Theorem bitsp1o 12507

Description: The 𝑀 + 1-th bit of 2𝑁 + 1 is the 𝑀-th bit of 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsp1o	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘((2 · 𝑁) + 1)) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)))

Proof of Theorem bitsp1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 9500	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
2	1	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
3		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	zmulcld 9601	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
5	4	peano2zd 9598	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
6		bitsp1 12505	. . 3 ⊢ ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘((2 · 𝑁) + 1)) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘(((2 · 𝑁) + 1) / 2)))))
7	5, 6	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘((2 · 𝑁) + 1)) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘(((2 · 𝑁) + 1) / 2)))))
8		2re 9206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
9	8	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
10		zre 9476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
11	9, 10	remulcld 8203	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
12	11	recnd 8201	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
13		1cnd 8188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
14		2cnd 9209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
15		2ap0 9229	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 # 0
16	15	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 # 0)
17	12, 13, 14, 16	divdirapd 9002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)))
18		zcn 9477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
19	18, 14, 16	divcanap3d 8968	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
20	19	oveq1d 6028	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)) = (𝑁 + (1 / 2)))
21	17, 20	eqtrd 2262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (𝑁 + (1 / 2)))
22	21	fveq2d 5639	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(((2 · 𝑁) + 1) / 2)) = (⌊‘(𝑁 + (1 / 2))))
23		halfge0 9353	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
24		halflt1 9354	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) < 1
25	23, 24	pm3.2i 272	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)
26		1z 9498	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
27		2nn 9298	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
28		znq 9851	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (1 / 2) ∈ ℚ)
29	26, 27, 28	mp2an 426	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℚ
30		flqbi2 10544	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 / 2) ∈ ℚ) → ((⌊‘(𝑁 + (1 / 2))) = 𝑁 ↔ (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
31	29, 30	mpan2 425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((⌊‘(𝑁 + (1 / 2))) = 𝑁 ↔ (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
32	25, 31	mpbiri 168	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 + (1 / 2))) = 𝑁)
33	22, 32	eqtrd 2262	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(((2 · 𝑁) + 1) / 2)) = 𝑁)
34	33	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (⌊‘(((2 · 𝑁) + 1) / 2)) = 𝑁)
35	34	fveq2d 5639	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (bits‘(⌊‘(((2 · 𝑁) + 1) / 2))) = (bits‘𝑁))
36	35	eleq2d 2299	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘(((2 · 𝑁) + 1) / 2))) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)))
37	7, 36	bitrd 188	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘((2 · 𝑁) + 1)) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℝcr 8024  0cc0 8025  1c1 8026   + caddc 8028   · cmul 8030   < clt 8207   ≤ cle 8208   # cap 8754   / cdiv 8845  ℕcn 9136  2c2 9187  ℕ₀cn0 9395  ℤcz 9472  ℚcq 9846  ⌊cfl 10521  bitscbits 12494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-q 9847  df-rp 9882  df-fl 10523  df-seqfrec 10703  df-exp 10794  df-bits 12495

This theorem is referenced by: (None)