Theorem efimpi 15815

Description: The exponential function at i times a real number less π. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
efimpi	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (𝐴 − π))) = -(exp‘(i · 𝐴)))

Proof of Theorem efimpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		picn 15783	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℂ
2		subcl 8490	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (𝐴 − π) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − π) ∈ ℂ)
4		efival 12448	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − π) ∈ ℂ → (exp‘(i · (𝐴 − π))) = ((cos‘(𝐴 − π)) + (i · (sin‘(𝐴 − π)))))
5	3, 4	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (𝐴 − π))) = ((cos‘(𝐴 − π)) + (i · (sin‘(𝐴 − π)))))
6		coscl 12423	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
7		ax-icn 8239	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
8		sincl 12422	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
9		mulcl 8271	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
10	7, 8, 9	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
11	6, 10	negdid 8615	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) = (-(cos‘𝐴) + -(i · (sin‘𝐴))))
12		cosmpi 15812	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 − π)) = -(cos‘𝐴))
13		sinmpi 15811	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 − π)) = -(sin‘𝐴))
14	13	oveq2d 6075	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘(𝐴 − π))) = (i · -(sin‘𝐴)))
15		mulneg2 8688	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · -(sin‘𝐴)) = -(i · (sin‘𝐴)))
16	7, 8, 15	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -(sin‘𝐴)) = -(i · (sin‘𝐴)))
17	14, 16	eqtrd 2267	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘(𝐴 − π))) = -(i · (sin‘𝐴)))
18	12, 17	oveq12d 6077	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(𝐴 − π)) + (i · (sin‘(𝐴 − π)))) = (-(cos‘𝐴) + -(i · (sin‘𝐴))))
19	11, 18	eqtr4d 2270	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) = ((cos‘(𝐴 − π)) + (i · (sin‘(𝐴 − π)))))
20	5, 19	eqtr4d 2270	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (𝐴 − π))) = -((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
21		efival 12448	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
22	21	negeqd 8486	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(exp‘(i · 𝐴)) = -((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
23	20, 22	eqtr4d 2270	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (𝐴 − π))) = -(exp‘(i · 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5358  (class class class)co 6059  ℂcc 8142  ici 8146   + caddc 8147   · cmul 8149   − cmin 8462  -cneg 8463  expce 12358  sincsin 12360  cosccos 12361  πcpi 12363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-iinf 4716  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-mulrcl 8243  ax-addcom 8244  ax-mulcom 8245  ax-addass 8246  ax-mulass 8247  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-1rid 8251  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-precex 8254  ax-cnre 8255  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-ltwlin 8257  ax-pre-lttrn 8258  ax-pre-apti 8259  ax-pre-ltadd 8260  ax-pre-mulgt0 8261  ax-pre-mulext 8262  ax-arch 8263  ax-caucvg 8264  ax-pre-suploc 8265  ax-addf 8266  ax-mulf 8267

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-disj 4092  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4719  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-of 6276  df-1st 6348  df-2nd 6349  df-recs 6550  df-irdg 6615  df-frec 6636  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6781  df-map 6898  df-pm 6899  df-en 6990  df-dom 6991  df-fin 6992  df-sup 7289  df-inf 7290  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-le 8331  df-sub 8464  df-neg 8465  df-reap 8868  df-ap 8875  df-div 8968  df-inn 9259  df-2 9317  df-3 9318  df-4 9319  df-5 9320  df-6 9321  df-7 9322  df-8 9323  df-9 9324  df-n0 9518  df-z 9599  df-uz 9876  df-q 9974  df-rp 10009  df-xneg 10128  df-xadd 10129  df-ioo 10248  df-ioc 10249  df-ico 10250  df-icc 10251  df-fz 10366  df-fzo 10503  df-seqfrec 10838  df-exp 10929  df-fac 11117  df-bc 11139  df-ihash 11168  df-shft 11529  df-cj 11556  df-re 11557  df-im 11558  df-rsqrt 11713  df-abs 11714  df-clim 11994  df-sumdc 12069  df-ef 12364  df-sin 12366  df-cos 12367  df-pi 12369  df-rest 13543  df-topgen 13562  df-psmet 14822  df-xmet 14823  df-met 14824  df-bl 14825  df-mopn 14826  df-top 14994  df-topon 15007  df-bases 15039  df-ntr 15092  df-cn 15184  df-cnp 15185  df-tx 15249  df-cncf 15567  df-limced 15652  df-dvap 15653

This theorem is referenced by: (None)