Theorem dvdsfi 12804

Description: A natural number has finitely many divisors. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsfi	|- ( N e. NN -> { x e. NN | x || N } e. Fin )

Distinct variable group:   x, N

Proof of Theorem dvdsfi

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9499	. . 3 |- ( N e. NN -> 1 e. ZZ )
2		nnz 9491	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
3	1, 2	fzfigd 10686	. 2 |- ( N e. NN -> ( 1 ... N ) e. Fin )
4		dvdsssfz1 12406	. 2 |- ( N e. NN -> { x e. NN | x || N } C_ ( 1 ... N ) )
5		elfznn 10282	. . . . 5 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> j e. NN )
6		dvdsdc 12352	. . . . 5 |- ( ( j e. NN /\ N e. ZZ ) -> DECID j || N )
7	5, 2, 6	syl2anr 290	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> DECID j || N )
8	5	biantrurd 305	. . . . . . 7 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> ( j || N <-> ( j e. NN /\ j || N ) ) )
9		breq1 4089	. . . . . . . 8 |- ( x = j -> ( x || N <-> j || N ) )
10	9	elrab 2960	. . . . . . 7 |- ( j e. { x e. NN | x || N } <-> ( j e. NN /\ j || N ) )
11	8, 10	bitr4di 198	. . . . . 6 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> ( j || N <-> j e. { x e. NN | x || N } ) )
12	11	dcbid 843	. . . . 5 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> (DECID j || N <-> DECID j e. { x e. NN | x || N } ) )
13	12	adantl 277	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> (DECID j || N <-> DECID j e. { x e. NN | x || N } ) )
14	7, 13	mpbid 147	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> DECID j e. { x e. NN | x || N } )
15	14	ralrimiva 2603	. 2 |- ( N e. NN -> A. j e. ( 1 ... N )DECID j e. { x e. NN | x || N } )
16		ssfidc 7124	. 2 |- ( ( ( 1 ... N ) e. Fin /\ { x e. NN | x || N } C_ ( 1 ... N ) /\ A. j e. ( 1 ... N )DECID j e. { x e. NN | x || N } ) -> { x e. NN | x || N } e. Fin )
17	3, 4, 15, 16	syl3anc 1271	1 |- ( N e. NN -> { x e. NN | x || N } e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 839   e. wcel 2200   A.wral 2508   {crab 2512   C_ wss 3198   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013   Fincfn 6904   1c1 8026   NNcn 9136   ZZcz 9472   ...cfz 10236   || cdvds 12341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-er 6697  df-en 6905  df-fin 6907  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-q 9847  df-rp 9882  df-fz 10237  df-fl 10523  df-mod 10578  df-dvds 12342

This theorem is referenced by:  phisum  12806  sgmval  15700  0sgm  15702  sgmf  15703  sgmnncl  15705  fsumdvdsmul  15708  perfectlem2  15717