Theorem elfznn0 10521

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn0	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 10519	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2	1	simp1bi 1043	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  0cc0 8179   ≤ cle 8361  ℕ₀cn0 9563  ...cfz 10411

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412

This theorem is used by:  fz0ssnn0  10523  fz0fzdiffz0  10537  difelfzle  10541  fzo0ssnn0  10633  bcval  11187  bcrpcl  11191  bccmpl  11192  bcp1n  11199  bcp1nk  11200  bcm1n  11207  permnn  11210  pfxmpt  11452  pfxfv  11456  pfxlen  11457  addlenpfx  11463  ccatpfx  11473  pfxswrd  11478  swrdpfx  11479  pfxpfx  11480  pfxpfxid  11481  lenrevpfxcctswrd  11484  swrdccatin1  11497  pfxccat3  11506  pfxccatpfx1  11508  pfxccat3a  11510  swrdccat3b  11512  binomlem  12250  binom1p  12252  binom1dif  12254  bcxmas  12256  arisum  12265  arisum2  12266  pwm1geoserap1  12275  geo2sum  12281  mertenslemub  12301  mertenslemi1  12302  mertenslem2  12303  mertensabs  12304  efcvgfsum  12434  efaddlem  12441  eirraplem  12544  3dvds  12631  bitsfzolem  12721  prmdiveq  13014  hashgcdlem  13016  pcbc  13130  ennnfonelemim  13315  ctinfomlemom  13318  elply2  15836  plyf  15838  elplyd  15842  ply1termlem  15843  plyaddlem1  15848  plymullem1  15849  plyaddlem  15850  plymullem  15851  plycoeid3  15858  plycolemc  15859  plycjlemc  15861  plycj  15862  plycn  15863  plyrecj  15864  dvply1  15866  dvply2g  15867  log2tlbndlog2  16082  log2ublem2  16084  log2ublog2  16086  birthdaylem2  16088  birthdaylem3  16089  dvdsppwf1o  16103  sgmppw  16106  1sgmprm  16108  mersenne  16111  lgseisenlem1  16189