Theorem birthdaylem3 16089

Description: For general N and K, upper-bound the fraction of injective functions from 1 ... K to 1 ... N. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
birthday.s	|- S = { f | f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) }
birthday.t	|- T = { f | f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) }

Assertion

Ref	Expression
birthdaylem3	|- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( (♯ ` T ) / (♯ ` S ) ) <_ ( exp ` -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) ) )

Distinct variable groups:   f, K   f, N

Allowed substitution hints:   S( f)   T( f)

Proof of Theorem birthdaylem3

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 533	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> N e. NN )
2		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> K <_ N )
3		simpll 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> K e. NN0 )
4		nn0uz 9957	. . . . . . 7 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
5	3, 4	eleqtrdi 2331	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> K e. ( ZZ>= ` 0 ) )
6		nnz 9663	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
7	6	ad2antlr 493	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> N e. ZZ )
8		elfz5 10420	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( 0 ... N ) <-> K <_ N ) )
9	5, 7, 8	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> ( K e. ( 0 ... N ) <-> K <_ N ) )
10	2, 9	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> K e. ( 0 ... N ) )
11		birthday.s	. . . . 5 |- S = { f | f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) }
12		birthday.t	. . . . 5 |- T = { f | f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) }
13	11, 12	birthdaylem2 16088	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( (♯ ` T ) / (♯ ` S ) ) = ( exp ` sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) ) )
14	1, 10, 13	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> ( (♯ ` T ) / (♯ ` S ) ) = ( exp ` sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) ) )
15		0zd 9656	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> 0 e. ZZ )
16		nn0z 9664	. . . . . . . 8 |- ( K e. NN0 -> K e. ZZ )
17		peano2zm 9682	. . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> ( K - 1 ) e. ZZ )
18	3, 16, 17	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> ( K - 1 ) e. ZZ )
19	15, 18	fzfigd 10868	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> ( 0 ... ( K - 1 ) ) e. Fin )
20		elfznn0 10521	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) -> k e. NN0 )
21	20	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
22	21	nn0red 9621	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> k e. RR )
23	3	nn0red 9621	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> K e. RR )
24		peano2rem 8593	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. RR -> ( K - 1 ) e. RR )
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> ( K - 1 ) e. RR )
26	25	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( K - 1 ) e. RR )
27	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> N e. NN )
28	27	nnred 9317	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> N e. RR )
29		elfzle2 10432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) -> k <_ ( K - 1 ) )
30	29	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> k <_ ( K - 1 ) )
31	1	nnred 9317	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> N e. RR )
32	23	ltm1d 9262	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> ( K - 1 ) < K )
33	25, 23, 31, 32, 2	ltletrd 8751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> ( K - 1 ) < N )
34	33	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( K - 1 ) < N )
35	22, 26, 28, 30, 34	lelttrd 8451	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> k < N )
36	27	nncnd 9318	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> N e. CC )
37	36	mulridd 8343	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( N x. 1 ) = N )
38	35, 37	breqtrrd 4158	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> k < ( N x. 1 ) )
39		1red 8341	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
40	27	nngt0d 9348	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> 0 < N )
41		ltdivmul 9206	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. RR /\ 1 e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( k / N ) < 1 <-> k < ( N x. 1 ) ) )
42	22, 39, 28, 40, 41	syl112anc 1282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( k / N ) < 1 <-> k < ( N x. 1 ) ) )
43	38, 42	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( k / N ) < 1 )
44	22, 27	nndivred 9354	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( k / N ) e. RR )
45		1re 8325	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
46		difrp 10093	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k / N ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( k / N ) < 1 <-> ( 1 - ( k / N ) ) e. RR+ ) )
47	44, 45, 46	sylancl 417	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( k / N ) < 1 <-> ( 1 - ( k / N ) ) e. RR+ ) )
48	43, 47	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( 1 - ( k / N ) ) e. RR+ )
49	48	relogcld 15983	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) e. RR )
50	44	renegcld 8707	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> -u ( k / N ) e. RR )
51		elfzle1 10431	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) -> 0 <_ k )
52	51	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> 0 <_ k )
53		divge0 9203	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. RR /\ 0 <_ k ) /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> 0 <_ ( k / N ) )
54	22, 52, 28, 40, 53	syl22anc 1279	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> 0 <_ ( k / N ) )
55	44, 54, 43	eflegeo 12468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( exp ` ( k / N ) ) <_ ( 1 / ( 1 - ( k / N ) ) ) )
56	44	reefcld 12436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( exp ` ( k / N ) ) e. RR )
57		efgt0 12451	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k / N ) e. RR -> 0 < ( exp ` ( k / N ) ) )
58	44, 57	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> 0 < ( exp ` ( k / N ) ) )
59	48	rpregt0d 10104	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( 1 - ( k / N ) ) e. RR /\ 0 < ( 1 - ( k / N ) ) ) )
