Theorem dvidre 15693

Description: Real derivative of the identity function. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dvidre	|- ( RR _D ( _I |` RR ) ) = ( RR X. { 1 } )

Proof of Theorem dvidre

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 5660	. . . . 5 |- ( _I |` RR ) : RR -1-1-onto-> RR
2		f1of 5620	. . . . 5 |- ( ( _I |` RR ) : RR -1-1-onto-> RR -> ( _I |` RR ) : RR --> RR )
3	1, 2	mp1i 10	. . . 4 |- ( T. -> ( _I |` RR ) : RR --> RR )
4		ax-resscn 8236	. . . . 5 |- RR C_ CC
5	4	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> RR C_ CC )
6	3, 5	fssd 5528	. . 3 |- ( T. -> ( _I |` RR ) : RR --> CC )
7		simp2 1025	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ z e. RR /\ z # x ) -> z e. RR )
8	7	recnd 8319	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ z e. RR /\ z # x ) -> z e. CC )
9		simp1 1024	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ z e. RR /\ z # x ) -> x e. RR )
10	9	recnd 8319	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ z e. RR /\ z # x ) -> x e. CC )
11	8, 10	subcld 8602	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ z e. RR /\ z # x ) -> ( z - x ) e. CC )
12		simp3 1026	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ z e. RR /\ z # x ) -> z # x )
13	8, 10, 12	subap0d 8937	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ z e. RR /\ z # x ) -> ( z - x ) # 0 )
14		fvresi 5883	. . . . . . 7 |- ( z e. RR -> ( ( _I |` RR ) ` z ) = z )
15		fvresi 5883	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( ( _I |` RR ) ` x ) = x )
16	14, 15	oveqan12rd 6079	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( ( _I |` RR ) ` z ) - ( ( _I |` RR ) ` x ) ) = ( z - x ) )
17	16	3adant3 1044	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ z e. RR /\ z # x ) -> ( ( ( _I |` RR ) ` z ) - ( ( _I |` RR ) ` x ) ) = ( z - x ) )
18	11, 13, 17	diveqap1bd 9131	. . . 4 |- ( ( x e. RR /\ z e. RR /\ z # x ) -> ( ( ( ( _I |` RR ) ` z ) - ( ( _I |` RR ) ` x ) ) / ( z - x ) ) = 1 )
19	18	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. RR /\ z e. RR /\ z # x ) ) -> ( ( ( ( _I |` RR ) ` z ) - ( ( _I |` RR ) ` x ) ) / ( z - x ) ) = 1 )
20		ax-1cn 8237	. . 3 |- 1 e. CC
21	6, 19, 20	dvidrelem 15688	. 2 |- ( T. -> ( RR _D ( _I |` RR ) ) = ( RR X. { 1 } ) )
22	21	mptru 1407	1 |- ( RR _D ( _I |` RR ) ) = ( RR X. { 1 } )

Syntax hints:   /\ w3a 1005   = wceq 1398   T. wtru 1399   e. wcel 2205   C_ wss 3214   {csn 3695   class class class wbr 4115   _I cid 4415   X. cxp 4753   |` cres 4757   -->wf 5354   -1-1-onto->wf1o 5357   ` cfv 5358  (class class class)co 6059   CCcc 8142   RRcr 8143   1c1 8145   - cmin 8462   # cap 8874   / cdiv 8967   _D cdv 15651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-iinf 4716  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-mulrcl 8243  ax-addcom 8244  ax-mulcom 8245  ax-addass 8246  ax-mulass 8247  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-1rid 8251  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-precex 8254  ax-cnre 8255  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-ltwlin 8257  ax-pre-lttrn 8258  ax-pre-apti 8259  ax-pre-ltadd 8260  ax-pre-mulgt0 8261  ax-pre-mulext 8262  ax-arch 8263  ax-caucvg 8264

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4719  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-1st 6348  df-2nd 6349  df-recs 6550  df-frec 6636  df-map 6898  df-pm 6899  df-sup 7289  df-inf 7290  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-le 8331  df-sub 8464  df-neg 8465  df-reap 8868  df-ap 8875  df-div 8968  df-inn 9259  df-2 9317  df-3 9318  df-4 9319  df-n0 9518  df-z 9599  df-uz 9876  df-q 9974  df-rp 10009  df-xneg 10128  df-xadd 10129  df-ioo 10248  df-seqfrec 10838  df-exp 10929  df-cj 11556  df-re 11557  df-im 11558  df-rsqrt 11713  df-abs 11714  df-rest 13543  df-topgen 13562  df-psmet 14822  df-xmet 14823  df-met 14824  df-bl 14825  df-mopn 14826  df-top 14994  df-topon 15007  df-bases 15039  df-ntr 15092  df-cn 15184  df-cnp 15185  df-cncf 15567  df-limced 15652  df-dvap 15653

This theorem is referenced by:  dvmptid  15712