Theorem efval 12245

Description: Value of the exponential function. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
efval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Proof of Theorem efval

Dummy variables 𝑥 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 9796	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 9496	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
3		eqid 2230	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)))
4	3	eftvalcn 12241	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)))‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
5		eftcl 12238	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
6	3	efcllem 12243	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)))) ∈ dom ⇝ )
7	1, 2, 4, 5, 6	isumcl 12009	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
8		oveq1 6030	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥↑𝑘) = (𝐴↑𝑘))
9	8	oveq1d 6038	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥↑𝑘) / (!‘𝑘)) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
10	9	sumeq2sdv 11953	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑥↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
11		df-ef 12232	. . 3 ⊢ exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑥↑𝑘) / (!‘𝑘)))
12	10, 11	fvmptg 5725	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ) → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
13	7, 12	mpdan 421	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2201   ↦ cmpt 4151  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  ℂcc 8035  0cc0 8037   / cdiv 8857  ℕ₀cn0 9407  ↑cexp 10806  !cfa 10993  Σcsu 11936  expce 12226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-arch 8156  ax-caucvg 8157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-isom 5337  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-irdg 6541  df-frec 6562  df-1o 6587  df-oadd 6591  df-er 6707  df-en 6915  df-dom 6916  df-fin 6917  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-q 9859  df-rp 9894  df-ico 10134  df-fz 10249  df-fzo 10383  df-seqfrec 10716  df-exp 10807  df-fac 10994  df-ihash 11044  df-cj 11425  df-re 11426  df-im 11427  df-rsqrt 11581  df-abs 11582  df-clim 11862  df-sumdc 11937  df-ef 12232

This theorem is referenced by:  esum  12246  efval2  12249  efcvg  12250  reefcl  12252  efaddlem  12258  eflegeo  12285