Theorem sinval 11643

Description: Value of the sine function. (Contributed by NM, 14-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sinval	|- ( A e. CC -> ( sin ` A ) = ( ( ( exp ` ( _i x. A ) ) - ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) )

Proof of Theorem sinval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 7848	. . . . . . 7 |- _i e. CC
2	1	a1i 9	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> _i e. CC )
3		id 19	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> A e. CC )
4	2, 3	mulcld 7919	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. A ) e. CC )
5		efcl 11605	. . . . 5 |- ( ( _i x. A ) e. CC -> ( exp ` ( _i x. A ) ) e. CC )
6	4, 5	syl 14	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. A ) ) e. CC )
7		negicn 8099	. . . . . . 7 |- -u _i e. CC
8	7	a1i 9	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> -u _i e. CC )
9	8, 3	mulcld 7919	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( -u _i x. A ) e. CC )
10		efcl 11605	. . . . 5 |- ( ( -u _i x. A ) e. CC -> ( exp ` ( -u _i x. A ) ) e. CC )
11	9, 10	syl 14	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( -u _i x. A ) ) e. CC )
12	6, 11	subcld 8209	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) - ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) e. CC )
13		2mulicn 9079	. . . 4 |- ( 2 x. _i ) e. CC
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( A e. CC -> ( 2 x. _i ) e. CC )
15		2muliap0 9081	. . . 4 |- ( 2 x. _i ) # 0
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( A e. CC -> ( 2 x. _i ) # 0 )
17	12, 14, 16	divclapd 8686	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( ( exp ` ( _i x. A ) ) - ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) e. CC )
18		oveq2 5850	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( _i x. x ) = ( _i x. A ) )
19	18	fveq2d 5490	. . . . 5 |- ( x = A -> ( exp ` ( _i x. x ) ) = ( exp ` ( _i x. A ) ) )
20		oveq2 5850	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( -u _i x. x ) = ( -u _i x. A ) )
21	20	fveq2d 5490	. . . . 5 |- ( x = A -> ( exp ` ( -u _i x. x ) ) = ( exp ` ( -u _i x. A ) ) )
22	19, 21	oveq12d 5860	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. A ) ) - ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) )
23	22	oveq1d 5857	. . 3 |- ( x = A -> ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( ( ( exp ` ( _i x. A ) ) - ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
24		df-sin 11591	. . 3 |- sin = ( x e. CC |-> ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) - ( exp ` ( -u _i x. x ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
25	23, 24	fvmptg 5562	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( ( ( exp ` ( _i x. A ) ) - ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) e. CC ) -> ( sin ` A ) = ( ( ( exp ` ( _i x. A ) ) - ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
26	17, 25	mpdan 418	1 |- ( A e. CC -> ( sin ` A ) = ( ( ( exp ` ( _i x. A ) ) - ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1343   e. wcel 2136   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   CCcc 7751   0cc0 7753   _ici 7755   x. cmul 7758   - cmin 8069   -ucneg 8070   # cap 8479   / cdiv 8568   2c2 8908   expce 11583   sincsin 11585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-ico 9830  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-fac 10639  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295  df-ef 11589  df-sin 11591

This theorem is referenced by:  tanval2ap  11654  resinval  11656  sinneg  11667  efival  11673  sinadd  11677  sinper  13370