Theorem elfznn0 10348

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn0	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 10346	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2	1	simp1bi 1038	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017  0cc0 8031   ≤ cle 8214  ℕ₀cn0 9401  ...cfz 10242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243

This theorem is referenced by:  fz0ssnn0  10350  fz0fzdiffz0  10364  difelfzle  10368  fzo0ssnn0  10459  bcval  11010  bcrpcl  11014  bccmpl  11015  bcp1n  11022  bcp1nk  11023  permnn  11032  pfxmpt  11260  pfxfv  11264  pfxlen  11265  addlenpfx  11271  ccatpfx  11281  pfxswrd  11286  swrdpfx  11287  pfxpfx  11288  pfxpfxid  11289  lenrevpfxcctswrd  11292  swrdccatin1  11305  pfxccat3  11314  pfxccatpfx1  11316  pfxccat3a  11318  swrdccat3b  11320  binomlem  12043  binom1p  12045  binom1dif  12047  bcxmas  12049  arisum  12058  arisum2  12059  pwm1geoserap1  12068  geo2sum  12074  mertenslemub  12094  mertenslemi1  12095  mertenslem2  12096  mertensabs  12097  efcvgfsum  12227  efaddlem  12234  eirraplem  12337  3dvds  12424  bitsfzolem  12514  prmdiveq  12807  hashgcdlem  12809  pcbc  12923  ennnfonelemim  13044  ctinfomlemom  13047  elply2  15458  plyf  15460  elplyd  15464  ply1termlem  15465  plyaddlem1  15470  plymullem1  15471  plyaddlem  15472  plymullem  15473  plycoeid3  15480  plycolemc  15481  plycjlemc  15483  plycj  15484  plycn  15485  plyrecj  15486  dvply1  15488  dvply2g  15489  dvdsppwf1o  15712  sgmppw  15715  1sgmprm  15717  mersenne  15720  lgseisenlem1  15798