Theorem elfznn0 10394

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn0	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 10392	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2	1	simp1bi 1039	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028  0cc0 8075   ≤ cle 8257  ℕ₀cn0 9444  ...cfz 10288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-fz 10289

This theorem is referenced by:  fz0ssnn0  10396  fz0fzdiffz0  10410  difelfzle  10414  fzo0ssnn0  10506  bcval  11057  bcrpcl  11061  bccmpl  11062  bcp1n  11069  bcp1nk  11070  permnn  11079  pfxmpt  11310  pfxfv  11314  pfxlen  11315  addlenpfx  11321  ccatpfx  11331  pfxswrd  11336  swrdpfx  11337  pfxpfx  11338  pfxpfxid  11339  lenrevpfxcctswrd  11342  swrdccatin1  11355  pfxccat3  11364  pfxccatpfx1  11366  pfxccat3a  11368  swrdccat3b  11370  binomlem  12107  binom1p  12109  binom1dif  12111  bcxmas  12113  arisum  12122  arisum2  12123  pwm1geoserap1  12132  geo2sum  12138  mertenslemub  12158  mertenslemi1  12159  mertenslem2  12160  mertensabs  12161  efcvgfsum  12291  efaddlem  12298  eirraplem  12401  3dvds  12488  bitsfzolem  12578  prmdiveq  12871  hashgcdlem  12873  pcbc  12987  ennnfonelemim  13108  ctinfomlemom  13111  elply2  15529  plyf  15531  elplyd  15535  ply1termlem  15536  plyaddlem1  15541  plymullem1  15542  plyaddlem  15543  plymullem  15544  plycoeid3  15551  plycolemc  15552  plycjlemc  15554  plycj  15555  plycn  15556  plyrecj  15557  dvply1  15559  dvply2g  15560  dvdsppwf1o  15786  sgmppw  15789  1sgmprm  15791  mersenne  15794  lgseisenlem1  15872