Theorem birthdaylem3 16072

Description: For general N and K, upper-bound the fraction of injective functions from 1 ... K to 1 ... N. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
birthday.s	|- S = { f | f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) }
birthday.t	|- T = { f | f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) }

Assertion

Ref	Expression
birthdaylem3	|- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( (♯ ` T ) / (♯ ` S ) ) <_ ( exp ` -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) ) )

Distinct variable groups:   f, K   f, N

Allowed substitution hints:   S( f)   T( f)

Proof of Theorem birthdaylem3

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 533	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> N e. NN )
2		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> K <_ N )
3		simpll 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> K e. NN0 )
4		nn0uz 9940	. . . . . . 7 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
5	3, 4	eleqtrdi 2331	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> K e. ( ZZ>= ` 0 ) )
6		nnz 9646	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
7	6	ad2antlr 493	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> N e. ZZ )
8		elfz5 10403	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( 0 ... N ) <-> K <_ N ) )
9	5, 7, 8	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> ( K e. ( 0 ... N ) <-> K <_ N ) )
10	2, 9	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> K e. ( 0 ... N ) )
11		birthday.s	. . . . 5 |- S = { f | f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) }
12		birthday.t	. . . . 5 |- T = { f | f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) }
13	11, 12	birthdaylem2 16071	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( (♯ ` T ) / (♯ ` S ) ) = ( exp ` sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) ) )
14	1, 10, 13	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> ( (♯ ` T ) / (♯ ` S ) ) = ( exp ` sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) ) )
15		0zd 9639	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> 0 e. ZZ )
16		nn0z 9647	. . . . . . . 8 |- ( K e. NN0 -> K e. ZZ )
17		peano2zm 9665	. . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> ( K - 1 ) e. ZZ )
18	3, 16, 17	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> ( K - 1 ) e. ZZ )
19	15, 18	fzfigd 10851	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> ( 0 ... ( K - 1 ) ) e. Fin )
20		elfznn0 10504	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) -> k e. NN0 )
21	20	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
22	21	nn0red 9604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> k e. RR )
23	3	nn0red 9604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> K e. RR )
24		peano2rem 8587	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. RR -> ( K - 1 ) e. RR )
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> ( K - 1 ) e. RR )
26	25	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( K - 1 ) e. RR )
27	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> N e. NN )
28	27	nnred 9300	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> N e. RR )
29		elfzle2 10415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) -> k <_ ( K - 1 ) )
30	29	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> k <_ ( K - 1 ) )
31	1	nnred 9300	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> N e. RR )
32	23	ltm1d 9256	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> ( K - 1 ) < K )
33	25, 23, 31, 32, 2	ltletrd 8745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> ( K - 1 ) < N )
34	33	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( K - 1 ) < N )
35	22, 26, 28, 30, 34	lelttrd 8445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> k < N )
36	27	nncnd 9301	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> N e. CC )
37	36	mulridd 8337	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( N x. 1 ) = N )
38	35, 37	breqtrrd 4156	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> k < ( N x. 1 ) )
39		1red 8335	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
40	27	nngt0d 9331	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> 0 < N )
41		ltdivmul 9200	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. RR /\ 1 e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( k / N ) < 1 <-> k < ( N x. 1 ) ) )
42	22, 39, 28, 40, 41	syl112anc 1282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( k / N ) < 1 <-> k < ( N x. 1 ) ) )
43	38, 42	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( k / N ) < 1 )
44	22, 27	nndivred 9337	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( k / N ) e. RR )
45		1re 8319	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
46		difrp 10076	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k / N ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( k / N ) < 1 <-> ( 1 - ( k / N ) ) e. RR+ ) )
47	44, 45, 46	sylancl 417	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( k / N ) < 1 <-> ( 1 - ( k / N ) ) e. RR+ ) )
48	43, 47	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( 1 - ( k / N ) ) e. RR+ )
49	48	relogcld 15966	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) e. RR )
50	44	renegcld 8701	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> -u ( k / N ) e. RR )
51		elfzle1 10414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) -> 0 <_ k )
52	51	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> 0 <_ k )
53		divge0 9197	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. RR /\ 0 <_ k ) /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> 0 <_ ( k / N ) )
54	22, 52, 28, 40, 53	syl22anc 1279	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> 0 <_ ( k / N ) )
55	44, 54, 43	eflegeo 12451	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( exp ` ( k / N ) ) <_ ( 1 / ( 1 - ( k / N ) ) ) )
56	44	reefcld 12419	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( exp ` ( k / N ) ) e. RR )
57		efgt0 12434	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k / N ) e. RR -> 0 < ( exp ` ( k / N ) ) )
58	44, 57	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> 0 < ( exp ` ( k / N ) ) )
59	48	rpregt0d 10087	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( 1 - ( k / N ) ) e. RR /\ 0 < ( 1 - ( k / N ) ) ) )
