Theorem ccatcl 11157

Description: The concatenation of two words is a word. (Contributed by FL, 2-Feb-2014.) (Proof shortened by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ccatcl	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)

Proof of Theorem ccatcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfin 11119	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → 𝑆 ∈ Fin)
2		wrdfin 11119	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → 𝑇 ∈ Fin)
3		ccatfvalfi 11156	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
5		wrdf 11106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → 𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐵)
6	5	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐵)
7	6	ffvelcdmda 5776	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆‘𝑥) ∈ 𝐵)
8		wrdf 11106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → 𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶𝐵)
9	8	ad3antlr 493	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶𝐵)
10		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
11	10	anim1i 340	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
12		lencl 11104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
13	12	nn0zd 9588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
14		lencl 11104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
15	14	nn0zd 9588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℤ)
16	13, 15	anim12i 338	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℤ))
17	16	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((♯‘𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℤ))
18		fzocatel 10432	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) ∧ ((♯‘𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℤ)) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇)))
19	11, 17, 18	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇)))
20	9, 19	ffvelcdmd 5777	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) ∈ 𝐵)
21		elfzoelz 10370	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → 𝑥 ∈ ℤ)
22	21	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
23		0zd 9479	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 0 ∈ ℤ)
24	13	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
25		fzodcel 10376	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ) → DECID 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
26	22, 23, 24, 25	syl3anc 1271	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → DECID 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
27	7, 20, 26	ifcldadc 3633	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))) ∈ 𝐵)
28	27	fmpttd 5796	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))):(0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))⟶𝐵)
29	12	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
30	14	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
31	29, 30	nn0addcld 9447	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℕ0)
32		iswrdinn0 11105	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))):(0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))⟶𝐵 ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))) ∈ Word 𝐵)
33	28, 31, 32	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))) ∈ Word 𝐵)
34	4, 33	eqeltrd 2306	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ifcif 3603   ↦ cmpt 4146  ⟶wf 5318  ‘cfv 5322  (class class class)co 6011  Fincfn 6902  0cc0 8020   + caddc 8023   − cmin 8338  ℕ₀cn0 9390  ℤcz 9467  ..^cfzo 10365  ♯chash 11025  Word cword 11100   ++ cconcat 11154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4200  ax-sep 4203  ax-nul 4211  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-iinf 4682  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-1re 8114  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-addcom 8120  ax-addass 8122  ax-distr 8124  ax-i2m1 8125  ax-0lt1 8126  ax-0id 8128  ax-rnegex 8129  ax-cnre 8131  ax-pre-ltirr 8132  ax-pre-ltwlin 8133  ax-pre-lttrn 8134  ax-pre-apti 8135  ax-pre-ltadd 8136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-iun 3968  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-tr 4184  df-id 4386  df-iord 4459  df-on 4461  df-ilim 4462  df-suc 4464  df-iom 4685  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-ima 4734  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-f 5326  df-f1 5327  df-fo 5328  df-f1o 5329  df-fv 5330  df-riota 5964  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-1st 6296  df-2nd 6297  df-recs 6464  df-frec 6550  df-1o 6575  df-er 6695  df-en 6903  df-dom 6904  df-fin 6905  df-pnf 8204  df-mnf 8205  df-xr 8206  df-ltxr 8207  df-le 8208  df-sub 8340  df-neg 8341  df-inn 9132  df-n0 9391  df-z 9468  df-uz 9744  df-fz 10232  df-fzo 10366  df-ihash 11026  df-word 11101  df-concat 11155

This theorem is referenced by:  ccatclab  11158  ccatsymb  11166  ccatass  11172  lswccatn0lsw  11175  ccatalpha  11177  ccatws1cl  11196  ccatswrd  11238  swrdccat2  11239  ccatpfx  11269  pfxccat1  11270  swrdccatfn  11292  swrdccatin1  11293  swrdccatin2  11297  pfxccatin12lem2c  11298  pfxccatpfx1  11304  pfxccatpfx2  11305  cats1cld  11331  cats2catd  11337  clwwlkccat  16186