Theorem ovg 5602

Description: The value of an operation class abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovg.1	⊢ (x = A → (φ ↔ ψ))
ovg.2	⊢ (y = B → (ψ ↔ χ))
ovg.3	⊢ (z = C → (χ ↔ θ))
ovg.4	⊢ ((τ ∧ (x ∈ R ∧ y ∈ S)) → ∃!zφ)
ovg.5	⊢ F = {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)}

Assertion

Ref	Expression
ovg	⊢ ((τ ∧ (A ∈ R ∧ B ∈ S ∧ C ∈ D)) → ((AFB) = C ↔ θ))

Distinct variable groups:   ψ,x   χ,x,y   θ,x,y,z   τ,x,y   x,R,y,z   x,S,y,z   x,A,y,z   x,B,y,z   x,C,y,z

Allowed substitution hints:   φ(x,y,z)   ψ(y,z)   χ(z)   τ(z)   D(x,y,z)   F(x,y,z)

Proof of Theorem ovg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 5527	. . . . 5 ⊢ (AFB) = (F ‘⟨A, B⟩)
2		ovg.5	. . . . . 6 ⊢ F = {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)}
3	2	fveq1i 5330	. . . . 5 ⊢ (F ‘⟨A, B⟩) = ({⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)} ‘⟨A, B⟩)
4	1, 3	eqtri 2373	. . . 4 ⊢ (AFB) = ({⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)} ‘⟨A, B⟩)
5	4	eqeq1i 2360	. . 3 ⊢ ((AFB) = C ↔ ({⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)} ‘⟨A, B⟩) = C)
6		ovg.4	. . . . . . . . 9 ⊢ ((τ ∧ (x ∈ R ∧ y ∈ S)) → ∃!zφ)
7	6	ex 423	. . . . . . . 8 ⊢ (τ → ((x ∈ R ∧ y ∈ S) → ∃!zφ))
8	7	alrimivv 1632	. . . . . . 7 ⊢ (τ → ∀x∀y((x ∈ R ∧ y ∈ S) → ∃!zφ))
9		fnoprabg 5586	. . . . . . 7 ⊢ (∀x∀y((x ∈ R ∧ y ∈ S) → ∃!zφ) → {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)} Fn {⟨x, y⟩ ∣ (x ∈ R ∧ y ∈ S)})
10	8, 9	syl 15	. . . . . 6 ⊢ (τ → {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)} Fn {⟨x, y⟩ ∣ (x ∈ R ∧ y ∈ S)})
11		df-xp 4785	. . . . . . 7 ⊢ (R × S) = {⟨x, y⟩ ∣ (x ∈ R ∧ y ∈ S)}
12	11	fneq2i 5180	. . . . . 6 ⊢ ({⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)} Fn (R × S) ↔ {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)} Fn {⟨x, y⟩ ∣ (x ∈ R ∧ y ∈ S)})
13	10, 12	sylibr 203	. . . . 5 ⊢ (τ → {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)} Fn (R × S))
14		opelxp 4812	. . . . . . 7 ⊢ (⟨A, B⟩ ∈ (R × S) ↔ (A ∈ R ∧ B ∈ S))
15	14	biimpri 197	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ S) → ⟨A, B⟩ ∈ (R × S))
16	15	3adant3 975	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ S ∧ C ∈ D) → ⟨A, B⟩ ∈ (R × S))
17		fnopfvb 5360	. . . . 5 ⊢ (({⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)} Fn (R × S) ∧ ⟨A, B⟩ ∈ (R × S)) → (({⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)} ‘⟨A, B⟩) = C ↔ ⟨⟨A, B⟩, C⟩ ∈ {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)}))
