Theorem bitsp1o 12746

Description: The 𝑀 + 1-th bit of 2𝑁 + 1 is the 𝑀-th bit of 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsp1o	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘((2 · 𝑁) + 1)) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)))

Proof of Theorem bitsp1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 9684	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
2	1	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
3		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	zmulcld 9786	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
5	4	peano2zd 9783	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
6		bitsp1 12744	. . 3 ⊢ ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘((2 · 𝑁) + 1)) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘(((2 · 𝑁) + 1) / 2)))))
7	5, 6	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘((2 · 𝑁) + 1)) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘(((2 · 𝑁) + 1) / 2)))))
8		2re 9384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
9	8	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
10		zre 9660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
11	9, 10	remulcld 8363	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
12	11	recnd 8361	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
13		1cnd 8349	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
14		2cnd 9387	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
15		2ap0 9407	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 # 0
16	15	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 # 0)
17	12, 13, 14, 16	divdirapd 9168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)))
18		zcn 9661	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
19	18, 14, 16	divcanap3d 9134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
20	19	oveq1d 6103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)) = (𝑁 + (1 / 2)))
21	17, 20	eqtrd 2271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (𝑁 + (1 / 2)))
22	21	fveq2d 5702	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(((2 · 𝑁) + 1) / 2)) = (⌊‘(𝑁 + (1 / 2))))
23		halfge0 9533	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
24		halflt1 9534	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) < 1
25	23, 24	pm3.2i 272	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)
26		1z 9682	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
27		2nn 9478	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
28		znq 10041	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (1 / 2) ∈ ℚ)
29	26, 27, 28	mp2an 430	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℚ
30		flqbi2 10748	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 / 2) ∈ ℚ) → ((⌊‘(𝑁 + (1 / 2))) = 𝑁 ↔ (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
31	29, 30	mpan2 429	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((⌊‘(𝑁 + (1 / 2))) = 𝑁 ↔ (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
32	25, 31	mpbiri 168	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 + (1 / 2))) = 𝑁)
33	22, 32	eqtrd 2271	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(((2 · 𝑁) + 1) / 2)) = 𝑁)
34	33	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (⌊‘(((2 · 𝑁) + 1) / 2)) = 𝑁)
35	34	fveq2d 5702	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (bits‘(⌊‘(((2 · 𝑁) + 1) / 2))) = (bits‘𝑁))
36	35	eleq2d 2308	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘(((2 · 𝑁) + 1) / 2))) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)))
37	7, 36	bitrd 188	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘((2 · 𝑁) + 1)) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℝcr 8185  0cc0 8186  1c1 8187   + caddc 8189   · cmul 8191   < clt 8367   ≤ cle 8368   # cap 8918   / cdiv 9011  ℕcn 9314  2c2 9365  ℕ₀cn0 9575  ℤcz 9656  ℚcq 10036  ⌊cfl 10721  bitscbits 12733

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-fl 10723  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-bits 12734

This theorem is used by: (None)