Theorem dvdsfi 13000

Description: A natural number has finitely many divisors. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsfi	|- ( N e. NN -> { x e. NN | x || N } e. Fin )

Distinct variable group:   x, N

Proof of Theorem dvdsfi

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9654	. . 3 |- ( N e. NN -> 1 e. ZZ )
2		nnz 9646	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
3	1, 2	fzfigd 10851	. 2 |- ( N e. NN -> ( 1 ... N ) e. Fin )
4		dvdsssfz1 12602	. 2 |- ( N e. NN -> { x e. NN | x || N } C_ ( 1 ... N ) )
5		elfznn 10443	. . . . 5 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> j e. NN )
6		dvdsdc 12548	. . . . 5 |- ( ( j e. NN /\ N e. ZZ ) -> DECID j || N )
7	5, 2, 6	syl2anr 290	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> DECID j || N )
8	5	biantrurd 305	. . . . . . 7 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> ( j || N <-> ( j e. NN /\ j || N ) ) )
9		breq1 4131	. . . . . . . 8 |- ( x = j -> ( x || N <-> j || N ) )
10	9	elrab 2982	. . . . . . 7 |- ( j e. { x e. NN | x || N } <-> ( j e. NN /\ j || N ) )
11	8, 10	bitr4di 198	. . . . . 6 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> ( j || N <-> j e. { x e. NN | x || N } ) )
12	11	dcbid 850	. . . . 5 |- ( j e. ( 1 ... N ) -> (DECID j || N <-> DECID j e. { x e. NN | x || N } ) )
13	12	adantl 277	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> (DECID j || N <-> DECID j e. { x e. NN | x || N } ) )
14	7, 13	mpbid 147	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> DECID j e. { x e. NN | x || N } )
15	14	ralrimiva 2623	. 2 |- ( N e. NN -> A. j e. ( 1 ... N )DECID j e. { x e. NN | x || N } )
16		ssfidc 7239	. 2 |- ( ( ( 1 ... N ) e. Fin /\ { x e. NN | x || N } C_ ( 1 ... N ) /\ A. j e. ( 1 ... N )DECID j e. { x e. NN | x || N } ) -> { x e. NN | x || N } e. Fin )
17	3, 4, 15, 16	syl3anc 1278	1 |- ( N e. NN -> { x e. NN | x || N } e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 846   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   C_ wss 3220   class class class wbr 4128  (class class class)co 6079   Fincfn 7016   1c1 8174   NNcn 9287   ZZcz 9627   ...cfz 10394   || cdvds 12537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-1o 6681  df-er 6801  df-en 7017  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-fz 10395  df-fl 10688  df-mod 10743  df-dvds 12538

This theorem is referenced by:  phisum  13002  sgmval  16080  0sgm  16082  sgmf  16083  sgmnncl  16085  fsumdvdsmul  16088  perfectlem2  16097