MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zorn2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zorn2lem2 10537
Description: Lemma for zorn2 10546. (Contributed by NM, 3-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zorn2lem.3 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
zorn2lem.4 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.5 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
Assertion
Ref Expression
zorn2lem2 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐷,𝑓,𝑢,𝑣,𝑦   𝑓,𝐹,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔)   𝐷(𝑥,𝑧,𝑤,𝑔)   𝐹(𝑤)

Proof of Theorem zorn2lem2
StepHypRef Expression
1 zorn2lem.3 . . . 4 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
2 zorn2lem.4 . . . 4 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
3 zorn2lem.5 . . . 4 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
41, 2, 3zorn2lem1 10536 . . 3 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐷)
5 breq2 5147 . . . . . 6 (𝑧 = (𝐹𝑥) → (𝑔𝑅𝑧𝑔𝑅(𝐹𝑥)))
65ralbidv 3178 . . . . 5 (𝑧 = (𝐹𝑥) → (∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧 ↔ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅(𝐹𝑥)))
76, 3elrab2 3695 . . . 4 ((𝐹𝑥) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹𝑥) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅(𝐹𝑥)))
87simprbi 496 . . 3 ((𝐹𝑥) ∈ 𝐷 → ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅(𝐹𝑥))
94, 8syl 17 . 2 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅(𝐹𝑥))
101tfr1 8437 . . . 4 𝐹 Fn On
11 onss 7805 . . . 4 (𝑥 ∈ On → 𝑥 ⊆ On)
12 fnfvima 7253 . . . . 5 ((𝐹 Fn On ∧ 𝑥 ⊆ On ∧ 𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥))
13123expia 1122 . . . 4 ((𝐹 Fn On ∧ 𝑥 ⊆ On) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥)))
1410, 11, 13sylancr 587 . . 3 (𝑥 ∈ On → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥)))
1514adantr 480 . 2 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥)))
16 breq1 5146 . . 3 (𝑔 = (𝐹𝑦) → (𝑔𝑅(𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑥)))
1716rspccv 3619 . 2 (∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅(𝐹𝑥) → ((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) → (𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑥)))
189, 15, 17sylsyld 61 1 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3480  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143  cmpt 5225   We wwe 5636  ran crn 5686  cima 5688  Oncon0 6384   Fn wfn 6556  cfv 6561  crio 7387  recscrecs 8410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411
This theorem is referenced by:  zorn2lem3  10538  zorn2lem6  10541
  Copyright terms: Public domain W3C validator