Theorem 0sgm 15779

Description: The value of the sum-of-divisors function, usually denoted σ<SUB>0</SUB>(<i>n</i>). (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0sgm	|- ( A e. NN -> ( 0 sigma A ) = (♯ ` { p e. NN | p || A } ) )

Distinct variable group:   A, p

Proof of Theorem 0sgm

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9533	. . 3 |- 0 e. ZZ
2		sgmval2 15778	. . 3 |- ( ( 0 e. ZZ /\ A e. NN ) -> ( 0 sigma A ) = sum_ k e. { p e. NN | p || A } ( k ^ 0 ) )
3	1, 2	mpan 424	. 2 |- ( A e. NN -> ( 0 sigma A ) = sum_ k e. { p e. NN | p || A } ( k ^ 0 ) )
4		elrabi 2960	. . . . . 6 |- ( k e. { p e. NN | p || A } -> k e. NN )
5	4	nncnd 9200	. . . . 5 |- ( k e. { p e. NN | p || A } -> k e. CC )
6	5	exp0d 10973	. . . 4 |- ( k e. { p e. NN | p || A } -> ( k ^ 0 ) = 1 )
7	6	sumeq2i 11985	. . 3 |- sum_ k e. { p e. NN | p || A } ( k ^ 0 ) = sum_ k e. { p e. NN | p || A } 1
8		dvdsfi 12872	. . . 4 |- ( A e. NN -> { p e. NN | p || A } e. Fin )
9		ax-1cn 8168	. . . 4 |- 1 e. CC
10		fsumconst 12076	. . . 4 |- ( ( { p e. NN | p || A } e. Fin /\ 1 e. CC ) -> sum_ k e. { p e. NN | p || A } 1 = ( (♯ ` { p e. NN | p || A } ) x. 1 ) )
11	8, 9, 10	sylancl 413	. . 3 |- ( A e. NN -> sum_ k e. { p e. NN | p || A } 1 = ( (♯ ` { p e. NN | p || A } ) x. 1 ) )
12	7, 11	eqtrid 2276	. 2 |- ( A e. NN -> sum_ k e. { p e. NN | p || A } ( k ^ 0 ) = ( (♯ ` { p e. NN | p || A } ) x. 1 ) )
13		hashcl 11087	. . . . 5 |- ( { p e. NN | p || A } e. Fin -> (♯ ` { p e. NN | p || A } ) e. NN0 )
14	8, 13	syl 14	. . . 4 |- ( A e. NN -> (♯ ` { p e. NN | p || A } ) e. NN0 )
15	14	nn0cnd 9500	. . 3 |- ( A e. NN -> (♯ ` { p e. NN | p || A } ) e. CC )
16	15	mulridd 8239	. 2 |- ( A e. NN -> ( (♯ ` { p e. NN | p || A } ) x. 1 ) = (♯ ` { p e. NN | p || A } ) )
17	3, 12, 16	3eqtrd 2268	1 |- ( A e. NN -> ( 0 sigma A ) = (♯ ` { p e. NN | p || A } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   {crab 2515   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Fincfn 6952   CCcc 8073   0cc0 8075   1c1 8076   x. cmul 8080   NNcn 9186   NN0cn0 9445   ZZcz 9522   ^cexp 10844  ♯chash 11081   sum_csu 11974   || cdvds 12409   sigma csgm 15775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195  ax-pre-suploc 8196  ax-addf 8197  ax-mulf 8198

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-disj 4070  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-of 6244  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-map 6862  df-pm 6863  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-sup 7226  df-inf 7227  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-xneg 10050  df-xadd 10051  df-ioo 10170  df-ico 10172  df-icc 10173  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-fl 10574  df-mod 10629  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-fac 11032  df-bc 11054  df-ihash 11082  df-shft 11436  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-clim 11900  df-sumdc 11975  df-ef 12270  df-e 12271  df-dvds 12410  df-rest 13385  df-topgen 13404  df-psmet 14619  df-xmet 14620  df-met 14621  df-bl 14622  df-mopn 14623  df-top 14789  df-topon 14802  df-bases 14834  df-ntr 14887  df-cn 14979  df-cnp 14980  df-tx 15044  df-cncf 15362  df-limced 15447  df-dvap 15448  df-relog 15649  df-rpcxp 15650  df-sgm 15776

This theorem is referenced by:  0sgmppw  15787