Theorem zorn2lem2 10388

Description: Lemma for zorn2 10397. (Contributed by NM, 3-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zorn2lem.3	⊢ 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (℩𝑣 ∈ 𝐶 ∀𝑢 ∈ 𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
zorn2lem.4	⊢ 𝐶 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.5	⊢ 𝐷 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑧}

Assertion

Ref	Expression
zorn2lem2	⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅)) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐷,𝑓,𝑢,𝑣,𝑦   𝑓,𝐹,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔)   𝐷(𝑥,𝑧,𝑤,𝑔)   𝐹(𝑤)

Proof of Theorem zorn2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zorn2lem.3	. . . 4 ⊢ 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (℩𝑣 ∈ 𝐶 ∀𝑢 ∈ 𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
2		zorn2lem.4	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
3		zorn2lem.5	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑧}
4	1, 2, 3	zorn2lem1 10387	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷)
5		breq2 5093	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑥) → (𝑔𝑅𝑧 ↔ 𝑔𝑅(𝐹‘𝑥)))
6	5	ralbidv 3155	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑥) → (∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑧 ↔ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅(𝐹‘𝑥)))
7	6, 3	elrab2 3645	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅(𝐹‘𝑥)))
8	7	simprbi 496	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷 → ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅(𝐹‘𝑥))
9	4, 8	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅)) → ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅(𝐹‘𝑥))
10	1	tfr1 8316	. . . 4 ⊢ 𝐹 Fn On
11		onss 7718	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ On → 𝑥 ⊆ On)
12		fnfvima 7167	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn On ∧ 𝑥 ⊆ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑥))
13	12	3expia 1121	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn On ∧ 𝑥 ⊆ On) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑥)))
14	10, 11, 13	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑥)))
15	14	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅)) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑥)))
16		breq1 5092	. . 3 ⊢ (𝑔 = (𝐹‘𝑦) → (𝑔𝑅(𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥)))
17	16	rspccv 3569	. 2 ⊢ (∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅(𝐹‘𝑥) → ((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑥) → (𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥)))
18	9, 15, 17	sylsyld 61	1 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅)) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  {crab 3395  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  ∅c0 4280   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170   We wwe 5566  ran crn 5615   “ cima 5617  Oncon0 6306   Fn wfn 6476  ‘cfv 6481  ℩crio 7302  recscrecs 8290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291

This theorem is referenced by:  zorn2lem3  10389  zorn2lem6  10392