Theorem elfznn0 10322

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn0	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 10320	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2	1	simp1bi 1036	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  0cc0 8010   ≤ cle 8193  ℕ₀cn0 9380  ...cfz 10216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-fz 10217

This theorem is referenced by:  fz0ssnn0  10324  fz0fzdiffz0  10338  difelfzle  10342  fzo0ssnn0  10433  bcval  10983  bcrpcl  10987  bccmpl  10988  bcp1n  10995  bcp1nk  10996  permnn  11005  pfxmpt  11227  pfxfv  11231  pfxlen  11232  addlenpfx  11238  ccatpfx  11248  pfxswrd  11253  swrdpfx  11254  pfxpfx  11255  pfxpfxid  11256  lenrevpfxcctswrd  11259  swrdccatin1  11272  pfxccat3  11281  pfxccatpfx1  11283  pfxccat3a  11285  swrdccat3b  11287  binomlem  12009  binom1p  12011  binom1dif  12013  bcxmas  12015  arisum  12024  arisum2  12025  pwm1geoserap1  12034  geo2sum  12040  mertenslemub  12060  mertenslemi1  12061  mertenslem2  12062  mertensabs  12063  efcvgfsum  12193  efaddlem  12200  eirraplem  12303  3dvds  12390  bitsfzolem  12480  prmdiveq  12773  hashgcdlem  12775  pcbc  12889  ennnfonelemim  13010  ctinfomlemom  13013  elply2  15424  plyf  15426  elplyd  15430  ply1termlem  15431  plyaddlem1  15436  plymullem1  15437  plyaddlem  15438  plymullem  15439  plycoeid3  15446  plycolemc  15447  plycjlemc  15449  plycj  15450  plycn  15451  plyrecj  15452  dvply1  15454  dvply2g  15455  dvdsppwf1o  15678  sgmppw  15681  1sgmprm  15683  mersenne  15686  lgseisenlem1  15764