Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zorn2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zorn2lem2 9962
 Description: Lemma for zorn2 9971. (Contributed by NM, 3-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zorn2lem.3 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
zorn2lem.4 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.5 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
Assertion
Ref Expression
zorn2lem2 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐷,𝑓,𝑢,𝑣,𝑦   𝑓,𝐹,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔)   𝐷(𝑥,𝑧,𝑤,𝑔)   𝐹(𝑤)

Proof of Theorem zorn2lem2
StepHypRef Expression
1 zorn2lem.3 . . . 4 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
2 zorn2lem.4 . . . 4 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
3 zorn2lem.5 . . . 4 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
41, 2, 3zorn2lem1 9961 . . 3 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐷)
5 breq2 5039 . . . . . 6 (𝑧 = (𝐹𝑥) → (𝑔𝑅𝑧𝑔𝑅(𝐹𝑥)))
65ralbidv 3126 . . . . 5 (𝑧 = (𝐹𝑥) → (∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧 ↔ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅(𝐹𝑥)))
76, 3elrab2 3607 . . . 4 ((𝐹𝑥) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹𝑥) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅(𝐹𝑥)))
87simprbi 500 . . 3 ((𝐹𝑥) ∈ 𝐷 → ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅(𝐹𝑥))
94, 8syl 17 . 2 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅(𝐹𝑥))
101tfr1 8048 . . . 4 𝐹 Fn On
11 onss 7509 . . . 4 (𝑥 ∈ On → 𝑥 ⊆ On)
12 fnfvima 6992 . . . . 5 ((𝐹 Fn On ∧ 𝑥 ⊆ On ∧ 𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥))
13123expia 1118 . . . 4 ((𝐹 Fn On ∧ 𝑥 ⊆ On) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥)))
1410, 11, 13sylancr 590 . . 3 (𝑥 ∈ On → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥)))
1514adantr 484 . 2 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥)))
16 breq1 5038 . . 3 (𝑔 = (𝐹𝑦) → (𝑔𝑅(𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑥)))
1716rspccv 3540 . 2 (∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅(𝐹𝑥) → ((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) → (𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑥)))
189, 15, 17sylsyld 61 1 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑥)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  {crab 3074  Vcvv 3409   ⊆ wss 3860  ∅c0 4227   class class class wbr 5035   ↦ cmpt 5115   We wwe 5485  ran crn 5528   “ cima 5530  Oncon0 6173   Fn wfn 6334  ‘cfv 6339  ℩crio 7112  recscrecs 8022 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pr 5301  ax-un 7464 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-wrecs 7962  df-recs 8023 This theorem is referenced by:  zorn2lem3  9963  zorn2lem6  9966
 Copyright terms: Public domain W3C validator