Theorem fsumdvdsmul 15785

Description: Product of two divisor sums. (This is also the main part of the proof that " sum_ k || N F ( k ) is a multiplicative function if F is".) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) Avoid ax-mulf 8198. (Revised by GG, 18-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpodvdsmulf1o.1	|- ( ph -> M e. NN )
mpodvdsmulf1o.2	|- ( ph -> N e. NN )
mpodvdsmulf1o.3	|- ( ph -> ( M gcd N ) = 1 )
mpodvdsmulf1o.x	|- X = { x e. NN | x || M }
mpodvdsmulf1o.y	|- Y = { x e. NN | x || N }
mpodvdsmulf1o.z	|- Z = { x e. NN | x || ( M x. N ) }
fsumdvdsmul.4	|- ( ( ph /\ j e. X ) -> A e. CC )
fsumdvdsmul.5	|- ( ( ph /\ k e. Y ) -> B e. CC )
fsumdvdsmul.6	|- ( ( ph /\ ( j e. X /\ k e. Y ) ) -> ( A x. B ) = D )
fsumdvdsmul.7	|- ( i = ( j x. k ) -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
fsumdvdsmul	|- ( ph -> ( sum_ j e. X A x. sum_ k e. Y B ) = sum_ i e. Z C )

Distinct variable groups:   x, i, j, k   x, M   x, N   i, X, j   i, Y, j   i, Z, j   ph, i, j   k, X   k, Y   A, k   B, j   C, j, k   D, i   ph, k

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x, i, j)   B( x, i, k)   C( x, i)   D( x, j, k)   M( i, j, k)   N( i, j, k)   X( x)   Y( x)   Z( x, k)

Proof of Theorem fsumdvdsmul

Dummy variables y z w u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpodvdsmulf1o.x	. . . 4 |- X = { x e. NN | x || M }
2		mpodvdsmulf1o.1	. . . . 5 |- ( ph -> M e. NN )
3		dvdsfi 12872	. . . . 5 |- ( M e. NN -> { x e. NN | x || M } e. Fin )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { x e. NN | x || M } e. Fin )
5	1, 4	eqeltrid 2318	. . 3 |- ( ph -> X e. Fin )
6		mpodvdsmulf1o.y	. . . . 5 |- Y = { x e. NN | x || N }
7		mpodvdsmulf1o.2	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
8		dvdsfi 12872	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> { x e. NN | x || N } e. Fin )
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. NN | x || N } e. Fin )
10	6, 9	eqeltrid 2318	. . . 4 |- ( ph -> Y e. Fin )
11		fsumdvdsmul.5	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Y ) -> B e. CC )
12	10, 11	fsumcl 12022	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. Y B e. CC )
13		fsumdvdsmul.4	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. X ) -> A e. CC )
14	5, 12, 13	fsummulc1 12071	. 2 |- ( ph -> ( sum_ j e. X A x. sum_ k e. Y B ) = sum_ j e. X ( A x. sum_ k e. Y B ) )
15	10	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. X ) -> Y e. Fin )
16	11	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. X ) /\ k e. Y ) -> B e. CC )
17	15, 13, 16	fsummulc2 12070	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. X ) -> ( A x. sum_ k e. Y B ) = sum_ k e. Y ( A x. B ) )
18		fsumdvdsmul.6	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. X /\ k e. Y ) ) -> ( A x. B ) = D )
19	18	anassrs 400	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. X ) /\ k e. Y ) -> ( A x. B ) = D )
20	19	sumeq2dv 11989	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. X ) -> sum_ k e. Y ( A x. B ) = sum_ k e. Y D )
21	17, 20	eqtrd 2264	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. X ) -> ( A x. sum_ k e. Y B ) = sum_ k e. Y D )
22	21	sumeq2dv 11989	. 2 |- ( ph -> sum_ j e. X ( A x. sum_ k e. Y B ) = sum_ j e. X sum_ k e. Y D )
23		elxpi 4747	. . . . . . 7 |- ( z e. ( X X. Y ) -> E. u E. v ( z = <. u , v >. /\ ( u e. X /\ v e. Y ) ) )
24		fveq2 5648	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. u , v >. = z -> ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. u , v >. ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` z ) )
