Theorem zorn2lem2 10575

Description: Lemma for zorn2 10584. (Contributed by NM, 3-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zorn2lem.3	⊢ 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (℩𝑣 ∈ 𝐶 ∀𝑢 ∈ 𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
zorn2lem.4	⊢ 𝐶 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.5	⊢ 𝐷 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑧}

Assertion

Ref	Expression
zorn2lem2	⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅)) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐷,𝑓,𝑢,𝑣,𝑦   𝑓,𝐹,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑢, 𝑓, 𝑔)   𝐷(𝑥, 𝑧, 𝑤, 𝑔)   𝐹(𝑤)

Proof of Theorem zorn2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zorn2lem.3	. . . 4 ⊢ 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (℩𝑣 ∈ 𝐶 ∀𝑢 ∈ 𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
2		zorn2lem.4	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
3		zorn2lem.5	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑧}
4	1, 2, 3	zorn2lem1 10574	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷)
5		breq2 5107	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑥) → (𝑔𝑅𝑧 ↔ 𝑔𝑅(𝐹‘𝑥)))
6	5	ralbidv 3186	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑥) → (∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑧 ↔ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅(𝐹‘𝑥)))
7	6, 3	elrab2 3649	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅(𝐹‘𝑥)))
8	7	simprbi 503	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷 → ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅(𝐹‘𝑥))
9	4, 8	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅)) → ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅(𝐹‘𝑥))
10	1	tfr1 8405	. . . 4 ⊢ 𝐹 Fn On
11		onss 7799	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ On → 𝑥 ⊆ On)
12		fnfvima 7239	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn On ∧ 𝑥 ⊆ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑥))
13	12	3expia 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn On ∧ 𝑥 ⊆ On) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑥)))
14	10, 11, 13	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑥)))
15	14	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅)) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑥)))
16		breq1 5106	. . 3 ⊢ (𝑔 = (𝐹‘𝑦) → (𝑔𝑅(𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥)))
17	16	rspccv 3574	. 2 ⊢ (∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅(𝐹‘𝑥) → ((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑥) → (𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥)))
18	9, 15, 17	sylsyld 62	1 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅)) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  {crab 3413  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   We wwe 5603  ran crn 5652   “ cima 5654  Oncon0 6362   Fn wfn 6533  ‘cfv 6538  ℩crio 7376  recscrecs 8378

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379

This theorem is used by:  zorn2lem3  10576  zorn2lem6  10579