Theorem bezoutlembz 12400

Description: Lemma for Bézout's identity. Like bezoutlemaz 12399 but where ' B ' can be any integer, not just a nonnegative one. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlembz	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑥,𝑦   𝐵,𝑑,𝑥,𝑦   𝑧,𝐴,𝑑   𝑧,𝐵

Proof of Theorem bezoutlembz

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemaz 12399	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
2	1	adantlr 477	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
3		bezoutlemaz 12399	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ -𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (-𝐵 · 𝑡))))
4	3	adantlr 477	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ -𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (-𝐵 · 𝑡))))
5		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℤ)
6		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
7	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
8		dvdsnegb 12194	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝐵 ↔ 𝑧 ∥ -𝐵))
9	5, 7, 8	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝐵 ↔ 𝑧 ∥ -𝐵))
10	9	biimprd 158	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ -𝐵 → 𝑧 ∥ 𝐵))
11	10	anim2d 337	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ -𝐵) → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
12	11	imim2d 54	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ -𝐵)) → (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
13	12	ralimdva 2574	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ -𝐵)) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
14	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
15	14	zcnd 9516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
16		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → 𝑡 ∈ ℤ)
17	16	zcnd 9516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → 𝑡 ∈ ℂ)
18		mulneg12 8489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (-𝐵 · 𝑡) = (𝐵 · -𝑡))
19	15, 17, 18	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (-𝐵 · 𝑡) = (𝐵 · -𝑡))
20	19	oveq2d 5973	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑥) + (-𝐵 · 𝑡)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · -𝑡)))
21	20	eqeq2d 2218	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (-𝐵 · 𝑡)) ↔ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · -𝑡))))
22		znegcl 9423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ ℤ → -𝑡 ∈ ℤ)
23		oveq2 5965	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = -𝑡 → (𝐵 · 𝑦) = (𝐵 · -𝑡))
24	23	oveq2d 5973	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = -𝑡 → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · -𝑡)))
25	24	eqeq2d 2218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = -𝑡 → (𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · -𝑡))))
26	25	rspcev 2881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · -𝑡))) → ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
27	22, 26	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · -𝑡))) → ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
28	27	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ ℤ → (𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · -𝑡)) → ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
29	28	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · -𝑡)) → ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
30	21, 29	sylbid 150	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (-𝐵 · 𝑡)) → ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
31	30	rexlimdva 2624	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (-𝐵 · 𝑡)) → ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
32	31	reximdv 2608	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (-𝐵 · 𝑡)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
33	13, 32	anim12d 335	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ -𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (-𝐵 · 𝑡))) → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
34	33	reximdva 2609	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ -𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (-𝐵 · 𝑡))) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
35	4, 34	mpd 13	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
36		elznn0 9407	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ -𝐵 ∈ ℕ0)))
37	36	simprbi 275	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ -𝐵 ∈ ℕ0))
38	37	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ -𝐵 ∈ ℕ0))
39	2, 35, 38	mpjaodan 800	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  ∃wrex 2486   class class class wbr 4051  (class class class)co 5957  ℂcc 7943  ℝcr 7944   + caddc 7948   · cmul 7950  -cneg 8264  ℕ₀cn0 9315  ℤcz 9392   ∥ cdvds 12173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062  ax-pre-mulext 8063  ax-arch 8064

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-frec 6490  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-ap 8675  df-div 8766  df-inn 9057  df-2 9115  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-q 9761  df-rp 9796  df-fz 10151  df-fl 10435  df-mod 10490  df-seqfrec 10615  df-exp 10706  df-cj 11228  df-re 11229  df-im 11230  df-rsqrt 11384  df-abs 11385  df-dvds 12174

This theorem is referenced by:  bezoutlembi  12401