60		lerec2 9213	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( exp ` ( k / N ) ) e. RR /\ 0 < ( exp ` ( k / N ) ) ) /\ ( ( 1 - ( k / N ) ) e. RR /\ 0 < ( 1 - ( k / N ) ) ) ) -> ( ( exp ` ( k / N ) ) <_ ( 1 / ( 1 - ( k / N ) ) ) <-> ( 1 - ( k / N ) ) <_ ( 1 / ( exp ` ( k / N ) ) ) ) )
61	56, 58, 59, 60	syl21anc 1277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( exp ` ( k / N ) ) <_ ( 1 / ( 1 - ( k / N ) ) ) <-> ( 1 - ( k / N ) ) <_ ( 1 / ( exp ` ( k / N ) ) ) ) )
62	55, 61	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( 1 - ( k / N ) ) <_ ( 1 / ( exp ` ( k / N ) ) ) )
63	48	reeflogd 15967	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( exp ` ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) ) = ( 1 - ( k / N ) ) )
64	44	recnd 8348	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( k / N ) e. CC )
65		efneg 12429	. . . . . . . . 9 |- ( ( k / N ) e. CC -> ( exp ` -u ( k / N ) ) = ( 1 / ( exp ` ( k / N ) ) ) )
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( exp ` -u ( k / N ) ) = ( 1 / ( exp ` ( k / N ) ) ) )
67	62, 63, 66	3brtr4d 4160	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( exp ` ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) ) <_ ( exp ` -u ( k / N ) ) )
68		efle 15860	. . . . . . . 8 |- ( ( ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) e. RR /\ -u ( k / N ) e. RR ) -> ( ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) <_ -u ( k / N ) <-> ( exp ` ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) ) <_ ( exp ` -u ( k / N ) ) ) )
69	49, 50, 68	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) <_ -u ( k / N ) <-> ( exp ` ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) ) <_ ( exp ` -u ( k / N ) ) ) )
70	67, 69	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) <_ -u ( k / N ) )
71	19, 49, 50, 70	fsumle 12213	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) <_ sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) -u ( k / N ) )
72	19, 64	fsumneg 12201	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) -u ( k / N ) = -u sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( k / N ) )
73	1	nncnd 9301	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> N e. CC )
74	22	recnd 8348	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> k e. CC )
75	1	nnap0d 9333	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> N # 0 )
76	19, 73, 74, 75	fsumdivapc 12200	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) k / N ) = sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( k / N ) )
77		arisum2 12249	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. NN0 -> sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) k = ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) )
78	3, 77	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) k = ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) )
79	78	oveq1d 6094	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) k / N ) = ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) )
80	76, 79	eqtr3d 2273	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( k / N ) = ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) )
81	80	negeqd 8515	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> -u sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( k / N ) = -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) )
82	72, 81	eqtrd 2271	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) -u ( k / N ) = -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) )
83	71, 82	breqtrd 4154	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) <_ -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) )
84	19, 49	fsumrecl 12151	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) e. RR )
85		nn0re 9555	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. NN0 -> K e. RR )
86	85	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> K e. RR )
87	86	resqcld 11120	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( K ^ 2 ) e. RR )
88	87, 86	resubcld 8702	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( ( K ^ 2 ) - K ) e. RR )
89	88	rehalfcld 9535	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) e. RR )
90		nndivre 9323	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) e. RR /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) e. RR )
91	89, 90	sylancom 424	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) e. RR )
92	91	renegcld 8701	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) e. RR )
93	92	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) e. RR )
94		efle 15860	. . . . 5 |- ( ( sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) e. RR /\ -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) e. RR ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) <_ -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) <-> ( exp ` sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) ) <_ ( exp ` -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) ) ) )
95	84, 93, 94	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) <_ -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) <-> ( exp ` sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) ) <_ ( exp ` -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) ) ) )
96	83, 95	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> ( exp ` sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) ) <_ ( exp ` -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) ) )
97	14, 96	eqbrtrd 4150	. 2 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> ( (♯ ` T ) / (♯ ` S ) ) <_ ( exp ` -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) ) )
98		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> N < K )
99	98	notnotd 639	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> -. -. N < K )
100		abn0m 3547	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. w w e. { f | f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) } <-> E. f f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) )
101		1zzd 9654	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> 1 e. ZZ )
102	6	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
103	101, 102	fzfigd 10851	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( 1 ... N ) e. Fin )
104		brdomg 7026	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 ... N ) e. Fin -> ( ( 1 ... K ) ~<_ ( 1 ... N ) <-> E. f f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) ) )
105	103, 104	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( ( 1 ... K ) ~<_ ( 1 ... N ) <-> E. f f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) ) )
