Theorem elfznn0 10499

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn0	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 10497	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2	1	simp1bi 1043	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075  0cc0 8169   ≤ cle 8351  ℕ₀cn0 9542  ...cfz 10390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391

This theorem is referenced by:  fz0ssnn0  10501  fz0fzdiffz0  10515  difelfzle  10519  fzo0ssnn0  10611  bcval  11165  bcrpcl  11169  bccmpl  11170  bcp1n  11177  bcp1nk  11178  bcm1n  11185  permnn  11188  pfxmpt  11430  pfxfv  11434  pfxlen  11435  addlenpfx  11441  ccatpfx  11451  pfxswrd  11456  swrdpfx  11457  pfxpfx  11458  pfxpfxid  11459  lenrevpfxcctswrd  11462  swrdccatin1  11475  pfxccat3  11484  pfxccatpfx1  11486  pfxccat3a  11488  swrdccat3b  11490  binomlem  12228  binom1p  12230  binom1dif  12232  bcxmas  12234  arisum  12243  arisum2  12244  pwm1geoserap1  12253  geo2sum  12259  mertenslemub  12279  mertenslemi1  12280  mertenslem2  12281  mertensabs  12282  efcvgfsum  12412  efaddlem  12419  eirraplem  12522  3dvds  12609  bitsfzolem  12699  prmdiveq  12992  hashgcdlem  12994  pcbc  13108  ennnfonelemim  13293  ctinfomlemom  13296  elply2  15759  plyf  15761  elplyd  15765  ply1termlem  15766  plyaddlem1  15771  plymullem1  15772  plyaddlem  15773  plymullem  15774  plycoeid3  15781  plycolemc  15782  plycjlemc  15784  plycj  15785  plycn  15786  plyrecj  15787  dvply1  15789  dvply2g  15790  dvdsppwf1o  16017  sgmppw  16020  1sgmprm  16022  mersenne  16025  lgseisenlem1  16103