18	13, 16, 17	syl2an 463	. . . 4 ⊢ ((τ ∧ (A ∈ R ∧ B ∈ S ∧ C ∈ D)) → (({⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)} ‘⟨A, B⟩) = C ↔ ⟨⟨A, B⟩, C⟩ ∈ {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)}))
19		eleq1 2413	. . . . . . . 8 ⊢ (x = A → (x ∈ R ↔ A ∈ R))
20	19	anbi1d 685	. . . . . . 7 ⊢ (x = A → ((x ∈ R ∧ y ∈ S) ↔ (A ∈ R ∧ y ∈ S)))
21		ovg.1	. . . . . . 7 ⊢ (x = A → (φ ↔ ψ))
22	20, 21	anbi12d 691	. . . . . 6 ⊢ (x = A → (((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ) ↔ ((A ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ ψ)))
23		eleq1 2413	. . . . . . . 8 ⊢ (y = B → (y ∈ S ↔ B ∈ S))
24	23	anbi2d 684	. . . . . . 7 ⊢ (y = B → ((A ∈ R ∧ y ∈ S) ↔ (A ∈ R ∧ B ∈ S)))
25		ovg.2	. . . . . . 7 ⊢ (y = B → (ψ ↔ χ))
26	24, 25	anbi12d 691	. . . . . 6 ⊢ (y = B → (((A ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ ψ) ↔ ((A ∈ R ∧ B ∈ S) ∧ χ)))
27		ovg.3	. . . . . . 7 ⊢ (z = C → (χ ↔ θ))
28	27	anbi2d 684	. . . . . 6 ⊢ (z = C → (((A ∈ R ∧ B ∈ S) ∧ χ) ↔ ((A ∈ R ∧ B ∈ S) ∧ θ)))
29	22, 26, 28	eloprabg 5580	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ S ∧ C ∈ D) → (⟨⟨A, B⟩, C⟩ ∈ {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)} ↔ ((A ∈ R ∧ B ∈ S) ∧ θ)))
30	29	adantl 452	. . . 4 ⊢ ((τ ∧ (A ∈ R ∧ B ∈ S ∧ C ∈ D)) → (⟨⟨A, B⟩, C⟩ ∈ {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)} ↔ ((A ∈ R ∧ B ∈ S) ∧ θ)))
31	18, 30	bitrd 244	. . 3 ⊢ ((τ ∧ (A ∈ R ∧ B ∈ S ∧ C ∈ D)) → (({⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)} ‘⟨A, B⟩) = C ↔ ((A ∈ R ∧ B ∈ S) ∧ θ)))
32	5, 31	syl5bb 248	. 2 ⊢ ((τ ∧ (A ∈ R ∧ B ∈ S ∧ C ∈ D)) → ((AFB) = C ↔ ((A ∈ R ∧ B ∈ S) ∧ θ)))
33		biidd 228	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ S) → (((A ∈ R ∧ B ∈ S) ∧ θ) ↔ ((A ∈ R ∧ B ∈ S) ∧ θ)))
34	33	bianabs 850	. . . 4 ⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ S) → (((A ∈ R ∧ B ∈ S) ∧ θ) ↔ θ))
35	34	3adant3 975	. . 3 ⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ S ∧ C ∈ D) → (((A ∈ R ∧ B ∈ S) ∧ θ) ↔ θ))
36	35	adantl 452	. 2 ⊢ ((τ ∧ (A ∈ R ∧ B ∈ S ∧ C ∈ D)) → (((A ∈ R ∧ B ∈ S) ∧ θ) ↔ θ))
37	32, 36	bitrd 244	1 ⊢ ((τ ∧ (A ∈ R ∧ B ∈ S ∧ C ∈ D)) → ((AFB) = C ↔ θ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   ∧ w3a 934  ∀wal 1540   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∃!weu 2204  ⟨cop 4562  {copab 4623   × cxp 4771   Fn wfn 4777   ‘cfv 4782  (class class class)co 5526  {coprab 5528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-co 4727  df-ima 4728  df-id 4768  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-fun 4790  df-fn 4791  df-fv 4796  df-ov 5527  df-oprab 5529

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