Theorem zorn2lem2 10488

Description: Lemma for zorn2 10497. (Contributed by NM, 3-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zorn2lem.3	⊢ 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (℩𝑣 ∈ 𝐶 ∀𝑢 ∈ 𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
zorn2lem.4	⊢ 𝐶 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.5	⊢ 𝐷 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑧}

Assertion

Ref	Expression
zorn2lem2	⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅)) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐷,𝑓,𝑢,𝑣,𝑦   𝑓,𝐹,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔)   𝐷(𝑥,𝑧,𝑤,𝑔)   𝐹(𝑤)

Proof of Theorem zorn2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zorn2lem.3	. . . 4 ⊢ 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (℩𝑣 ∈ 𝐶 ∀𝑢 ∈ 𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
2		zorn2lem.4	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
3		zorn2lem.5	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑧}
4	1, 2, 3	zorn2lem1 10487	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷)
5		breq2 5151	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑥) → (𝑔𝑅𝑧 ↔ 𝑔𝑅(𝐹‘𝑥)))
6	5	ralbidv 3177	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑥) → (∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑧 ↔ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅(𝐹‘𝑥)))
7	6, 3	elrab2 3685	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅(𝐹‘𝑥)))
8	7	simprbi 497	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷 → ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅(𝐹‘𝑥))
9	4, 8	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅)) → ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅(𝐹‘𝑥))
10	1	tfr1 8393	. . . 4 ⊢ 𝐹 Fn On
11		onss 7768	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ On → 𝑥 ⊆ On)
12		fnfvima 7231	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn On ∧ 𝑥 ⊆ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑥))
13	12	3expia 1121	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn On ∧ 𝑥 ⊆ On) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑥)))
14	10, 11, 13	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑥)))
15	14	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅)) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑥)))
16		breq1 5150	. . 3 ⊢ (𝑔 = (𝐹‘𝑦) → (𝑔𝑅(𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥)))
17	16	rspccv 3609	. 2 ⊢ (∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅(𝐹‘𝑥) → ((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑥) → (𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥)))
18	9, 15, 17	sylsyld 61	1 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅)) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   We wwe 5629  ran crn 5676   “ cima 5678  Oncon0 6361   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540  ℩crio 7360  recscrecs 8366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367

This theorem is referenced by:  zorn2lem3  10489  zorn2lem6  10492