Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  volfiniune Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem volfiniune 33223
Description: The Lebesgue measure function is countably additive. This theorem is to volfiniun 25063 what voliune 33222 is to voliun 25070. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
volfiniune ((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£*𝑛 ∈ 𝐴(volβ€˜π΅))
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐡(𝑛)

Proof of Theorem volfiniune
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1191 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
2 simpl2 1192 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol)
3 simpr 485 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ)
4 r19.26 3111 . . . . 5 (βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (𝐡 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) ↔ (βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ))
52, 3, 4sylanbrc 583 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (𝐡 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π΅) ∈ ℝ))
6 simpl3 1193 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡)
7 volfiniun 25063 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (𝐡 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅))
81, 5, 6, 7syl3anc 1371 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅))
9 nfcv 2903 . . . 4 Ⅎ𝑛𝐴
109nfel1 2919 . . . . . 6 Ⅎ𝑛 𝐴 ∈ Fin
11 nfra1 3281 . . . . . 6 β„²π‘›βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol
12 nfdisj1 5127 . . . . . 6 Ⅎ𝑛Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡
1310, 11, 12nf3an 1904 . . . . 5 Ⅎ𝑛(𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡)
14 nfra1 3281 . . . . 5 β„²π‘›βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ
1513, 14nfan 1902 . . . 4 Ⅎ𝑛((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ)
163r19.21bi 3248 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜π΅) ∈ ℝ)
17 rspa 3245 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ dom vol)
18 volf 25045 . . . . . . . . 9 vol:dom vol⟢(0[,]+∞)
1918ffvelcdmi 7085 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ dom vol β†’ (volβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
2017, 19syl 17 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
212, 20sylan 580 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
22 0xr 11260 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
23 pnfxr 11267 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
24 elicc1 13367 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ ((volβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((volβ€˜π΅) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (volβ€˜π΅) ∧ (volβ€˜π΅) ≀ +∞)))
2522, 23, 24mp2an 690 . . . . . . 7 ((volβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((volβ€˜π΅) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (volβ€˜π΅) ∧ (volβ€˜π΅) ≀ +∞))
2625simp2bi 1146 . . . . . 6 ((volβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (volβ€˜π΅))
2721, 26syl 17 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (volβ€˜π΅))
28 ltpnf 13099 . . . . . 6 ((volβ€˜π΅) ∈ ℝ β†’ (volβ€˜π΅) < +∞)
2916, 28syl 17 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜π΅) < +∞)
30 0re 11215 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
31 elico2 13387 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ ((volβ€˜π΅) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((volβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (volβ€˜π΅) ∧ (volβ€˜π΅) < +∞)))
3230, 23, 31mp2an 690 . . . . 5 ((volβ€˜π΅) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((volβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (volβ€˜π΅) ∧ (volβ€˜π΅) < +∞))
3316, 27, 29, 32syl3anbrc 1343 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜π΅) ∈ (0[,)+∞))
349, 15, 1, 33esumpfinvalf 33069 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ Ξ£*𝑛 ∈ 𝐴(volβ€˜π΅) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅))
358, 34eqtr4d 2775 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£*𝑛 ∈ 𝐴(volβ€˜π΅))
36 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞)
37 nfv 1917 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜(volβ€˜π΅) = +∞
38 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛vol
39 nfcsb1v 3918 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘›β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅
4038, 39nffv 6901 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛(volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅)
4140nfeq1 2918 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛(volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) = +∞
42 csbeq1a 3907 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ 𝐡 = β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅)
4342fveqeq2d 6899 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((volβ€˜π΅) = +∞ ↔ (volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) = +∞))
4437, 41, 43cbvrexw 3304 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞ ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 (volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) = +∞)
4536, 44sylib 217 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 (volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) = +∞)
4639nfel1 2919 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘›β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ dom vol
4742eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝐡 ∈ dom vol ↔ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ dom vol))
4846, 47rspc 3600 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol β†’ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ dom vol))
4948impcom 408 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ dom vol)
5049adantll 712 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ dom vol)
51 finiunmbl 25060 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol)
5251adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol)
53 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘›π‘˜
549, 53, 39, 42ssiun2sf 31786 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡)
5554adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡)
56 volss 25049 . . . . . . . . . . 11 ((β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ dom vol ∧ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) β†’ (volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡))
5750, 52, 55, 56syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡))
58573adantl3 1168 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡))
5958adantlr 713 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡))
6059ralrimiva 3146 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡))
61 r19.29r 3116 . . . . . . 7 ((βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 (volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) = +∞ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 ((volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) = +∞ ∧ (volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡)))
