Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  efimpi GIF version

Theorem efimpi 12910
 Description: The exponential function at i times a real number less π. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.)
Assertion
Ref Expression
efimpi (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (𝐴 − π))) = -(exp‘(i · 𝐴)))

Proof of Theorem efimpi
StepHypRef Expression
1 picn 12878 . . . . 5 π ∈ ℂ
2 subcl 7968 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (𝐴 − π) ∈ ℂ)
31, 2mpan2 421 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − π) ∈ ℂ)
4 efival 11446 . . . 4 ((𝐴 − π) ∈ ℂ → (exp‘(i · (𝐴 − π))) = ((cos‘(𝐴 − π)) + (i · (sin‘(𝐴 − π)))))
53, 4syl 14 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (𝐴 − π))) = ((cos‘(𝐴 − π)) + (i · (sin‘(𝐴 − π)))))
6 coscl 11421 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
7 ax-icn 7722 . . . . . 6 i ∈ ℂ
8 sincl 11420 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
9 mulcl 7754 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
107, 8, 9sylancr 410 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
116, 10negdid 8093 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → -((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) = (-(cos‘𝐴) + -(i · (sin‘𝐴))))
12 cosmpi 12907 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 − π)) = -(cos‘𝐴))
13 sinmpi 12906 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 − π)) = -(sin‘𝐴))
1413oveq2d 5790 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘(𝐴 − π))) = (i · -(sin‘𝐴)))
15 mulneg2 8165 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · -(sin‘𝐴)) = -(i · (sin‘𝐴)))
167, 8, 15sylancr 410 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (i · -(sin‘𝐴)) = -(i · (sin‘𝐴)))
1714, 16eqtrd 2172 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘(𝐴 − π))) = -(i · (sin‘𝐴)))
1812, 17oveq12d 5792 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(𝐴 − π)) + (i · (sin‘(𝐴 − π)))) = (-(cos‘𝐴) + -(i · (sin‘𝐴))))
1911, 18eqtr4d 2175 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → -((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) = ((cos‘(𝐴 − π)) + (i · (sin‘(𝐴 − π)))))
205, 19eqtr4d 2175 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (𝐴 − π))) = -((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
21 efival 11446 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
2221negeqd 7964 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → -(exp‘(i · 𝐴)) = -((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
2320, 22eqtr4d 2175 1 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (𝐴 − π))) = -(exp‘(i · 𝐴)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7625  ici 7629   + caddc 7630   · cmul 7632   − cmin 7940  -cneg 7941  expce 11355  sincsin 11357  cosccos 11358  πcpi 11360 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747  ax-pre-suploc 7748  ax-addf 7749  ax-mulf 7750 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-of 5982  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-map 6544  df-pm 6545  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-5 8789  df-6 8790  df-7 8791  df-8 8792  df-9 8793  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-xneg 9566  df-xadd 9567  df-ioo 9682  df-ioc 9683  df-ico 9684  df-icc 9685  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-fac 10479  df-bc 10501  df-ihash 10529  df-shft 10594  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130  df-ef 11361  df-sin 11363  df-cos 11364  df-pi 11366  df-rest 12132  df-topgen 12151  df-psmet 12166  df-xmet 12167  df-met 12168  df-bl 12169  df-mopn 12170  df-top 12175  df-topon 12188  df-bases 12220  df-ntr 12275  df-cn 12367  df-cnp 12368  df-tx 12432  df-cncf 12737  df-limced 12804  df-dvap 12805 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator