Theorem elfznn0 10448

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn0	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 10446	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2	1	simp1bi 1039	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050  0cc0 8127   ≤ cle 8309  ℕ₀cn0 9496  ...cfz 10342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343

This theorem is referenced by:  fz0ssnn0  10450  fz0fzdiffz0  10464  difelfzle  10468  fzo0ssnn0  10560  bcval  11111  bcrpcl  11115  bccmpl  11116  bcp1n  11123  bcp1nk  11124  bcm1n  11131  permnn  11134  pfxmpt  11372  pfxfv  11376  pfxlen  11377  addlenpfx  11383  ccatpfx  11393  pfxswrd  11398  swrdpfx  11399  pfxpfx  11400  pfxpfxid  11401  lenrevpfxcctswrd  11404  swrdccatin1  11417  pfxccat3  11426  pfxccatpfx1  11428  pfxccat3a  11430  swrdccat3b  11432  binomlem  12169  binom1p  12171  binom1dif  12173  bcxmas  12175  arisum  12184  arisum2  12185  pwm1geoserap1  12194  geo2sum  12200  mertenslemub  12220  mertenslemi1  12221  mertenslem2  12222  mertensabs  12223  efcvgfsum  12353  efaddlem  12360  eirraplem  12463  3dvds  12550  bitsfzolem  12640  prmdiveq  12933  hashgcdlem  12935  pcbc  13049  ennnfonelemim  13175  ctinfomlemom  13178  elply2  15600  plyf  15602  elplyd  15606  ply1termlem  15607  plyaddlem1  15612  plymullem1  15613  plyaddlem  15614  plymullem  15615  plycoeid3  15622  plycolemc  15623  plycjlemc  15625  plycj  15626  plycn  15627  plyrecj  15628  dvply1  15630  dvply2g  15631  dvdsppwf1o  15857  sgmppw  15860  1sgmprm  15862  mersenne  15865  lgseisenlem1  15943