25	24	eqcoms 2234	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = <. u , v >. -> ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. u , v >. ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` z ) )
26		fveq2 5648	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. u , v >. = z -> ( x. ` <. u , v >. ) = ( x. ` z ) )
27	26	eqcoms 2234	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = <. u , v >. -> ( x. ` <. u , v >. ) = ( x. ` z ) )
28	25, 27	eqeq12d 2246	. . . . . . . . . 10 |- ( z = <. u , v >. -> ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. u , v >. ) = ( x. ` <. u , v >. ) <-> ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` z ) = ( x. ` z ) ) )
29	28	biimpd 144	. . . . . . . . 9 |- ( z = <. u , v >. -> ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. u , v >. ) = ( x. ` <. u , v >. ) -> ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` z ) = ( x. ` z ) ) )
30	1	ssrab3 3314	. . . . . . . . . . . 12 |- X C_ NN
31		nnsscn 9191	. . . . . . . . . . . 12 |- NN C_ CC
32	30, 31	sstri 3237	. . . . . . . . . . 11 |- X C_ CC
33	32	sseli 3224	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. X -> u e. CC )
34	6	ssrab3 3314	. . . . . . . . . . . 12 |- Y C_ NN
35	34, 31	sstri 3237	. . . . . . . . . . 11 |- Y C_ CC
36	35	sseli 3224	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. Y -> v e. CC )
37		mulcl 8202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u x. v ) e. CC )
38		oveq1 6035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = u -> ( x x. y ) = ( u x. y ) )
39		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = v -> ( u x. y ) = ( u x. v ) )
40		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) = ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) )
41	38, 39, 40	ovmpog 6166	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC /\ ( u x. v ) e. CC ) -> ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) = ( u x. v ) )
42	37, 41	mpd3an3 1375	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) = ( u x. v ) )
43		df-ov 6031	. . . . . . . . . . 11 |- ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. u , v >. )
44		df-ov 6031	. . . . . . . . . . 11 |- ( u x. v ) = ( x. ` <. u , v >. )
45	42, 43, 44	3eqtr3g 2287	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. u , v >. ) = ( x. ` <. u , v >. ) )
46	33, 36, 45	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. X /\ v e. Y ) -> ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. u , v >. ) = ( x. ` <. u , v >. ) )
47	29, 46	impel 280	. . . . . . . 8 |- ( ( z = <. u , v >. /\ ( u e. X /\ v e. Y ) ) -> ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` z ) = ( x. ` z ) )
48	47	exlimivv 1945	. . . . . . 7 |- ( E. u E. v ( z = <. u , v >. /\ ( u e. X /\ v e. Y ) ) -> ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` z ) = ( x. ` z ) )
49	23, 48	syl 14	. . . . . 6 |- ( z e. ( X X. Y ) -> ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` z ) = ( x. ` z ) )
50	49	eqcomd 2237	. . . . 5 |- ( z e. ( X X. Y ) -> ( x. ` z ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` z ) )
51	50	csbeq1d 3135	. . . 4 |- ( z e. ( X X. Y ) -> [_ ( x. ` z ) / i ]_ C = [_ ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` z ) / i ]_ C )
52	51	sumeq2i 11985	. . 3 |- sum_ z e. ( X X. Y ) [_ ( x. ` z ) / i ]_ C = sum_ z e. ( X X. Y ) [_ ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` z ) / i ]_ C
53		simprl 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( j e. X /\ k e. Y ) ) -> j e. X )
54	30, 53	sselid 3226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. X /\ k e. Y ) ) -> j e. NN )
55		simprr 533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( j e. X /\ k e. Y ) ) -> k e. Y )
