Theorem absef 11273

Description: The absolute value of the exponential is the exponential of the real part. (Contributed by Paul Chapman, 13-Sep-2007.)

Assertion

Ref	Expression
absef	|- ( A e. CC -> ( abs ` ( exp ` A ) ) = ( exp ` ( Re ` A ) ) )

Proof of Theorem absef

Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 10472	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
2	1	fveq2d 5357	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( exp ` A ) = ( exp ` ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
3		recl 10466	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
4	3	recnd 7666	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
5		ax-icn 7590	. . . . . . 7 |- _i e. CC
6		imcl 10467	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
7	6	recnd 7666	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
8		mulcl 7619	. . . . . . 7 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
9	5, 7, 8	sylancr 408	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
10		efadd 11179	. . . . . 6 |- ( ( ( Re ` A ) e. CC /\ ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( exp ` ( Re ` A ) ) x. ( exp ` ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
11	4, 9, 10	syl2anc 406	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( exp ` ( Re ` A ) ) x. ( exp ` ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
12	2, 11	eqtrd 2132	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( exp ` A ) = ( ( exp ` ( Re ` A ) ) x. ( exp ` ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
13	12	fveq2d 5357	. . 3 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( exp ` A ) ) = ( abs ` ( ( exp ` ( Re ` A ) ) x. ( exp ` ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) )
14	3	reefcld 11173	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( Re ` A ) ) e. RR )
15	14	recnd 7666	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( Re ` A ) ) e. CC )
16		efcl 11168	. . . . 5 |- ( ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC -> ( exp ` ( _i x. ( Im ` A ) ) ) e. CC )
17	9, 16	syl 14	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. ( Im ` A ) ) ) e. CC )
18	15, 17	absmuld 10806	. . 3 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( ( exp ` ( Re ` A ) ) x. ( exp ` ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) = ( ( abs ` ( exp ` ( Re ` A ) ) ) x. ( abs ` ( exp ` ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) )
19		absefi 11272	. . . . 5 |- ( ( Im ` A ) e. RR -> ( abs ` ( exp ` ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = 1 )
20	6, 19	syl 14	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( exp ` ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = 1 )
21	20	oveq2d 5722	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` ( exp ` ( Re ` A ) ) ) x. ( abs ` ( exp ` ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) = ( ( abs ` ( exp ` ( Re ` A ) ) ) x. 1 ) )
22	13, 18, 21	3eqtrd 2136	. 2 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( exp ` A ) ) = ( ( abs ` ( exp ` ( Re ` A ) ) ) x. 1 ) )
23	15	abscld 10793	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( exp ` ( Re ` A ) ) ) e. RR )
24	23	recnd 7666	. . 3 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( exp ` ( Re ` A ) ) ) e. CC )
25	24	mulid1d 7655	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` ( exp ` ( Re ` A ) ) ) x. 1 ) = ( abs ` ( exp ` ( Re ` A ) ) ) )
26		efgt0 11188	. . . . 5 |- ( ( Re ` A ) e. RR -> 0 < ( exp ` ( Re ` A ) ) )
27	3, 26	syl 14	. . . 4 |- ( A e. CC -> 0 < ( exp ` ( Re ` A ) ) )
28		0re 7638	. . . . 5 |- 0 e. RR
29		ltle 7722	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ ( exp ` ( Re ` A ) ) e. RR ) -> ( 0 < ( exp ` ( Re ` A ) ) -> 0 <_ ( exp ` ( Re ` A ) ) ) )
30	28, 14, 29	sylancr 408	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( 0 < ( exp ` ( Re ` A ) ) -> 0 <_ ( exp ` ( Re ` A ) ) ) )
31	27, 30	mpd 13	. . 3 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( exp ` ( Re ` A ) ) )
32	14, 31	absidd 10779	. 2 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( exp ` ( Re ` A ) ) ) = ( exp ` ( Re ` A ) ) )
33	22, 25, 32	3eqtrd 2136	1 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( exp ` A ) ) = ( exp ` ( Re ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1299   e. wcel 1448   class class class wbr 3875   ` cfv 5059  (class class class)co 5706   CCcc 7498   RRcr 7499   0cc0 7500   1c1 7501   _ici 7502   + caddc 7503   x. cmul 7505   < clt 7672   <_ cle 7673   Recre 10453   Imcim 10454   abscabs 10609   expce 11146

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613  ax-arch 7614  ax-caucvg 7615

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-disj 3853  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-isom 5068  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-irdg 6197  df-frec 6218  df-1o 6243  df-oadd 6247  df-er 6359  df-en 6565  df-dom 6566  df-fin 6567  df-sup 6786  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-q 9262  df-rp 9292  df-ico 9518  df-fz 9632  df-fzo 9761  df-seqfrec 10060  df-exp 10134  df-fac 10313  df-bc 10335  df-ihash 10363  df-cj 10455  df-re 10456  df-im 10457  df-rsqrt 10610  df-abs 10611  df-clim 10887  df-sumdc 10962  df-ef 11152  df-sin 11154  df-cos 11155

This theorem is referenced by:  absefib  11274