Theorem dvdsfi 12434

Description: A natural number has finitely many divisors. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsfi	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∈ Fin)

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem dvdsfi

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9372	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
2		nnz 9364	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	fzfigd 10542	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ∈ Fin)
4		dvdsssfz1 12036	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ⊆ (1...𝑁))
5		elfznn 10148	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑁) → 𝑗 ∈ ℕ)
6		dvdsdc 11982	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑗 ∥ 𝑁)
7	5, 2, 6	syl2anr 290	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → DECID 𝑗 ∥ 𝑁)
8	5	biantrurd 305	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑁) → (𝑗 ∥ 𝑁 ↔ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∥ 𝑁)))
9		breq1 4037	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝑗 ∥ 𝑁))
10	9	elrab 2920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↔ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∥ 𝑁))
11	8, 10	bitr4di 198	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑁) → (𝑗 ∥ 𝑁 ↔ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}))
12	11	dcbid 839	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑁) → (DECID 𝑗 ∥ 𝑁 ↔ DECID 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}))
13	12	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (DECID 𝑗 ∥ 𝑁 ↔ DECID 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}))
14	7, 13	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → DECID 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
15	14	ralrimiva 2570	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)DECID 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
16		ssfidc 7007	. 2 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ⊆ (1...𝑁) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)DECID 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∈ Fin)
17	3, 4, 15, 16	syl3anc 1249	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 835   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  {crab 2479   ⊆ wss 3157   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  Fincfn 6808  1c1 7899  ℕcn 9009  ℤcz 9345  ...cfz 10102   ∥ cdvds 11971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016  ax-arch 8017

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-1o 6483  df-er 6601  df-en 6809  df-fin 6811  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621  df-q 9713  df-rp 9748  df-fz 10103  df-fl 10379  df-mod 10434  df-dvds 11972

This theorem is referenced by:  phisum  12436  sgmval  15305  0sgm  15307  sgmf  15308  sgmnncl  15310  fsumdvdsmul  15313  perfectlem2  15322