Theorem cnlimc 15898

Description: 𝐹 is a continuous function iff the limit of the function at each point equals the value of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cnlimc	⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Proof of Theorem cnlimc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3268	. . . 4 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
3		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴)
4	2	cntoptopon 15758	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ)
5	4	toponrestid 15247	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t ℂ)
6	2, 3, 5	cncfcncntop 15819	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→ℂ) = (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − ))))
7	1, 6	mpan2 429	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → (𝐴–cn→ℂ) = (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − ))))
8	7	eleq2d 2308	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) ↔ 𝐹 ∈ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − )))))
9		resttopon 15397	. . . 4 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
10	4, 9	mpan 428	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
11		cncnp 15456	. . 3 ⊢ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐹 ∈ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − ))) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥))))
12	10, 4, 11	sylancl 417	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → (𝐹 ∈ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − ))) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥))))
13	2, 3	cnplimccntop 15896	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥))))
14	13	baibd 935	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥)))
15	14	an32s 574	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥)))
16	15	ralbidva 2546	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥)))
17	16	pm5.32da 456	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥)) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥))))
18	8, 12, 17	3bitrd 214	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ⊆ wss 3220   ∘ ccom 4780  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℂcc 8183   − cmin 8504  abscabs 11785   ↾_t crest 13652  MetOpencmopn 14987  TopOnctopon 15236   Cn ccn 15411   CnP ccnp 15412  –cn→ccncf 15796   lim_ℂ climc 15880

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-map 6928  df-pm 6929  df-sup 7330  df-inf 7331  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-xneg 10191  df-xadd 10192  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-rest 13654  df-topgen 13673  df-psmet 14989  df-xmet 14990  df-met 14991  df-bl 14992  df-mopn 14993  df-top 15224  df-topon 15237  df-bases 15269  df-cn 15414  df-cnp 15415  df-cncf 15797  df-limced 15882

This theorem is used by: (None)