Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  efval GIF version

Theorem efval 11379
 Description: Value of the exponential function. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
efval (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Proof of Theorem efval
Dummy variables 𝑥 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 9372 . . 3 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 9078 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
3 eqid 2139 . . . 4 (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)))
43eftvalcn 11375 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)))‘𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
5 eftcl 11372 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
63efcllem 11377 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)))) ∈ dom ⇝ )
71, 2, 4, 5, 6isumcl 11206 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
8 oveq1 5781 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑘) = (𝐴𝑘))
98oveq1d 5789 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝑘) / (!‘𝑘)) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
109sumeq2sdv 11151 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
11 df-ef 11366 . . 3 exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑘) / (!‘𝑘)))
1210, 11fvmptg 5497 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ) → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
137, 12mpdan 417 1 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ↦ cmpt 3989  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7630  0cc0 7632   / cdiv 8444  ℕ0cn0 8989  ↑cexp 10304  !cfa 10483  Σcsu 11134  expce 11360 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-rp 9454  df-ico 9689  df-fz 9803  df-fzo 9932  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-fac 10484  df-ihash 10534  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783  df-clim 11060  df-sumdc 11135  df-ef 11366 This theorem is referenced by:  esum  11380  efval2  11383  efcvg  11384  reefcl  11386  efaddlem  11392  eflegeo  11419
 Copyright terms: Public domain W3C validator