106	100, 105	bitr4id 199	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( E. w w e. { f | f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) } <-> ( 1 ... K ) ~<_ ( 1 ... N ) ) )
107		hashfz1 11205	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... K ) ) = K )
108		nnnn0 9553	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
109		hashfz1 11205	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
110	108, 109	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
111	107, 110	breqan12d 4144	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( (♯ ` ( 1 ... K ) ) <_ (♯ ` ( 1 ... N ) ) <-> K <_ N ) )
112	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> K e. ZZ )
113	101, 112	fzfigd 10851	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( 1 ... K ) e. Fin )
114		fihashdom 11226	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 ... K ) e. Fin /\ ( 1 ... N ) e. Fin ) -> ( (♯ ` ( 1 ... K ) ) <_ (♯ ` ( 1 ... N ) ) <-> ( 1 ... K ) ~<_ ( 1 ... N ) ) )
115	113, 103, 114	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( (♯ ` ( 1 ... K ) ) <_ (♯ ` ( 1 ... N ) ) <-> ( 1 ... K ) ~<_ ( 1 ... N ) ) )
116		nnre 9294	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> N e. RR )
117		lenlt 8395	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. RR /\ N e. RR ) -> ( K <_ N <-> -. N < K ) )
118	85, 116, 117	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( K <_ N <-> -. N < K ) )
119	111, 115, 118	3bitr3d 218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( ( 1 ... K ) ~<_ ( 1 ... N ) <-> -. N < K ) )
120	106, 119	bitrd 188	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( E. w w e. { f | f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) } <-> -. N < K ) )
121	120	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> ( E. w w e. { f | f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) } <-> -. N < K ) )
122	99, 121	mtbird 684	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> -. E. w w e. { f | f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) } )
123		notm0 3542	. . . . . . . . 9 |- ( -. E. w w e. { f | f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) } <-> { f | f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) } = (/) )
124	122, 123	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> { f | f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) } = (/) )
125	12, 124	eqtrid 2283	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> T = (/) )
126	125	fveq2d 5697	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> (♯ ` T ) = (♯ ` (/) ) )
127		hash0 11218	. . . . . 6 |- (♯ ` (/) ) = 0
128	126, 127	eqtrdi 2287	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> (♯ ` T ) = 0 )
129	128	oveq1d 6094	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> ( (♯ ` T ) / (♯ ` S ) ) = ( 0 / (♯ ` S ) ) )
130	11, 12	birthdaylem1g 16070	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( T C_ S /\ S e. Fin /\ S =/= (/) ) )
131	130	simp3d 1042	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> S =/= (/) )
132	131	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> S =/= (/) )
133	130	simp2d 1041	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> S e. Fin )
134		hashnncl 11217	. . . . . . . . 9 |- ( S e. Fin -> ( (♯ ` S ) e. NN <-> S =/= (/) ) )
135	133, 134	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( (♯ ` S ) e. NN <-> S =/= (/) ) )
136	135	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> ( (♯ ` S ) e. NN <-> S =/= (/) ) )
137	132, 136	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> (♯ ` S ) e. NN )
138	137	nncnd 9301	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> (♯ ` S ) e. CC )
139	137	nnap0d 9333	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> (♯ ` S ) # 0 )
140	138, 139	div0apd 9111	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> ( 0 / (♯ ` S ) ) = 0 )
141	129, 140	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> ( (♯ ` T ) / (♯ ` S ) ) = 0 )
142	92	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) e. RR )
143	142	rpefcld 12436	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> ( exp ` -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) ) e. RR+ )
144	143	rpge0d 10084	. . 3 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> 0 <_ ( exp ` -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) ) )
145	141, 144	eqbrtrd 4150	. 2 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> ( (♯ ` T ) / (♯ ` S ) ) <_ ( exp ` -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) ) )
146		zlelttric 9672	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K <_ N \/ N < K ) )
147	112, 102, 146	syl2anc 415	. 2 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( K <_ N \/ N < K ) )
148	97, 145, 147	mpjaodan 810	1 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( (♯ ` T ) / (♯ ` S ) ) <_ ( exp ` -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   {cab 2224   =/= wne 2420   C_ wss 3220   (/)c0 3520   class class class wbr 4128   -->wf 5371   -1-1->wf1 5372   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   ~<_ cdom 7015   Fincfn 7016   CCcc 8171   RRcr 8172   0cc0 8173   1c1 8174   x. cmul 8178   < clt 8354   <_ cle 8355   - cmin 8491   -ucneg 8492   / cdiv 8996   NNcn 9287   2c2 9338   NN0cn0 9546   ZZcz 9627   ZZ>=cuz 9904   RR+crp 10037   ...cfz 10394   ^cexp 10958  ♯chash 11197   sum_csu 12102   expce 12392   logclog 15940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293  ax-pre-suploc 8294  ax-addf 8295  ax-mulf 8296

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-disj 4105  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-of 6296  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-frec 6656  df-1o 6681  df-oadd 6685  df-er 6801  df-map 6918  df-pm 6919  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-sup 7318  df-inf 7319  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-xneg 10157  df-xadd 10158  df-ioo 10277  df-ico 10279  df-icc 10280  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-fac 11147  df-bc 11169  df-ihash 11198  df-shft 11563  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-clim 12028  df-sumdc 12103  df-ef 12398  df-e 12399  df-rest 13578  df-topgen 13597  df-psmet 14863  df-xmet 14864  df-met 14865  df-bl 14866  df-mopn 14867  df-top 15082  df-topon 15095  df-bases 15127  df-ntr 15180  df-cn 15272  df-cnp 15273  df-tx 15337  df-cncf 15655  df-limced 15740  df-dvap 15741  df-relog 15942

This theorem is referenced by:  birthdaylog2  16073