Theorem dvmptid 15568

Description: Function-builder for derivative: derivative of the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dvmptid.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})

Assertion

Ref	Expression
dvmptid	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 1))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆

Proof of Theorem dvmptid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptresid 5091	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝑆) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)
2	1	eqcomi 2236	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥) = ( I ↾ 𝑆)
3	2	oveq2i 6060	. 2 ⊢ (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)) = (𝑆 D ( I ↾ 𝑆))
4		dvmptid.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
5		elpri 3711	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
6		dvidre 15549	. . . . . 6 ⊢ (ℝ D ( I ↾ ℝ)) = (ℝ × {1})
7		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = ℝ → 𝑆 = ℝ)
8		reseq2 5032	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = ℝ → ( I ↾ 𝑆) = ( I ↾ ℝ))
9	7, 8	oveq12d 6067	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = ℝ → (𝑆 D ( I ↾ 𝑆)) = (ℝ D ( I ↾ ℝ)))
10		xpeq1 4762	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = ℝ → (𝑆 × {1}) = (ℝ × {1}))
11	6, 9, 10	3eqtr4a 2291	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ℝ → (𝑆 D ( I ↾ 𝑆)) = (𝑆 × {1}))
12		dvid 15547	. . . . . 6 ⊢ (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = (ℂ × {1})
13		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = ℂ → 𝑆 = ℂ)
14		reseq2 5032	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = ℂ → ( I ↾ 𝑆) = ( I ↾ ℂ))
15	13, 14	oveq12d 6067	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = ℂ → (𝑆 D ( I ↾ 𝑆)) = (ℂ D ( I ↾ ℂ)))
16		xpeq1 4762	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = ℂ → (𝑆 × {1}) = (ℂ × {1}))
17	12, 15, 16	3eqtr4a 2291	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ℂ → (𝑆 D ( I ↾ 𝑆)) = (𝑆 × {1}))
18	11, 17	jaoi 724	. . . 4 ⊢ ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → (𝑆 D ( I ↾ 𝑆)) = (𝑆 × {1}))
19	4, 5, 18	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ( I ↾ 𝑆)) = (𝑆 × {1}))
20		fconstmpt 4796	. . 3 ⊢ (𝑆 × {1}) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 1)
21	19, 20	eqtrdi 2281	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ( I ↾ 𝑆)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 1))
22	3, 21	eqtrid 2277	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  {csn 3688  {cpr 3689   ↦ cmpt 4170   I cid 4408   × cxp 4746   ↾ cres 4750  (class class class)co 6049  ℂcc 8121  ℝcr 8122  1c1 8124   D cdv 15507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-mulext 8241  ax-arch 8242  ax-caucvg 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-isom 5360  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-map 6883  df-pm 6884  df-sup 7274  df-inf 7275  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-div 8943  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-n0 9493  df-z 9574  df-uz 9850  df-q 9948  df-rp 9983  df-xneg 10101  df-xadd 10102  df-ioo 10221  df-seqfrec 10806  df-exp 10897  df-cj 11520  df-re 11521  df-im 11522  df-rsqrt 11676  df-abs 11677  df-rest 13443  df-topgen 13462  df-psmet 14678  df-xmet 14679  df-met 14680  df-bl 14681  df-mopn 14682  df-top 14850  df-topon 14863  df-bases 14895  df-ntr 14948  df-cn 15040  df-cnp 15041  df-cncf 15423  df-limced 15508  df-dvap 15509

This theorem is referenced by: (None)