60		lerec2 9219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( exp ` ( k / N ) ) e. RR /\ 0 < ( exp ` ( k / N ) ) ) /\ ( ( 1 - ( k / N ) ) e. RR /\ 0 < ( 1 - ( k / N ) ) ) ) -> ( ( exp ` ( k / N ) ) <_ ( 1 / ( 1 - ( k / N ) ) ) <-> ( 1 - ( k / N ) ) <_ ( 1 / ( exp ` ( k / N ) ) ) ) )
61	56, 58, 59, 60	syl21anc 1277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( exp ` ( k / N ) ) <_ ( 1 / ( 1 - ( k / N ) ) ) <-> ( 1 - ( k / N ) ) <_ ( 1 / ( exp ` ( k / N ) ) ) ) )
62	55, 61	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( 1 - ( k / N ) ) <_ ( 1 / ( exp ` ( k / N ) ) ) )
63	48	reeflogd 15984	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( exp ` ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) ) = ( 1 - ( k / N ) ) )
64	44	recnd 8354	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( k / N ) e. CC )
65		efneg 12446	. . . . . . . . 9 |- ( ( k / N ) e. CC -> ( exp ` -u ( k / N ) ) = ( 1 / ( exp ` ( k / N ) ) ) )
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( exp ` -u ( k / N ) ) = ( 1 / ( exp ` ( k / N ) ) ) )
67	62, 63, 66	3brtr4d 4162	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( exp ` ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) ) <_ ( exp ` -u ( k / N ) ) )
68		efle 15877	. . . . . . . 8 |- ( ( ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) e. RR /\ -u ( k / N ) e. RR ) -> ( ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) <_ -u ( k / N ) <-> ( exp ` ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) ) <_ ( exp ` -u ( k / N ) ) ) )
69	49, 50, 68	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) <_ -u ( k / N ) <-> ( exp ` ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) ) <_ ( exp ` -u ( k / N ) ) ) )
70	67, 69	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) <_ -u ( k / N ) )
71	19, 49, 50, 70	fsumle 12230	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) <_ sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) -u ( k / N ) )
72	19, 64	fsumneg 12218	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) -u ( k / N ) = -u sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( k / N ) )
73	1	nncnd 9318	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> N e. CC )
74	22	recnd 8354	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> k e. CC )
75	1	nnap0d 9350	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> N # 0 )
76	19, 73, 74, 75	fsumdivapc 12217	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) k / N ) = sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( k / N ) )
77		arisum2 12266	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. NN0 -> sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) k = ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) )
78	3, 77	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) k = ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) )
79	78	oveq1d 6100	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) k / N ) = ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) )
80	76, 79	eqtr3d 2273	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( k / N ) = ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) )
81	80	negeqd 8521	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> -u sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( k / N ) = -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) )
82	72, 81	eqtrd 2271	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) -u ( k / N ) = -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) )
83	71, 82	breqtrd 4156	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) <_ -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) )
84	19, 49	fsumrecl 12168	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) e. RR )
85		nn0re 9572	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. NN0 -> K e. RR )
86	85	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> K e. RR )
87	86	resqcld 11137	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( K ^ 2 ) e. RR )
88	87, 86	resubcld 8708	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( ( K ^ 2 ) - K ) e. RR )
89	88	rehalfcld 9552	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) e. RR )
90		nndivre 9340	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) e. RR /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) e. RR )
91	89, 90	sylancom 424	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) e. RR )
92	91	renegcld 8707	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) e. RR )
93	92	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) e. RR )
94		efle 15877	. . . . 5 |- ( ( sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) e. RR /\ -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) e. RR ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) <_ -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) <-> ( exp ` sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) ) <_ ( exp ` -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) ) ) )
95	84, 93, 94	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) <_ -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) <-> ( exp ` sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) ) <_ ( exp ` -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) ) ) )
96	83, 95	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> ( exp ` sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) ) <_ ( exp ` -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) ) )
97	14, 96	eqbrtrd 4152	. 2 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K <_ N ) -> ( (♯ ` T ) / (♯ ` S ) ) <_ ( exp ` -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) ) )
98		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> N < K )
99	98	notnotd 639	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> -. -. N < K )
100		abn0m 3547	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. w w e. { f | f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) } <-> E. f f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) )
101		1zzd 9671	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> 1 e. ZZ )
102	6	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
103	101, 102	fzfigd 10868	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( 1 ... N ) e. Fin )
104		brdomg 7032	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 ... N ) e. Fin -> ( ( 1 ... K ) ~<_ ( 1 ... N ) <-> E. f f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) ) )
