Theorem elfznn0 10470

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn0	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 10468	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2	1	simp1bi 1039	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058  0cc0 8143   ≤ cle 8325  ℕ₀cn0 9513  ...cfz 10361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362

This theorem is referenced by:  fz0ssnn0  10472  fz0fzdiffz0  10486  difelfzle  10490  fzo0ssnn0  10582  bcval  11136  bcrpcl  11140  bccmpl  11141  bcp1n  11148  bcp1nk  11149  bcm1n  11156  permnn  11159  pfxmpt  11397  pfxfv  11401  pfxlen  11402  addlenpfx  11408  ccatpfx  11418  pfxswrd  11423  swrdpfx  11424  pfxpfx  11425  pfxpfxid  11426  lenrevpfxcctswrd  11429  swrdccatin1  11442  pfxccat3  11451  pfxccatpfx1  11453  pfxccat3a  11455  swrdccat3b  11457  binomlem  12194  binom1p  12196  binom1dif  12198  bcxmas  12200  arisum  12209  arisum2  12210  pwm1geoserap1  12219  geo2sum  12225  mertenslemub  12245  mertenslemi1  12246  mertenslem2  12247  mertensabs  12248  efcvgfsum  12378  efaddlem  12385  eirraplem  12488  3dvds  12575  bitsfzolem  12665  prmdiveq  12958  hashgcdlem  12960  pcbc  13074  ennnfonelemim  13259  ctinfomlemom  13262  elply2  15726  plyf  15728  elplyd  15732  ply1termlem  15733  plyaddlem1  15738  plymullem1  15739  plyaddlem  15740  plymullem  15741  plycoeid3  15748  plycolemc  15749  plycjlemc  15751  plycj  15752  plycn  15753  plyrecj  15754  dvply1  15756  dvply2g  15757  dvdsppwf1o  15983  sgmppw  15986  1sgmprm  15988  mersenne  15991  lgseisenlem1  16069