Theorem fnoprabg 5586

Description: Functionality and domain of an operation class abstraction. (Contributed by set.mm contributors, 28-Aug-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fnoprabg	⊢ (∀x∀y(φ → ∃!zψ) → {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ (φ ∧ ψ)} Fn {⟨x, y⟩ ∣ φ})

Distinct variable groups:   x,y,z   φ,z

Allowed substitution hints:   φ(x,y)   ψ(x,y,z)

Proof of Theorem fnoprabg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eumo 2244	. . . . . 6 ⊢ (∃!zψ → ∃*zψ)
2	1	imim2i 13	. . . . 5 ⊢ ((φ → ∃!zψ) → (φ → ∃*zψ))
3		moanimv 2262	. . . . 5 ⊢ (∃*z(φ ∧ ψ) ↔ (φ → ∃*zψ))
4	2, 3	sylibr 203	. . . 4 ⊢ ((φ → ∃!zψ) → ∃*z(φ ∧ ψ))
5	4	2alimi 1560	. . 3 ⊢ (∀x∀y(φ → ∃!zψ) → ∀x∀y∃*z(φ ∧ ψ))
6		funoprabg 5584	. . 3 ⊢ (∀x∀y∃*z(φ ∧ ψ) → Fun {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ (φ ∧ ψ)})
7	5, 6	syl 15	. 2 ⊢ (∀x∀y(φ → ∃!zψ) → Fun {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ (φ ∧ ψ)})
8		dmoprab 5575	. . 3 ⊢ dom {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ (φ ∧ ψ)} = {⟨x, y⟩ ∣ ∃z(φ ∧ ψ)}
9		nfa1 1788	. . . 4 ⊢ Ⅎx∀x∀y(φ → ∃!zψ)
10		nfa2 1855	. . . 4 ⊢ Ⅎy∀x∀y(φ → ∃!zψ)
11		simpl 443	. . . . . . . 8 ⊢ ((φ ∧ ψ) → φ)
12	11	exlimiv 1634	. . . . . . 7 ⊢ (∃z(φ ∧ ψ) → φ)
13		euex 2227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃!zψ → ∃zψ)
14	13	imim2i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((φ → ∃!zψ) → (φ → ∃zψ))
15	14	ancld 536	. . . . . . . 8 ⊢ ((φ → ∃!zψ) → (φ → (φ ∧ ∃zψ)))
16		19.42v 1905	. . . . . . . 8 ⊢ (∃z(φ ∧ ψ) ↔ (φ ∧ ∃zψ))
17	15, 16	syl6ibr 218	. . . . . . 7 ⊢ ((φ → ∃!zψ) → (φ → ∃z(φ ∧ ψ)))
18	12, 17	impbid2 195	. . . . . 6 ⊢ ((φ → ∃!zψ) → (∃z(φ ∧ ψ) ↔ φ))
19	18	sps 1754	. . . . 5 ⊢ (∀y(φ → ∃!zψ) → (∃z(φ ∧ ψ) ↔ φ))
20	19	sps 1754	. . . 4 ⊢ (∀x∀y(φ → ∃!zψ) → (∃z(φ ∧ ψ) ↔ φ))
21	9, 10, 20	opabbid 4625	. . 3 ⊢ (∀x∀y(φ → ∃!zψ) → {⟨x, y⟩ ∣ ∃z(φ ∧ ψ)} = {⟨x, y⟩ ∣ φ})
22	8, 21	syl5eq 2397	. 2 ⊢ (∀x∀y(φ → ∃!zψ) → dom {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ (φ ∧ ψ)} = {⟨x, y⟩ ∣ φ})
23		df-fn 4791	. 2 ⊢ ({⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ (φ ∧ ψ)} Fn {⟨x, y⟩ ∣ φ} ↔ (Fun {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ (φ ∧ ψ)} ∧ dom {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ (φ ∧ ψ)} = {⟨x, y⟩ ∣ φ}))
24	7, 22, 23	sylanbrc 645	1 ⊢ (∀x∀y(φ → ∃!zψ) → {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ (φ ∧ ψ)} Fn {⟨x, y⟩ ∣ φ})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∀wal 1540  ∃wex 1541   = wceq 1642  ∃!weu 2204  ∃*wmo 2205  {copab 4623  dom cdm 4773  Fun wfun 4776   Fn wfn 4777  {coprab 5528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-co 4727  df-ima 4728  df-id 4768  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-fun 4790  df-fn 4791  df-oprab 5529

This theorem is referenced by:  fnoprab  5587  ovg  5602