Theorem zorn2lem2 10391

Description: Lemma for zorn2 10400. (Contributed by NM, 3-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zorn2lem.3	⊢ 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (℩𝑣 ∈ 𝐶 ∀𝑢 ∈ 𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
zorn2lem.4	⊢ 𝐶 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.5	⊢ 𝐷 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑧}

Assertion

Ref	Expression
zorn2lem2	⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅)) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐷,𝑓,𝑢,𝑣,𝑦   𝑓,𝐹,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔)   𝐷(𝑥,𝑧,𝑤,𝑔)   𝐹(𝑤)

Proof of Theorem zorn2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zorn2lem.3	. . . 4 ⊢ 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (℩𝑣 ∈ 𝐶 ∀𝑢 ∈ 𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
2		zorn2lem.4	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
3		zorn2lem.5	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑧}
4	1, 2, 3	zorn2lem1 10390	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷)
5		breq2 5096	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑥) → (𝑔𝑅𝑧 ↔ 𝑔𝑅(𝐹‘𝑥)))
6	5	ralbidv 3152	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑥) → (∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑧 ↔ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅(𝐹‘𝑥)))
7	6, 3	elrab2 3651	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅(𝐹‘𝑥)))
8	7	simprbi 496	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷 → ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅(𝐹‘𝑥))
9	4, 8	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅)) → ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅(𝐹‘𝑥))
10	1	tfr1 8319	. . . 4 ⊢ 𝐹 Fn On
11		onss 7721	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ On → 𝑥 ⊆ On)
12		fnfvima 7169	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn On ∧ 𝑥 ⊆ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑥))
13	12	3expia 1121	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn On ∧ 𝑥 ⊆ On) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑥)))
14	10, 11, 13	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑥)))
15	14	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅)) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑥)))
16		breq1 5095	. . 3 ⊢ (𝑔 = (𝐹‘𝑦) → (𝑔𝑅(𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥)))
17	16	rspccv 3574	. 2 ⊢ (∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅(𝐹‘𝑥) → ((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑥) → (𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥)))
18	9, 15, 17	sylsyld 61	1 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅)) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  {crab 3394  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173   We wwe 5571  ran crn 5620   “ cima 5622  Oncon0 6307   Fn wfn 6477  ‘cfv 6482  ℩crio 7305  recscrecs 8293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294

This theorem is referenced by:  zorn2lem3  10392  zorn2lem6  10395