MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zorn2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zorn2lem2 10434
Description: Lemma for zorn2 10443. (Contributed by NM, 3-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zorn2lem.3 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
zorn2lem.4 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.5 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
Assertion
Ref Expression
zorn2lem2 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐷,𝑓,𝑢,𝑣,𝑦   𝑓,𝐹,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔)   𝐷(𝑥,𝑧,𝑤,𝑔)   𝐹(𝑤)

Proof of Theorem zorn2lem2
StepHypRef Expression
1 zorn2lem.3 . . . 4 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
2 zorn2lem.4 . . . 4 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
3 zorn2lem.5 . . . 4 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
41, 2, 3zorn2lem1 10433 . . 3 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐷)
5 breq2 5110 . . . . . 6 (𝑧 = (𝐹𝑥) → (𝑔𝑅𝑧𝑔𝑅(𝐹𝑥)))
65ralbidv 3175 . . . . 5 (𝑧 = (𝐹𝑥) → (∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧 ↔ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅(𝐹𝑥)))
76, 3elrab2 3649 . . . 4 ((𝐹𝑥) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹𝑥) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅(𝐹𝑥)))
87simprbi 498 . . 3 ((𝐹𝑥) ∈ 𝐷 → ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅(𝐹𝑥))
94, 8syl 17 . 2 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅(𝐹𝑥))
101tfr1 8344 . . . 4 𝐹 Fn On
11 onss 7720 . . . 4 (𝑥 ∈ On → 𝑥 ⊆ On)
12 fnfvima 7184 . . . . 5 ((𝐹 Fn On ∧ 𝑥 ⊆ On ∧ 𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥))
13123expia 1122 . . . 4 ((𝐹 Fn On ∧ 𝑥 ⊆ On) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥)))
1410, 11, 13sylancr 588 . . 3 (𝑥 ∈ On → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥)))
1514adantr 482 . 2 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥)))
16 breq1 5109 . . 3 (𝑔 = (𝐹𝑦) → (𝑔𝑅(𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑥)))
1716rspccv 3579 . 2 (∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅(𝐹𝑥) → ((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) → (𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑥)))
189, 15, 17sylsyld 61 1 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  wral 3065  {crab 3408  Vcvv 3446  wss 3911  c0 4283   class class class wbr 5106  cmpt 5189   We wwe 5588  ran crn 5635  cima 5637  Oncon0 6318   Fn wfn 6492  cfv 6497  crio 7313  recscrecs 8317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318
This theorem is referenced by:  zorn2lem3  10435  zorn2lem6  10438
  Copyright terms: Public domain W3C validator