Theorem sinval 11932

Description: Value of the sine function. (Contributed by NM, 14-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sinval	|- ( A e. CC -> ( sin ` A ) = ( ( ( exp ` ( _i x. A ) ) - ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) )

Proof of Theorem sinval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 8002	. . . . . . 7 |- _i e. CC
2	1	a1i 9	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> _i e. CC )
3		id 19	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> A e. CC )
4	2, 3	mulcld 8075	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. A ) e. CC )
5		efcl 11894	. . . . 5 |- ( ( _i x. A ) e. CC -> ( exp ` ( _i x. A ) ) e. CC )
6	4, 5	syl 14	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. A ) ) e. CC )
7		negicn 8255	. . . . . . 7 |- -u _i e. CC
8	7	a1i 9	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> -u _i e. CC )
9	8, 3	mulcld 8075	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( -u _i x. A ) e. CC )
10		efcl 11894	. . . . 5 |- ( ( -u _i x. A ) e. CC -> ( exp ` ( -u _i x. A ) ) e. CC )
11	9, 10	syl 14	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( -u _i x. A ) ) e. CC )
12	6, 11	subcld 8365	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) - ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) e. CC )
13		2mulicn 9241	. . . 4 |- ( 2 x. _i ) e. CC
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( A e. CC -> ( 2 x. _i ) e. CC )
15		2muliap0 9243	. . . 4 |- ( 2 x. _i ) # 0
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( A e. CC -> ( 2 x. _i ) # 0 )
17	12, 14, 16	divclapd 8845	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( ( exp ` ( _i x. A ) ) - ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) e. CC )
18		oveq2 5942	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( _i x. x ) = ( _i x. A ) )
19	18	fveq2d 5574	. . . . 5 |- ( x = A -> ( exp ` ( _i x. x ) ) = ( exp ` ( _i x. A ) ) )
20		oveq2 5942	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( -u _i x. x ) = ( -u _i x. A ) )
21	20	fveq2d 5574	. . . . 5 |- ( x = A -> ( exp ` ( -u _i x. x ) ) = ( exp ` ( -u _i x. A ) ) )
22	19, 21	oveq12d 5952	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. A ) ) - ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) )
23	22	oveq1d 5949	. . 3 |- ( x = A -> ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( ( ( exp ` ( _i x. A ) ) - ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
24		df-sin 11880	. . 3 |- sin = ( x e. CC |-> ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
25	23, 24	fvmptg 5649	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( ( ( exp ` ( _i x. A ) ) - ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) e. CC ) -> ( sin ` A ) = ( ( ( exp ` ( _i x. A ) ) - ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
26	17, 25	mpdan 421	1 |- ( A e. CC -> ( sin ` A ) = ( ( ( exp ` ( _i x. A ) ) - ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1372   e. wcel 2175   class class class wbr 4043   ` cfv 5268  (class class class)co 5934   CCcc 7905   0cc0 7907   _ici 7909   x. cmul 7912   - cmin 8225   -ucneg 8226   # cap 8636   / cdiv 8727   2c2 9069   expce 11872   sincsin 11874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulrcl 8006  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-precex 8017  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023  ax-pre-mulgt0 8024  ax-pre-mulext 8025  ax-arch 8026  ax-caucvg 8027

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4338  df-po 4341  df-iso 4342  df-iord 4411  df-on 4413  df-ilim 4414  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-isom 5277  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-recs 6381  df-irdg 6446  df-frec 6467  df-1o 6492  df-oadd 6496  df-er 6610  df-en 6818  df-dom 6819  df-fin 6820  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-reap 8630  df-ap 8637  df-div 8728  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-4 9079  df-n0 9278  df-z 9355  df-uz 9631  df-q 9723  df-rp 9758  df-ico 9998  df-fz 10113  df-fzo 10247  df-seqfrec 10574  df-exp 10665  df-fac 10852  df-ihash 10902  df-cj 11072  df-re 11073  df-im 11074  df-rsqrt 11228  df-abs 11229  df-clim 11509  df-sumdc 11584  df-ef 11878  df-sin 11880

This theorem is referenced by:  tanval2ap  11943  resinval  11945  sinneg  11956  efival  11962  sinadd  11966  sinper  15199