56	34, 55	sselid 3226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. X /\ k e. Y ) ) -> k e. NN )
57	54, 56	nnmulcld 9235	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. X /\ k e. Y ) ) -> ( j x. k ) e. NN )
58		fsumdvdsmul.7	. . . . . . . . 9 |- ( i = ( j x. k ) -> C = D )
59	58	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( j e. X /\ k e. Y ) ) /\ i = ( j x. k ) ) -> C = D )
60	57, 59	csbied 3175	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( j e. X /\ k e. Y ) ) -> [_ ( j x. k ) / i ]_ C = D )
61		anass 401	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. X ) /\ k e. Y ) <-> ( ph /\ ( j e. X /\ k e. Y ) ) )
62	61	bicomi 132	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( j e. X /\ k e. Y ) ) <-> ( ( ph /\ j e. X ) /\ k e. Y ) )
63		eqcom 2233	. . . . . . 7 |- ( [_ ( j x. k ) / i ]_ C = D <-> D = [_ ( j x. k ) / i ]_ C )
64	60, 62, 63	3imtr3i 200	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. X ) /\ k e. Y ) -> D = [_ ( j x. k ) / i ]_ C )
65	64	sumeq2dv 11989	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. X ) -> sum_ k e. Y D = sum_ k e. Y [_ ( j x. k ) / i ]_ C )
66	65	sumeq2dv 11989	. . . 4 |- ( ph -> sum_ j e. X sum_ k e. Y D = sum_ j e. X sum_ k e. Y [_ ( j x. k ) / i ]_ C )
67		fveq2 5648	. . . . . . 7 |- ( z = <. j , k >. -> ( x. ` z ) = ( x. ` <. j , k >. ) )
68		df-ov 6031	. . . . . . 7 |- ( j x. k ) = ( x. ` <. j , k >. )
69	67, 68	eqtr4di 2282	. . . . . 6 |- ( z = <. j , k >. -> ( x. ` z ) = ( j x. k ) )
70	69	csbeq1d 3135	. . . . 5 |- ( z = <. j , k >. -> [_ ( x. ` z ) / i ]_ C = [_ ( j x. k ) / i ]_ C )
71	13	adantrr 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. X /\ k e. Y ) ) -> A e. CC )
72	11	adantrl 478	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. X /\ k e. Y ) ) -> B e. CC )
73	71, 72	mulcld 8243	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( j e. X /\ k e. Y ) ) -> ( A x. B ) e. CC )
74	18, 73	eqeltrrd 2309	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. X /\ k e. Y ) ) -> D e. CC )
75	60, 74	eqeltrd 2308	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. X /\ k e. Y ) ) -> [_ ( j x. k ) / i ]_ C e. CC )
76	70, 5, 10, 75	fsumxp 12058	. . . 4 |- ( ph -> sum_ j e. X sum_ k e. Y [_ ( j x. k ) / i ]_ C = sum_ z e. ( X X. Y ) [_ ( x. ` z ) / i ]_ C )
77	66, 76	eqtrd 2264	. . 3 |- ( ph -> sum_ j e. X sum_ k e. Y D = sum_ z e. ( X X. Y ) [_ ( x. ` z ) / i ]_ C )
78		nfcv 2375	. . . . 5 |- F/_ w C
79		nfcsb1v 3161	. . . . 5 |- F/_ i [_ w / i ]_ C
80		csbeq1a 3137	. . . . 5 |- ( i = w -> C = [_ w / i ]_ C )
81	78, 79, 80	cbvsumi 11983	. . . 4 |- sum_ i e. Z C = sum_ w e. Z [_ w / i ]_ C
82		csbeq1 3131	. . . . 5 |- ( w = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` z ) -> [_ w / i ]_ C = [_ ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` z ) / i ]_ C )
83		xpfi 7167	. . . . . 6 |- ( ( X e. Fin /\ Y e. Fin ) -> ( X X. Y ) e. Fin )
84	5, 10, 83	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( X X. Y ) e. Fin )
85		mpodvdsmulf1o.3	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M gcd N ) = 1 )
86		mpodvdsmulf1o.z	. . . . . 6 |- Z = { x e. NN | x || ( M x. N ) }
87	2, 7, 85, 1, 6, 86	mpodvdsmulf1o 15784	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> Z )
88		fvres 5672	. . . . . 6 |- ( z e. ( X X. Y ) -> ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) ` z ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` z ) )
89	88	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( X X. Y ) ) -> ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) ` z ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` z ) )
