Theorem sgmnncl 15647

Description: Closure of the divisor function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sgmnncl	|- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( A sigma B ) e. NN )

Proof of Theorem sgmnncl

Dummy variables k p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9454	. . 3 |- ( A e. NN0 -> A e. ZZ )
2		sgmval2 15643	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A sigma B ) = sum_ k e. { p e. NN | p || B } ( k ^ A ) )
3	1, 2	sylan 283	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( A sigma B ) = sum_ k e. { p e. NN | p || B } ( k ^ A ) )
4		dvdsfi 12747	. . . . 5 |- ( B e. NN -> { p e. NN | p || B } e. Fin )
5	4	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> { p e. NN | p || B } e. Fin )
6		elrabi 2956	. . . . . 6 |- ( k e. { p e. NN | p || B } -> k e. NN )
7		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> A e. NN0 )
8		nnexpcl 10761	. . . . . 6 |- ( ( k e. NN /\ A e. NN0 ) -> ( k ^ A ) e. NN )
9	6, 7, 8	syl2anr 290	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) /\ k e. { p e. NN | p || B } ) -> ( k ^ A ) e. NN )
10	9	nnzd 9556	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) /\ k e. { p e. NN | p || B } ) -> ( k ^ A ) e. ZZ )
11	5, 10	fsumzcl 11899	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> sum_ k e. { p e. NN | p || B } ( k ^ A ) e. ZZ )
12		nnz 9453	. . . . . . . . 9 |- ( B e. NN -> B e. ZZ )
13		iddvds 12301	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ZZ -> B || B )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( B e. NN -> B || B )
15		breq1 4085	. . . . . . . . 9 |- ( p = B -> ( p || B <-> B || B ) )
16	15	rspcev 2907	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. NN /\ B || B ) -> E. p e. NN p || B )
17	14, 16	mpdan 421	. . . . . . 7 |- ( B e. NN -> E. p e. NN p || B )
18		rabn0r 3518	. . . . . . 7 |- ( E. p e. NN p || B -> { p e. NN | p || B } =/= (/) )
19	17, 18	syl 14	. . . . . 6 |- ( B e. NN -> { p e. NN | p || B } =/= (/) )
20	19	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> { p e. NN | p || B } =/= (/) )
21	9	nnrpd 9878	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) /\ k e. { p e. NN | p || B } ) -> ( k ^ A ) e. RR+ )
22	5, 20, 21	fsumrpcl 11901	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> sum_ k e. { p e. NN | p || B } ( k ^ A ) e. RR+ )
23	22	rpgt0d 9883	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> 0 < sum_ k e. { p e. NN | p || B } ( k ^ A ) )
24		elnnz 9444	. . 3 |- ( sum_ k e. { p e. NN | p || B } ( k ^ A ) e. NN <-> ( sum_ k e. { p e. NN | p || B } ( k ^ A ) e. ZZ /\ 0 < sum_ k e. { p e. NN | p || B } ( k ^ A ) ) )
25	11, 23, 24	sylanbrc 417	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> sum_ k e. { p e. NN | p || B } ( k ^ A ) e. NN )
26	3, 25	eqeltrd 2306	1 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( A sigma B ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   E.wrex 2509   {crab 2512   (/)c0 3491   class class class wbr 4082  (class class class)co 5994   Fincfn 6877   0cc0 7987   < clt 8169   NNcn 9098   NN0cn0 9357   ZZcz 9434   ^cexp 10747   sum_csu 11850   || cdvds 12284   sigma csgm 15640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106  ax-caucvg 8107  ax-pre-suploc 8108  ax-addf 8109  ax-mulf 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-disj 4059  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-isom 5323  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-of 6208  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-irdg 6506  df-frec 6527  df-1o 6552  df-oadd 6556  df-er 6670  df-map 6787  df-pm 6788  df-en 6878  df-dom 6879  df-fin 6880  df-sup 7139  df-inf 7140  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-q 9803  df-rp 9838  df-xneg 9956  df-xadd 9957  df-ioo 10076  df-ico 10078  df-icc 10079  df-fz 10193  df-fzo 10327  df-fl 10477  df-mod 10532  df-seqfrec 10657  df-exp 10748  df-fac 10935  df-bc 10957  df-ihash 10985  df-shft 11312  df-cj 11339  df-re 11340  df-im 11341  df-rsqrt 11495  df-abs 11496  df-clim 11776  df-sumdc 11851  df-ef 12145  df-e 12146  df-dvds 12285  df-rest 13260  df-topgen 13279  df-psmet 14492  df-xmet 14493  df-met 14494  df-bl 14495  df-mopn 14496  df-top 14657  df-topon 14670  df-bases 14702  df-ntr 14755  df-cn 14847  df-cnp 14848  df-tx 14912  df-cncf 15230  df-limced 15315  df-dvap 15316  df-relog 15517  df-rpcxp 15518  df-sgm 15641

This theorem is referenced by:  perfectlem1  15658  perfectlem2  15659