NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  fnoprabg GIF version

Theorem fnoprabg 5585
Description: Functionality and domain of an operation class abstraction. (Contributed by set.mm contributors, 28-Aug-2007.)
Assertion
Ref Expression
fnoprabg (xy(φ∃!zψ) → {x, y, z (φ ψ)} Fn {x, y φ})
Distinct variable groups:   x,y,z   φ,z
Allowed substitution hints:   φ(x,y)   ψ(x,y,z)

Proof of Theorem fnoprabg
StepHypRef Expression
1 eumo 2244 . . . . . 6 (∃!zψ∃*zψ)
21imim2i 13 . . . . 5 ((φ∃!zψ) → (φ∃*zψ))
3 moanimv 2262 . . . . 5 (∃*z(φ ψ) ↔ (φ∃*zψ))
42, 3sylibr 203 . . . 4 ((φ∃!zψ) → ∃*z(φ ψ))
542alimi 1560 . . 3 (xy(φ∃!zψ) → xy∃*z(φ ψ))
6 funoprabg 5583 . . 3 (xy∃*z(φ ψ) → Fun {x, y, z (φ ψ)})
75, 6syl 15 . 2 (xy(φ∃!zψ) → Fun {x, y, z (φ ψ)})
8 dmoprab 5574 . . 3 dom {x, y, z (φ ψ)} = {x, y z(φ ψ)}
9 nfa1 1788 . . . 4 xxy(φ∃!zψ)
10 nfa2 1855 . . . 4 yxy(φ∃!zψ)
11 simpl 443 . . . . . . . 8 ((φ ψ) → φ)
1211exlimiv 1634 . . . . . . 7 (z(φ ψ) → φ)
13 euex 2227 . . . . . . . . . 10 (∃!zψzψ)
1413imim2i 13 . . . . . . . . 9 ((φ∃!zψ) → (φzψ))
1514ancld 536 . . . . . . . 8 ((φ∃!zψ) → (φ → (φ zψ)))
16 19.42v 1905 . . . . . . . 8 (z(φ ψ) ↔ (φ zψ))
1715, 16syl6ibr 218 . . . . . . 7 ((φ∃!zψ) → (φz(φ ψ)))
1812, 17impbid2 195 . . . . . 6 ((φ∃!zψ) → (z(φ ψ) ↔ φ))
1918sps 1754 . . . . 5 (y(φ∃!zψ) → (z(φ ψ) ↔ φ))
2019sps 1754 . . . 4 (xy(φ∃!zψ) → (z(φ ψ) ↔ φ))
219, 10, 20opabbid 4624 . . 3 (xy(φ∃!zψ) → {x, y z(φ ψ)} = {x, y φ})
228, 21syl5eq 2397 . 2 (xy(φ∃!zψ) → dom {x, y, z (φ ψ)} = {x, y φ})
23 df-fn 4790 . 2 ({x, y, z (φ ψ)} Fn {x, y φ} ↔ (Fun {x, y, z (φ ψ)} dom {x, y, z (φ ψ)} = {x, y φ}))
247, 22, 23sylanbrc 645 1 (xy(φ∃!zψ) → {x, y, z (φ ψ)} Fn {x, y φ})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 176   wa 358  wal 1540  wex 1541   = wceq 1642  ∃!weu 2204  ∃*wmo 2205  {copab 4622  dom cdm 4772  Fun wfun 4775   Fn wfn 4776  {coprab 5527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-co 4726  df-ima 4727  df-id 4767  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-fun 4789  df-fn 4790  df-oprab 5528
This theorem is referenced by:  fnoprab  5586  ovg  5601
  Copyright terms: Public domain W3C validator