Theorem elfznn0 10537

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn0	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 10535	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2	1	simp1bi 1043	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088  0cc0 8185   ≤ cle 8367  ℕ₀cn0 9574  ...cfz 10427

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9654  df-uz 9937  df-fz 10428

This theorem is used by:  fz0ssnn0  10539  fz0fzdiffz0  10553  difelfzle  10557  fzo0ssnn0  10649  bcval  11208  bcrpcl  11212  bccmpl  11213  bcp1n  11220  bcp1nk  11221  bcm1n  11228  permnn  11231  pfxmpt  11473  pfxfv  11477  pfxlen  11478  addlenpfx  11484  ccatpfx  11494  pfxswrd  11499  swrdpfx  11500  pfxpfx  11501  pfxpfxid  11502  lenrevpfxcctswrd  11505  swrdccatin1  11518  pfxccat3  11527  pfxccatpfx1  11529  pfxccat3a  11531  swrdccat3b  11533  binomlem  12274  binom1p  12276  binom1dif  12278  bcxmas  12280  arisum  12289  arisum2  12290  pwm1geoserap1  12299  geo2sum  12305  mertenslemub  12325  mertenslemi1  12326  mertenslem2  12327  mertensabs  12328  efcvgfsum  12458  efaddlem  12465  eirraplem  12568  3dvds  12655  bitsfzolem  12745  prmdiveq  13042  hashgcdlem  13044  pcbc  13158  ennnfonelemim  13372  ctinfomlemom  13375  elply2  15978  plyf  15980  elplyd  15984  ply1termlem  15985  plyaddlem1  15990  plymullem1  15991  plyaddlem  15992  plymullem  15993  plycoeid3  16000  plycolemc  16001  plycjlemc  16003  plycj  16004  plycn  16005  plyrecj  16006  dvply1  16008  dvply2g  16009  efnthr  16193  log2tlbndlog2  16237  log2ublem2  16239  log2ublog2  16241  birthdaylem2  16243  birthdaylem3  16244  dvdsppwf1o  16300  sgmppw  16303  1sgmprm  16305  mersenne  16314  lgseisenlem1  16411