Theorem elfznn0 10339

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn0	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 10337	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2	1	simp1bi 1036	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013  0cc0 8022   ≤ cle 8205  ℕ₀cn0 9392  ...cfz 10233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-fz 10234

This theorem is referenced by:  fz0ssnn0  10341  fz0fzdiffz0  10355  difelfzle  10359  fzo0ssnn0  10450  bcval  11001  bcrpcl  11005  bccmpl  11006  bcp1n  11013  bcp1nk  11014  permnn  11023  pfxmpt  11251  pfxfv  11255  pfxlen  11256  addlenpfx  11262  ccatpfx  11272  pfxswrd  11277  swrdpfx  11278  pfxpfx  11279  pfxpfxid  11280  lenrevpfxcctswrd  11283  swrdccatin1  11296  pfxccat3  11305  pfxccatpfx1  11307  pfxccat3a  11309  swrdccat3b  11311  binomlem  12034  binom1p  12036  binom1dif  12038  bcxmas  12040  arisum  12049  arisum2  12050  pwm1geoserap1  12059  geo2sum  12065  mertenslemub  12085  mertenslemi1  12086  mertenslem2  12087  mertensabs  12088  efcvgfsum  12218  efaddlem  12225  eirraplem  12328  3dvds  12415  bitsfzolem  12505  prmdiveq  12798  hashgcdlem  12800  pcbc  12914  ennnfonelemim  13035  ctinfomlemom  13038  elply2  15449  plyf  15451  elplyd  15455  ply1termlem  15456  plyaddlem1  15461  plymullem1  15462  plyaddlem  15463  plymullem  15464  plycoeid3  15471  plycolemc  15472  plycjlemc  15474  plycj  15475  plycn  15476  plyrecj  15477  dvply1  15479  dvply2g  15480  dvdsppwf1o  15703  sgmppw  15706  1sgmprm  15708  mersenne  15711  lgseisenlem1  15789