Theorem bitsp1o 12117

Description: The 𝑀 + 1-th bit of 2𝑁 + 1 is the 𝑀-th bit of 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsp1o	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘((2 · 𝑁) + 1)) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)))

Proof of Theorem bitsp1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 9354	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
2	1	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
3		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	zmulcld 9454	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
5	4	peano2zd 9451	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
6		bitsp1 12115	. . 3 ⊢ ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘((2 · 𝑁) + 1)) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘(((2 · 𝑁) + 1) / 2)))))
7	5, 6	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘((2 · 𝑁) + 1)) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘(((2 · 𝑁) + 1) / 2)))))
8		2re 9060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
9	8	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
10		zre 9330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
11	9, 10	remulcld 8057	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
12	11	recnd 8055	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
13		1cnd 8042	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
14		2cnd 9063	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
15		2ap0 9083	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 # 0
16	15	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 # 0)
17	12, 13, 14, 16	divdirapd 8856	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)))
18		zcn 9331	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
19	18, 14, 16	divcanap3d 8822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
20	19	oveq1d 5937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)) = (𝑁 + (1 / 2)))
21	17, 20	eqtrd 2229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (𝑁 + (1 / 2)))
22	21	fveq2d 5562	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(((2 · 𝑁) + 1) / 2)) = (⌊‘(𝑁 + (1 / 2))))
23		halfge0 9207	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
24		halflt1 9208	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) < 1
25	23, 24	pm3.2i 272	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)
26		1z 9352	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
27		2nn 9152	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
28		znq 9698	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (1 / 2) ∈ ℚ)
29	26, 27, 28	mp2an 426	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℚ
30		flqbi2 10381	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 / 2) ∈ ℚ) → ((⌊‘(𝑁 + (1 / 2))) = 𝑁 ↔ (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
31	29, 30	mpan2 425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((⌊‘(𝑁 + (1 / 2))) = 𝑁 ↔ (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
32	25, 31	mpbiri 168	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 + (1 / 2))) = 𝑁)
33	22, 32	eqtrd 2229	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(((2 · 𝑁) + 1) / 2)) = 𝑁)
34	33	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (⌊‘(((2 · 𝑁) + 1) / 2)) = 𝑁)
35	34	fveq2d 5562	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (bits‘(⌊‘(((2 · 𝑁) + 1) / 2))) = (bits‘𝑁))
36	35	eleq2d 2266	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘(((2 · 𝑁) + 1) / 2))) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)))
37	7, 36	bitrd 188	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘((2 · 𝑁) + 1)) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  ℝcr 7878  0cc0 7879  1c1 7880   + caddc 7882   · cmul 7884   < clt 8061   ≤ cle 8062   # cap 8608   / cdiv 8699  ℕcn 8990  2c2 9041  ℕ₀cn0 9249  ℤcz 9326  ℚcq 9693  ⌊cfl 10358  bitscbits 12105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fl 10360  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-bits 12106

This theorem is referenced by: (None)