Theorem dvdsfi 13019

Description: A natural number has finitely many divisors. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsfi	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∈ Fin)

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem dvdsfi

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9673	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
2		nnz 9665	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	fzfigd 10870	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ∈ Fin)
4		dvdsssfz1 12621	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ⊆ (1...𝑁))
5		elfznn 10462	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑁) → 𝑗 ∈ ℕ)
6		dvdsdc 12567	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑗 ∥ 𝑁)
7	5, 2, 6	syl2anr 290	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → DECID 𝑗 ∥ 𝑁)
8	5	biantrurd 305	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑁) → (𝑗 ∥ 𝑁 ↔ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∥ 𝑁)))
9		breq1 4133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝑗 ∥ 𝑁))
10	9	elrab 2982	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↔ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∥ 𝑁))
11	8, 10	bitr4di 198	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑁) → (𝑗 ∥ 𝑁 ↔ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}))
12	11	dcbid 850	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑁) → (DECID 𝑗 ∥ 𝑁 ↔ DECID 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}))
13	12	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (DECID 𝑗 ∥ 𝑁 ↔ DECID 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}))
14	7, 13	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → DECID 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
15	14	ralrimiva 2623	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)DECID 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
16		ssfidc 7245	. 2 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ⊆ (1...𝑁) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)DECID 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∈ Fin)
17	3, 4, 15, 16	syl3anc 1278	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 846   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {crab 2532   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  Fincfn 7022  1c1 8180  ℕcn 9305  ℤcz 9646  ...cfz 10413   ∥ cdvds 12556

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-q 10022  df-rp 10057  df-fz 10414  df-fl 10707  df-mod 10762  df-dvds 12557

This theorem is used by:  phisum  13021  sgmval  16103  0sgm  16105  sgmf  16106  sgmnncl  16108  fsumdvdsmul  16111  perfectlem2  16120