Theorem sgmnncl 15234

Description: Closure of the divisor function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sgmnncl	|- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( A sigma B ) e. NN )

Proof of Theorem sgmnncl

Dummy variables k p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9348	. . 3 |- ( A e. NN0 -> A e. ZZ )
2		sgmval2 15230	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A sigma B ) = sum_ k e. { p e. NN | p || B } ( k ^ A ) )
3	1, 2	sylan 283	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( A sigma B ) = sum_ k e. { p e. NN | p || B } ( k ^ A ) )
4		dvdsfi 12417	. . . . 5 |- ( B e. NN -> { p e. NN | p || B } e. Fin )
5	4	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> { p e. NN | p || B } e. Fin )
6		elrabi 2917	. . . . . 6 |- ( k e. { p e. NN | p || B } -> k e. NN )
7		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> A e. NN0 )
8		nnexpcl 10646	. . . . . 6 |- ( ( k e. NN /\ A e. NN0 ) -> ( k ^ A ) e. NN )
9	6, 7, 8	syl2anr 290	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) /\ k e. { p e. NN | p || B } ) -> ( k ^ A ) e. NN )
10	9	nnzd 9449	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) /\ k e. { p e. NN | p || B } ) -> ( k ^ A ) e. ZZ )
11	5, 10	fsumzcl 11569	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> sum_ k e. { p e. NN | p || B } ( k ^ A ) e. ZZ )
12		nnz 9347	. . . . . . . . 9 |- ( B e. NN -> B e. ZZ )
13		iddvds 11971	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ZZ -> B || B )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( B e. NN -> B || B )
15		breq1 4037	. . . . . . . . 9 |- ( p = B -> ( p || B <-> B || B ) )
16	15	rspcev 2868	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. NN /\ B || B ) -> E. p e. NN p || B )
17	14, 16	mpdan 421	. . . . . . 7 |- ( B e. NN -> E. p e. NN p || B )
18		rabn0r 3478	. . . . . . 7 |- ( E. p e. NN p || B -> { p e. NN | p || B } =/= (/) )
19	17, 18	syl 14	. . . . . 6 |- ( B e. NN -> { p e. NN | p || B } =/= (/) )
20	19	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> { p e. NN | p || B } =/= (/) )
21	9	nnrpd 9771	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) /\ k e. { p e. NN | p || B } ) -> ( k ^ A ) e. RR+ )
22	5, 20, 21	fsumrpcl 11571	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> sum_ k e. { p e. NN | p || B } ( k ^ A ) e. RR+ )
23	22	rpgt0d 9776	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> 0 < sum_ k e. { p e. NN | p || B } ( k ^ A ) )
24		elnnz 9338	. . 3 |- ( sum_ k e. { p e. NN | p || B } ( k ^ A ) e. NN <-> ( sum_ k e. { p e. NN | p || B } ( k ^ A ) e. ZZ /\ 0 < sum_ k e. { p e. NN | p || B } ( k ^ A ) ) )
25	11, 23, 24	sylanbrc 417	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> sum_ k e. { p e. NN | p || B } ( k ^ A ) e. NN )
26	3, 25	eqeltrd 2273	1 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( A sigma B ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   E.wrex 2476   {crab 2479   (/)c0 3451   class class class wbr 4034  (class class class)co 5923   Fincfn 6800   0cc0 7881   < clt 8063   NNcn 8992   NN0cn0 9251   ZZcz 9328   ^cexp 10632   sum_csu 11520   || cdvds 11954   sigma csgm 15227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999  ax-arch 8000  ax-caucvg 8001  ax-pre-suploc 8002  ax-addf 8003  ax-mulf 8004

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-disj 4012  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-of 6136  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-irdg 6429  df-frec 6450  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-er 6593  df-map 6710  df-pm 6711  df-en 6801  df-dom 6802  df-fin 6803  df-sup 7051  df-inf 7052  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-4 9053  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-q 9696  df-rp 9731  df-xneg 9849  df-xadd 9850  df-ioo 9969  df-ico 9971  df-icc 9972  df-fz 10086  df-fzo 10220  df-fl 10362  df-mod 10417  df-seqfrec 10542  df-exp 10633  df-fac 10820  df-bc 10842  df-ihash 10870  df-shft 10982  df-cj 11009  df-re 11010  df-im 11011  df-rsqrt 11165  df-abs 11166  df-clim 11446  df-sumdc 11521  df-ef 11815  df-e 11816  df-dvds 11955  df-rest 12922  df-topgen 12941  df-psmet 14109  df-xmet 14110  df-met 14111  df-bl 14112  df-mopn 14113  df-top 14244  df-topon 14257  df-bases 14289  df-ntr 14342  df-cn 14434  df-cnp 14435  df-tx 14499  df-cncf 14817  df-limced 14902  df-dvap 14903  df-relog 15104  df-rpcxp 15105  df-sgm 15228

This theorem is referenced by:  perfectlem1  15245  perfectlem2  15246