90	75	ralrimivva 2615	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. j e. X A. k e. Y [_ ( j x. k ) / i ]_ C e. CC )
91	70	eleq1d 2300	. . . . . . . . . 10 |- ( z = <. j , k >. -> ( [_ ( x. ` z ) / i ]_ C e. CC <-> [_ ( j x. k ) / i ]_ C e. CC ) )
92	91	ralxp 4879	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. ( X X. Y ) [_ ( x. ` z ) / i ]_ C e. CC <-> A. j e. X A. k e. Y [_ ( j x. k ) / i ]_ C e. CC )
93	90, 92	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. z e. ( X X. Y ) [_ ( x. ` z ) / i ]_ C e. CC )
94		fveq2 5648	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = w -> ( x. ` z ) = ( x. ` w ) )
95	94	csbeq1d 3135	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = w -> [_ ( x. ` z ) / i ]_ C = [_ ( x. ` w ) / i ]_ C )
96	95	eleq1d 2300	. . . . . . . . . 10 |- ( z = w -> ( [_ ( x. ` z ) / i ]_ C e. CC <-> [_ ( x. ` w ) / i ]_ C e. CC ) )
97	96	cbvralvw 2772	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. ( X X. Y ) [_ ( x. ` z ) / i ]_ C e. CC <-> A. w e. ( X X. Y ) [_ ( x. ` w ) / i ]_ C e. CC )
98		id 19	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( X X. Y ) -> z e. ( X X. Y ) )
99	95	eqcoms 2234	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = z -> [_ ( x. ` z ) / i ]_ C = [_ ( x. ` w ) / i ]_ C )
100	99	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ( X X. Y ) /\ w = z ) -> [_ ( x. ` z ) / i ]_ C = [_ ( x. ` w ) / i ]_ C )
101	100	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. ( X X. Y ) /\ w = z ) -> ( [_ ( x. ` z ) / i ]_ C e. CC <-> [_ ( x. ` w ) / i ]_ C e. CC ) )
102	51	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( X X. Y ) -> ( [_ ( x. ` z ) / i ]_ C e. CC <-> [_ ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` z ) / i ]_ C e. CC ) )
103	102	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. ( X X. Y ) /\ w = z ) -> ( [_ ( x. ` z ) / i ]_ C e. CC <-> [_ ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` z ) / i ]_ C e. CC ) )
104	101, 103	bitr3d 190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. ( X X. Y ) /\ w = z ) -> ( [_ ( x. ` w ) / i ]_ C e. CC <-> [_ ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` z ) / i ]_ C e. CC ) )
105	98, 104	rspcdv 2914	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( X X. Y ) -> ( A. w e. ( X X. Y ) [_ ( x. ` w ) / i ]_ C e. CC -> [_ ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` z ) / i ]_ C e. CC ) )
106	105	com12 30	. . . . . . . . . 10 |- ( A. w e. ( X X. Y ) [_ ( x. ` w ) / i ]_ C e. CC -> ( z e. ( X X. Y ) -> [_ ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` z ) / i ]_ C e. CC ) )
107	106	ralrimiv 2605	. . . . . . . . 9 |- ( A. w e. ( X X. Y ) [_ ( x. ` w ) / i ]_ C e. CC -> A. z e. ( X X. Y ) [_ ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` z ) / i ]_ C e. CC )
108	97, 107	sylbi 121	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. ( X X. Y ) [_ ( x. ` z ) / i ]_ C e. CC -> A. z e. ( X X. Y ) [_ ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` z ) / i ]_ C e. CC )
109	93, 108	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. z e. ( X X. Y ) [_ ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` z ) / i ]_ C e. CC )
110		mpomulf 8212	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) : ( CC X. CC ) --> CC
111		ffn 5489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) : ( CC X. CC ) --> CC -> ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) Fn ( CC X. CC ) )
112	110, 111	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) Fn ( CC X. CC )
113		xpss12 4839	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X C_ CC /\ Y C_ CC ) -> ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) )
