,)+∞))
349, 15, 1, 33esumpfinvalf 32739 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ Ξ£*𝑛 ∈ 𝐴(volβ€˜π΅) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅))
358, 34eqtr4d 2776 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£*𝑛 ∈ 𝐴(volβ€˜π΅))
36 simpr 486 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞)
37 nfv 1918 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜(volβ€˜π΅) = +∞
38 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛vol
39 nfcsb1v 3884 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘›β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅
4038, 39nffv 6856 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛(volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅)
4140nfeq1 2919 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛(volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) = +∞
42 csbeq1a 3873 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ 𝐡 = β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅)
4342fveqeq2d 6854 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((volβ€˜π΅) = +∞ ↔ (volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) = +∞))
4437, 41, 43cbvrexw 3289 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞ ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 (volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) = +∞)
4536, 44sylib 217 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 (volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) = +∞)
4639nfel1 2920 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘›β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ dom vol
4742eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝐡 ∈ dom vol ↔ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ dom vol))
4846, 47rspc 3571 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol β†’ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ dom vol))
4948impcom 409 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ dom vol)
5049adantll 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ dom vol)
51 finiunmbl 24931 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol)
5251adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol)
53 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘›π‘˜
549, 53, 39, 42ssiun2sf 31531 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡)
5554adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡)
56 volss 24920 . . . . . . . . . . 11 ((β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ dom vol ∧ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) β†’ (volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡))
5750, 52, 55, 56syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡))
58573adantl3 1169 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡))
5958adantlr 714 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡))
6059ralrimiva 3140 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡))
61 r19.29r 3116 . . . . . . 7 ((βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 (volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) = +∞ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 ((volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) = +∞ ∧ (volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡)))
6245, 60, 61syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 ((volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) = +∞ ∧ (volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡)))
63 breq1 5112 . . . . . . . 8 ((volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) = +∞ β†’ ((volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ↔ +∞ ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡)))
6463biimpa 478 . . . . . . 7 (((volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) = +∞ ∧ (volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ +∞ ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡))
6564reximi 3084 . . . . . 6 (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 ((volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) = +∞ ∧ (volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 +∞ ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡))
6662, 65syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 +∞ ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡))
67 rexex 3076 . . . . . 6 (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 +∞ ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) β†’ βˆƒπ‘˜+∞ ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡))
68 19.9v 1988 . . . . . 6 (βˆƒπ‘˜+∞ ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ↔ +∞ ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡))
6967, 68sylib 217 . . . . 5 (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 +∞ ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) β†’ +∞ ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡))
7066, 69syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞) β†’ +∞ ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡))
71 iccssxr 13356 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
7218ffvelcdmi 7038 . . . . . . . . 9 (βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (0[,]+∞))
7371, 72sselid 3946 . . . . . . . 8 (βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∈ ℝ*)
7451, 73syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol) β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∈ ℝ*)
75743adant3 1133 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∈ ℝ*)
7675adantr 482 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞) β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∈ ℝ*)
77 xgepnf 13093 . . . . 5 ((volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∈ ℝ* β†’ (+∞ ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ↔ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) = +∞))
7876, 77syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞) β†’ (+∞ ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ↔ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) = +∞))
7970, 78mpbid 231 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞) β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) = +∞)
80 nfre1 3267 . . . . 5 β„²π‘›βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞
8113, 80nfan 1903 . . . 4 Ⅎ𝑛((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞)
82 simpl1 1192 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
83203ad2antl2 1187 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
8483adantlr 714 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
8581, 82, 84, 36esumpinfval 32736 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞) β†’ Ξ£*𝑛 ∈ 𝐴(volβ€˜π΅) = +∞)
8679, 85eqtr4d 2776 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞) β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£*𝑛 ∈ 𝐴(volβ€˜π΅))
87 exmid 894 . . . . 5 (βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ ∨ Β¬ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ)
88 rexnal 3100 . . . . . 6 (βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 Β¬ (volβ€˜π΅) ∈ ℝ ↔ Β¬ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ)
8988orbi2i 912 . . . . 5 ((βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ ∨ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 Β¬ (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) ↔ (βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ ∨ Β¬ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ))
9087, 89mpbir 230 . . . 4 (βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ ∨ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 Β¬ (volβ€˜π΅) ∈ ℝ)
91 r19.29 3114 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 Β¬ (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (𝐡 ∈ dom vol ∧ Β¬ (volβ€˜π΅) ∈ ℝ))
92 xrge0nre 13379 . . . . . . . . 9 (((volβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞) ∧ Β¬ (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜π΅) = +∞)
9319, 92sylan 581 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ dom vol ∧ Β¬ (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜π΅) = +∞)
9493reximi 3084 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (𝐡 ∈ dom vol ∧ Β¬ (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞)
9591, 94syl 17 . . . . . 6 ((βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 Β¬ (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞)
9695ex 414 . . . . 5 (βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol β†’ (βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 Β¬ (volβ€˜π΅) ∈ ℝ β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞))
9796orim2d 966 . . . 4 (βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol β†’ ((βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ ∨ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 Β¬ (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ ∨ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞)))
9890, 97mpi 20 . . 3 (βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ ∨ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞))
99983ad2ant2 1135 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ ∨ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞))
10035, 86, 99mpjaodan 958 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£*𝑛 ∈ 𝐴(volβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  β¦‹csb 3859   βŠ† wss 3914  βˆͺ ciun 4958  Disj wdisj 5074   class class class wbr 5109  dom cdm 5637  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  β„cr 11058  0cc0 11059  +∞cpnf 11194  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198  [,)cico 13275  [,]cicc 13276  Ξ£csu 15579  volcvol 24850  Ξ£*cesum 32690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5075  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-shft 14961  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-limsup 15362  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-ef 15958  df-sin 15960  df-cos 15961  df-pi 15963  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-ordt 17391  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-ps 18463  df-tsr 18464  df-plusf 18504  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-subrg 20262  df-abv 20319  df-lmod 20367  df-scaf 20368  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-lp 22510  df-perf 22511  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-haus 22689  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-tmd 23446  df-tgp 23447  df-tsms 23501  df-trg 23534  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-nm 23961  df-ngp 23962  df-nrg 23964  df-nlm 23965  df-ii 24263  df-cncf 24264  df-ovol 24851  df-vol 24852  df-limc 25253  df-dv 25254  df-log 25935  df-esum 32691
This theorem is referenced by:  volmeas  32894
  Copyright terms: Public domain W3C validator