Theorem dvdsfi 13047

Description: A natural number has finitely many divisors. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsfi	|- ( N e. NN -> { x e. NN | x || N } e. Fin )

Distinct variable group:   x, N

Proof of Theorem dvdsfi

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9683	. . 3 |- ( N e. NN -> 1 e. ZZ )
2		nnz 9675	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
3	1, 2	fzfigd 10890	. 2 |- ( N e. NN -> ( 1 ... N ) e. Fin )
4		dvdsssfz1 12645	. 2 |- ( N e. NN -> { x e. NN | x || N } C_ ( 1 ... N ) )
5		elfznn 10478	. . . . 5 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> j e. NN )
6		dvdsdc 12591	. . . . 5 |- ( ( j e. NN /\ N e. ZZ ) -> DECID j || N )
7	5, 2, 6	syl2anr 290	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> DECID j || N )
8	5	biantrurd 305	. . . . . . 7 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> ( j || N <-> ( j e. NN /\ j || N ) ) )
9		breq1 4134	. . . . . . . 8 |- ( x = j -> ( x || N <-> j || N ) )
10	9	elrab 2982	. . . . . . 7 |- ( j e. { x e. NN | x || N } <-> ( j e. NN /\ j || N ) )
11	8, 10	bitr4di 198	. . . . . 6 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> ( j || N <-> j e. { x e. NN | x || N } ) )
12	11	dcbid 850	. . . . 5 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> (DECID j || N <-> DECID j e. { x e. NN | x || N } ) )
13	12	adantl 277	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> (DECID j || N <-> DECID j e. { x e. NN | x || N } ) )
14	7, 13	mpbid 147	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> DECID j e. { x e. NN | x || N } )
15	14	ralrimiva 2623	. 2 |- ( N e. NN -> A. j e. ( 1 ... N )DECID j e. { x e. NN | x || N } )
16		ssfidc 7250	. 2 |- ( ( ( 1 ... N ) e. Fin /\ { x e. NN | x || N } C_ ( 1 ... N ) /\ A. j e. ( 1 ... N )DECID j e. { x e. NN | x || N } ) -> { x e. NN | x || N } e. Fin )
17	3, 4, 15, 16	syl3anc 1278	1 |- ( N e. NN -> { x e. NN | x || N } e. Fin )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 846   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   C_ wss 3220   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   Fincfn 7027   1c1 8187   NNcn 9314   ZZcz 9656   ...cfz 10429   || cdvds 12580

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7028  df-fin 7030  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-fz 10430  df-fl 10723  df-mod 10782  df-dvds 12581

This theorem is used by:  phisum  13049  sgmval  16264  0sgm  16266  sgmf  16267  sgmnncl  16269  fsumdvdsmul  16297  perfectlem2  16312