114	32, 35, 113	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC )
115	82	eleq1d 2300	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` z ) -> ( [_ w / i ]_ C e. CC <-> [_ ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` z ) / i ]_ C e. CC ) )
116	115	ralima 5906	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) Fn ( CC X. CC ) /\ ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) ) -> ( A. w e. ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) " ( X X. Y ) ) [_ w / i ]_ C e. CC <-> A. z e. ( X X. Y ) [_ ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` z ) / i ]_ C e. CC ) )
117	112, 114, 116	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- ( A. w e. ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) " ( X X. Y ) ) [_ w / i ]_ C e. CC <-> A. z e. ( X X. Y ) [_ ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` z ) / i ]_ C e. CC )
118		df-ima 4744	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) " ( X X. Y ) ) = ran ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) )
119		f1ofo 5599	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> Z -> ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) : ( X X. Y ) -onto-> Z )
120		forn 5571	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) : ( X X. Y ) -onto-> Z -> ran ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) = Z )
121	87, 119, 120	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ran ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) = Z )
122	118, 121	eqtrid 2276	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) " ( X X. Y ) ) = Z )
123	122	raleqdv 2737	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. w e. ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) " ( X X. Y ) ) [_ w / i ]_ C e. CC <-> A. w e. Z [_ w / i ]_ C e. CC ) )
124	117, 123	bitr3id 194	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. z e. ( X X. Y ) [_ ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` z ) / i ]_ C e. CC <-> A. w e. Z [_ w / i ]_ C e. CC ) )
125	109, 124	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ph -> A. w e. Z [_ w / i ]_ C e. CC )
126	125	r19.21bi 2621	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> [_ w / i ]_ C e. CC )
127	82, 84, 87, 89, 126	fsumf1o 12012	. . . 4 |- ( ph -> sum_ w e. Z [_ w / i ]_ C = sum_ z e. ( X X. Y ) [_ ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` z ) / i ]_ C )
128	81, 127	eqtrid 2276	. . 3 |- ( ph -> sum_ i e. Z C = sum_ z e. ( X X. Y ) [_ ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` z ) / i ]_ C )
129	52, 77, 128	3eqtr4a 2290	. 2 |- ( ph -> sum_ j e. X sum_ k e. Y D = sum_ i e. Z C )
130	14, 22, 129	3eqtrd 2268	1 |- ( ph -> ( sum_ j e. X A x. sum_ k e. Y B ) = sum_ i e. Z C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   A.wral 2511   {crab 2515   [_csb 3128   C_ wss 3201   <.cop 3676   class class class wbr 4093   X. cxp 4729   ran crn 4732   |` cres 4733   "cima 4734   Fn wfn 5328   -->wf 5329   -onto->wfo 5331   -1-1-onto->wf1o 5332   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   e. cmpo 6030   Fincfn 6952   CCcc 8073   1c1 8076   x. cmul 8080   NNcn 9186   sum_csu 11974   || cdvds 12409   gcd cgcd 12585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-disj 4070  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-sup 7226  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-fl 10574  df-mod 10629  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-ihash 11082  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-clim 11900  df-sumdc 11975  df-dvds 12410  df-gcd 12586

This theorem is referenced by:  sgmmul  15790