Theorem dvdsfi 12417

Description: A natural number has finitely many divisors. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsfi	|- ( N e. NN -> { x e. NN | x || N } e. Fin )

Distinct variable group:   x, N

Proof of Theorem dvdsfi

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9355	. . 3 |- ( N e. NN -> 1 e. ZZ )
2		nnz 9347	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
3	1, 2	fzfigd 10525	. 2 |- ( N e. NN -> ( 1 ... N ) e. Fin )
4		dvdsssfz1 12019	. 2 |- ( N e. NN -> { x e. NN | x || N } C_ ( 1 ... N ) )
5		elfznn 10131	. . . . 5 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> j e. NN )
6		dvdsdc 11965	. . . . 5 |- ( ( j e. NN /\ N e. ZZ ) -> DECID j || N )
7	5, 2, 6	syl2anr 290	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> DECID j || N )
8	5	biantrurd 305	. . . . . . 7 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> ( j || N <-> ( j e. NN /\ j || N ) ) )
9		breq1 4037	. . . . . . . 8 |- ( x = j -> ( x || N <-> j || N ) )
10	9	elrab 2920	. . . . . . 7 |- ( j e. { x e. NN | x || N } <-> ( j e. NN /\ j || N ) )
11	8, 10	bitr4di 198	. . . . . 6 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> ( j || N <-> j e. { x e. NN | x || N } ) )
12	11	dcbid 839	. . . . 5 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> (DECID j || N <-> DECID j e. { x e. NN | x || N } ) )
13	12	adantl 277	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> (DECID j || N <-> DECID j e. { x e. NN | x || N } ) )
14	7, 13	mpbid 147	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> DECID j e. { x e. NN | x || N } )
15	14	ralrimiva 2570	. 2 |- ( N e. NN -> A. j e. ( 1 ... N )DECID j e. { x e. NN | x || N } )
16		ssfidc 6999	. 2 |- ( ( ( 1 ... N ) e. Fin /\ { x e. NN | x || N } C_ ( 1 ... N ) /\ A. j e. ( 1 ... N )DECID j e. { x e. NN | x || N } ) -> { x e. NN | x || N } e. Fin )
17	3, 4, 15, 16	syl3anc 1249	1 |- ( N e. NN -> { x e. NN | x || N } e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 835   e. wcel 2167   A.wral 2475   {crab 2479   C_ wss 3157   class class class wbr 4034  (class class class)co 5923   Fincfn 6800   1c1 7882   NNcn 8992   ZZcz 9328   ...cfz 10085   || cdvds 11954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999  ax-arch 8000

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-frec 6450  df-1o 6475  df-er 6593  df-en 6801  df-fin 6803  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702  df-inn 8993  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-q 9696  df-rp 9731  df-fz 10086  df-fl 10362  df-mod 10417  df-dvds 11955

This theorem is referenced by:  phisum  12419  sgmval  15229  0sgm  15231  sgmf  15232  sgmnncl  15234  fsumdvdsmul  15237  perfectlem2  15246