Theorem xpsnen 6050

Description: A set is equinumerous to its cross-product with a singleton. Proposition 4.22(c) of [Mendelson] p. 254. (Contributed by set.mm contributors, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsnen.1	⊢ A ∈ V
xpsnen.2	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
xpsnen	⊢ (A × {B}) ≈ A

Proof of Theorem xpsnen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsnen.2	. . . . 5 ⊢ B ∈ V
2	1	snid 3761	. . . 4 ⊢ B ∈ {B}
3		ne0i 3557	. . . 4 ⊢ (B ∈ {B} → {B} ≠ ∅)
4		dmxp 4924	. . . 4 ⊢ ({B} ≠ ∅ → dom (A × {B}) = A)
5	2, 3, 4	mp2b 9	. . 3 ⊢ dom (A × {B}) = A
6	1	fconst 5251	. . . 4 ⊢ (A × {B}):A–→{B}
7		ffun 5226	. . . 4 ⊢ ((A × {B}):A–→{B} → Fun (A × {B}))
8		xpsnen.1	. . . . . 6 ⊢ A ∈ V
9		snex 4112	. . . . . 6 ⊢ {B} ∈ V
10	8, 9	xpex 5116	. . . . 5 ⊢ (A × {B}) ∈ V
11	10	fundmen 6044	. . . 4 ⊢ (Fun (A × {B}) → dom (A × {B}) ≈ (A × {B}))
12	6, 7, 11	mp2b 9	. . 3 ⊢ dom (A × {B}) ≈ (A × {B})
13	5, 12	eqbrtrri 4661	. 2 ⊢ A ≈ (A × {B})
14		ensym 6038	. 2 ⊢ (A ≈ (A × {B}) ↔ (A × {B}) ≈ A)
15	13, 14	mpbi 199	1 ⊢ (A × {B}) ≈ A

Syntax hints:   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2517  Vcvv 2860  ∅c0 3551  {csn 3738   class class class wbr 4640   × cxp 4771  dom cdm 4773  Fun wfun 4776  –→wf 4778   ≈ cen 6029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-1st 4724  df-swap 4725  df-co 4727  df-ima 4728  df-id 4768  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-res 4789  df-fun 4790  df-fn 4791  df-f 4792  df-f1 4793  df-fo 4794  df-f1o 4795  df-2nd 4798  df-en 6030

This theorem is referenced by:  xpsneng  6051  endisj  6052  mucid1  6144  ncaddccl  6145  tcdi  6165  ce0addcnnul  6180