Theorem dvmptid 15573

Description: Function-builder for derivative: derivative of the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dvmptid.1	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )

Assertion

Ref	Expression
dvmptid	|- ( ph -> ( S _D ( x e. S |-> x ) ) = ( x e. S |-> 1 ) )

Distinct variable groups:   ph, x   x, S

Proof of Theorem dvmptid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptresid 5091	. . . 4 |- ( _I |` S ) = ( x e. S |-> x )
2	1	eqcomi 2236	. . 3 |- ( x e. S |-> x ) = ( _I |` S )
3	2	oveq2i 6060	. 2 |- ( S _D ( x e. S |-> x ) ) = ( S _D ( _I |` S ) )
4		dvmptid.1	. . . 4 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
5		elpri 3711	. . . 4 |- ( S e. { RR , CC } -> ( S = RR \/ S = CC ) )
6		dvidre 15554	. . . . . 6 |- ( RR _D ( _I |` RR ) ) = ( RR X. { 1 } )
7		id 19	. . . . . . 7 |- ( S = RR -> S = RR )
8		reseq2 5032	. . . . . . 7 |- ( S = RR -> ( _I |` S ) = ( _I |` RR ) )
9	7, 8	oveq12d 6067	. . . . . 6 |- ( S = RR -> ( S _D ( _I |` S ) ) = ( RR _D ( _I |` RR ) ) )
10		xpeq1 4762	. . . . . 6 |- ( S = RR -> ( S X. { 1 } ) = ( RR X. { 1 } ) )
11	6, 9, 10	3eqtr4a 2291	. . . . 5 |- ( S = RR -> ( S _D ( _I |` S ) ) = ( S X. { 1 } ) )
12		dvid 15552	. . . . . 6 |- ( CC _D ( _I |` CC ) ) = ( CC X. { 1 } )
13		id 19	. . . . . . 7 |- ( S = CC -> S = CC )
14		reseq2 5032	. . . . . . 7 |- ( S = CC -> ( _I |` S ) = ( _I |` CC ) )
15	13, 14	oveq12d 6067	. . . . . 6 |- ( S = CC -> ( S _D ( _I |` S ) ) = ( CC _D ( _I |` CC ) ) )
16		xpeq1 4762	. . . . . 6 |- ( S = CC -> ( S X. { 1 } ) = ( CC X. { 1 } ) )
17	12, 15, 16	3eqtr4a 2291	. . . . 5 |- ( S = CC -> ( S _D ( _I |` S ) ) = ( S X. { 1 } ) )
18	11, 17	jaoi 724	. . . 4 |- ( ( S = RR \/ S = CC ) -> ( S _D ( _I |` S ) ) = ( S X. { 1 } ) )
19	4, 5, 18	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( S _D ( _I |` S ) ) = ( S X. { 1 } ) )
20		fconstmpt 4796	. . 3 |- ( S X. { 1 } ) = ( x e. S |-> 1 )
21	19, 20	eqtrdi 2281	. 2 |- ( ph -> ( S _D ( _I |` S ) ) = ( x e. S |-> 1 ) )
22	3, 21	eqtrid 2277	1 |- ( ph -> ( S _D ( x e. S |-> x ) ) = ( x e. S |-> 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2203   {csn 3688   {cpr 3689   |-> cmpt 4170   _I cid 4408   X. cxp 4746   |` cres 4750  (class class class)co 6049   CCcc 8124   RRcr 8125   1c1 8127   _D cdv 15512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245  ax-caucvg 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-isom 5360  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-map 6883  df-pm 6884  df-sup 7274  df-inf 7275  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-q 9951  df-rp 9986  df-xneg 10104  df-xadd 10105  df-ioo 10224  df-seqfrec 10809  df-exp 10900  df-cj 11523  df-re 11524  df-im 11525  df-rsqrt 11679  df-abs 11680  df-rest 13446  df-topgen 13465  df-psmet 14683  df-xmet 14684  df-met 14685  df-bl 14686  df-mopn 14687  df-top 14855  df-topon 14868  df-bases 14900  df-ntr 14953  df-cn 15045  df-cnp 15046  df-cncf 15428  df-limced 15513  df-dvap 15514

This theorem is referenced by: (None)