Theorem bezoutlembz 12040

Description: Lemma for Bézout's identity. Like bezoutlemaz 12039 but where ' B ' can be any integer, not just a nonnegative one. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlembz	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑥,𝑦   𝐵,𝑑,𝑥,𝑦   𝑧,𝐴,𝑑   𝑧,𝐵

Proof of Theorem bezoutlembz

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemaz 12039	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
2	1	adantlr 477	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
3		bezoutlemaz 12039	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ -𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (-𝐵 · 𝑡))))
4	3	adantlr 477	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ -𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (-𝐵 · 𝑡))))
5		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℤ)
6		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
7	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
8		dvdsnegb 11850	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝐵 ↔ 𝑧 ∥ -𝐵))
9	5, 7, 8	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝐵 ↔ 𝑧 ∥ -𝐵))
10	9	biimprd 158	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ -𝐵 → 𝑧 ∥ 𝐵))
11	10	anim2d 337	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ -𝐵) → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
12	11	imim2d 54	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ -𝐵)) → (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
13	12	ralimdva 2557	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ -𝐵)) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
14	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
15	14	zcnd 9407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
16		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → 𝑡 ∈ ℤ)
17	16	zcnd 9407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → 𝑡 ∈ ℂ)
18		mulneg12 8385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (-𝐵 · 𝑡) = (𝐵 · -𝑡))
19	15, 17, 18	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (-𝐵 · 𝑡) = (𝐵 · -𝑡))
20	19	oveq2d 5913	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑥) + (-𝐵 · 𝑡)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · -𝑡)))
21	20	eqeq2d 2201	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (-𝐵 · 𝑡)) ↔ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · -𝑡))))
22		znegcl 9315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ ℤ → -𝑡 ∈ ℤ)
23		oveq2 5905	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = -𝑡 → (𝐵 · 𝑦) = (𝐵 · -𝑡))
24	23	oveq2d 5913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = -𝑡 → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · -𝑡)))
25	24	eqeq2d 2201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = -𝑡 → (𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · -𝑡))))
26	25	rspcev 2856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · -𝑡))) → ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
27	22, 26	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · -𝑡))) → ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
28	27	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ ℤ → (𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · -𝑡)) → ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
29	28	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · -𝑡)) → ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
30	21, 29	sylbid 150	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (-𝐵 · 𝑡)) → ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
31	30	rexlimdva 2607	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (-𝐵 · 𝑡)) → ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
32	31	reximdv 2591	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (-𝐵 · 𝑡)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
33	13, 32	anim12d 335	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ -𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (-𝐵 · 𝑡))) → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
34	33	reximdva 2592	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ -𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (-𝐵 · 𝑡))) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
35	4, 34	mpd 13	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
36		elznn0 9299	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ -𝐵 ∈ ℕ0)))
37	36	simprbi 275	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ -𝐵 ∈ ℕ0))
38	37	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ -𝐵 ∈ ℕ0))
39	2, 35, 38	mpjaodan 799	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ∀wral 2468  ∃wrex 2469   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897  ℂcc 7840  ℝcr 7841   + caddc 7845   · cmul 7847  -cneg 8160  ℕ₀cn0 9207  ℤcz 9284   ∥ cdvds 11829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-rp 9686  df-fz 10041  df-fl 10303  df-mod 10356  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-dvds 11830

This theorem is referenced by:  bezoutlembi  12041