6245, 60, 61syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 ((volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) = +∞ ∧ (volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡)))
63 breq1 5151 . . . . . . . 8 ((volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) = +∞ β†’ ((volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ↔ +∞ ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡)))
6463biimpa 477 . . . . . . 7 (((volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) = +∞ ∧ (volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ +∞ ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡))
6564reximi 3084 . . . . . 6 (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 ((volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) = +∞ ∧ (volβ€˜β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 +∞ ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡))
6662, 65syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 +∞ ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡))
67 rexex 3076 . . . . . 6 (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 +∞ ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) β†’ βˆƒπ‘˜+∞ ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡))
68 19.9v 1987 . . . . . 6 (βˆƒπ‘˜+∞ ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ↔ +∞ ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡))
6967, 68sylib 217 . . . . 5 (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 +∞ ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) β†’ +∞ ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡))
7066, 69syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞) β†’ +∞ ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡))
71 iccssxr 13406 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
7218ffvelcdmi 7085 . . . . . . . . 9 (βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (0[,]+∞))
7371, 72sselid 3980 . . . . . . . 8 (βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∈ ℝ*)
7451, 73syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol) β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∈ ℝ*)
75743adant3 1132 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∈ ℝ*)
7675adantr 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞) β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∈ ℝ*)
77 xgepnf 13143 . . . . 5 ((volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∈ ℝ* β†’ (+∞ ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ↔ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) = +∞))
7876, 77syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞) β†’ (+∞ ≀ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ↔ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) = +∞))
7970, 78mpbid 231 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞) β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) = +∞)
80 nfre1 3282 . . . . 5 β„²π‘›βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞
8113, 80nfan 1902 . . . 4 Ⅎ𝑛((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞)
82 simpl1 1191 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
83203ad2antl2 1186 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
8483adantlr 713 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
8581, 82, 84, 36esumpinfval 33066 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞) β†’ Ξ£*𝑛 ∈ 𝐴(volβ€˜π΅) = +∞)
8679, 85eqtr4d 2775 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞) β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£*𝑛 ∈ 𝐴(volβ€˜π΅))
87 exmid 893 . . . . 5 (βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ ∨ Β¬ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ)
88 rexnal 3100 . . . . . 6 (βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 Β¬ (volβ€˜π΅) ∈ ℝ ↔ Β¬ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ)
8988orbi2i 911 . . . . 5 ((βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ ∨ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 Β¬ (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) ↔ (βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ ∨ Β¬ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ))
9087, 89mpbir 230 . . . 4 (βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ ∨ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 Β¬ (volβ€˜π΅) ∈ ℝ)
91 r19.29 3114 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 Β¬ (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (𝐡 ∈ dom vol ∧ Β¬ (volβ€˜π΅) ∈ ℝ))
92 xrge0nre 13429 . . . . . . . . 9 (((volβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞) ∧ Β¬ (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜π΅) = +∞)
9319, 92sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ dom vol ∧ Β¬ (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜π΅) = +∞)
9493reximi 3084 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (𝐡 ∈ dom vol ∧ Β¬ (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞)
9591, 94syl 17 . . . . . 6 ((βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 Β¬ (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞)
9695ex 413 . . . . 5 (βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol β†’ (βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 Β¬ (volβ€˜π΅) ∈ ℝ β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞))
9796orim2d 965 . . . 4 (βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol β†’ ((βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ ∨ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 Β¬ (volβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ ∨ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞)))
9890, 97mpi 20 . . 3 (βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ ∨ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞))
99983ad2ant2 1134 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) ∈ ℝ ∨ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (volβ€˜π΅) = +∞))
10035, 86, 99mpjaodan 957 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) β†’ (volβ€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£*𝑛 ∈ 𝐴(volβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  β¦‹csb 3893   βŠ† wss 3948  βˆͺ ciun 4997  Disj wdisj 5113   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  β„cr 11108  0cc0 11109  +∞cpnf 11244  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248  [,)cico 13325  [,]cicc 13326  Ξ£csu 15631  volcvol 24979  Ξ£*cesum 33020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-shft 15013  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-ef 16010  df-sin 16012  df-cos 16013  df-pi 16015  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-ordt 17446  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-ps 18518  df-tsr 18519  df-plusf 18559  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-subrg 20316  df-abv 20424  df-lmod 20472  df-scaf 20473  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-tmd 23575  df-tgp 23576  df-tsms 23630  df-trg 23663  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-nm 24090  df-ngp 24091  df-nrg 24093  df-nlm 24094  df-ii 24392  df-cncf 24393  df-ovol 24980  df-vol 24981  df-limc 25382  df-dv 25383  df-log 26064  df-esum 33021
This theorem is referenced by:  volmeas  33224
  Copyright terms: Public domain W3C validator