105	103, 104	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( ( 1 ... K ) ~<_ ( 1 ... N ) <-> E. f f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) ) )
106	100, 105	bitr4id 199	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( E. w w e. { f | f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) } <-> ( 1 ... K ) ~<_ ( 1 ... N ) ) )
107		hashfz1 11222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... K ) ) = K )
108		nnnn0 9570	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
109		hashfz1 11222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
110	108, 109	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
111	107, 110	breqan12d 4146	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( (♯ ` ( 1 ... K ) ) <_ (♯ ` ( 1 ... N ) ) <-> K <_ N ) )
112	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> K e. ZZ )
113	101, 112	fzfigd 10868	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( 1 ... K ) e. Fin )
114		fihashdom 11243	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 ... K ) e. Fin /\ ( 1 ... N ) e. Fin ) -> ( (♯ ` ( 1 ... K ) ) <_ (♯ ` ( 1 ... N ) ) <-> ( 1 ... K ) ~<_ ( 1 ... N ) ) )
115	113, 103, 114	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( (♯ ` ( 1 ... K ) ) <_ (♯ ` ( 1 ... N ) ) <-> ( 1 ... K ) ~<_ ( 1 ... N ) ) )
116		nnre 9311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> N e. RR )
117		lenlt 8401	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. RR /\ N e. RR ) -> ( K <_ N <-> -. N < K ) )
118	85, 116, 117	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( K <_ N <-> -. N < K ) )
119	111, 115, 118	3bitr3d 218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( ( 1 ... K ) ~<_ ( 1 ... N ) <-> -. N < K ) )
120	106, 119	bitrd 188	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( E. w w e. { f | f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) } <-> -. N < K ) )
121	120	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> ( E. w w e. { f | f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) } <-> -. N < K ) )
122	99, 121	mtbird 684	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> -. E. w w e. { f | f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) } )
123		notm0 3542	. . . . . . . . 9 |- ( -. E. w w e. { f | f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) } <-> { f | f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) } = (/) )
124	122, 123	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> { f | f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) } = (/) )
125	12, 124	eqtrid 2283	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> T = (/) )
126	125	fveq2d 5699	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> (♯ ` T ) = (♯ ` (/) ) )
127		hash0 11235	. . . . . 6 |- (♯ ` (/) ) = 0
128	126, 127	eqtrdi 2287	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> (♯ ` T ) = 0 )
129	128	oveq1d 6100	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> ( (♯ ` T ) / (♯ ` S ) ) = ( 0 / (♯ ` S ) ) )
130	11, 12	birthdaylem1g 16087	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( T C_ S /\ S e. Fin /\ S =/= (/) ) )
131	130	simp3d 1042	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> S =/= (/) )
132	131	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> S =/= (/) )
133	130	simp2d 1041	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> S e. Fin )
134		hashnncl 11234	. . . . . . . . 9 |- ( S e. Fin -> ( (♯ ` S ) e. NN <-> S =/= (/) ) )
135	133, 134	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( (♯ ` S ) e. NN <-> S =/= (/) ) )
136	135	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> ( (♯ ` S ) e. NN <-> S =/= (/) ) )
137	132, 136	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> (♯ ` S ) e. NN )
138	137	nncnd 9318	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> (♯ ` S ) e. CC )
139	137	nnap0d 9350	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> (♯ ` S ) # 0 )
140	138, 139	div0apd 9117	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> ( 0 / (♯ ` S ) ) = 0 )
141	129, 140	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> ( (♯ ` T ) / (♯ ` S ) ) = 0 )
142	92	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) e. RR )
143	142	rpefcld 12453	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> ( exp ` -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) ) e. RR+ )
144	143	rpge0d 10101	. . 3 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> 0 <_ ( exp ` -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) ) )
145	141, 144	eqbrtrd 4152	. 2 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) /\ N < K ) -> ( (♯ ` T ) / (♯ ` S ) ) <_ ( exp ` -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) ) )
146		zlelttric 9689	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K <_ N \/ N < K ) )
147	112, 102, 146	syl2anc 415	. 2 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( K <_ N \/ N < K ) )
148	97, 145, 147	mpjaodan 810	1 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( (♯ ` T ) / (♯ ` S ) ) <_ ( exp ` -u ( ( ( ( K ^ 2 ) - K ) / 2 ) / N ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   {cab 2224   =/= wne 2420   C_ wss 3220   (/)c0 3520   class class class wbr 4130   -->wf 5373   -1-1->wf1 5374   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   ~<_ cdom 7021   Fincfn 7022   CCcc 8177   RRcr 8178   0cc0 8179   1c1 8180   x. cmul 8184   < clt 8360   <_ cle 8361   - cmin 8497   -ucneg 8498   / cdiv 9002   NNcn 9304   2c2 9355   NN0cn0 9563   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921   RR+crp 10054   ...cfz 10411   ^cexp 10975  ♯chash 11214   sum_csu 12119   expce 12409   logclog 15957

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299  ax-pre-suploc 8300  ax-addf 8301  ax-mulf 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-map 6924  df-pm 6925  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-xneg 10174  df-xadd 10175  df-ioo 10294  df-ico 10296  df-icc 10297  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-fac 11164  df-bc 11186  df-ihash 11215  df-shft 11580  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-clim 12045  df-sumdc 12120  df-ef 12415  df-e 12416  df-rest 13595  df-topgen 13614  df-psmet 14880  df-xmet 14881  df-met 14882  df-bl 14883  df-mopn 14884  df-top 15099  df-topon 15112  df-bases 15144  df-ntr 15197  df-cn 15289  df-cnp 15290  df-tx 15354  df-cncf 15672  df-limced 15757  df-dvap 15758  df-relog 15959

This theorem is used by:  birthdaylog2  16090