Theorem elfznn0 10532

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn0	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 10530	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2	1	simp1bi 1043	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  0cc0 8180   ≤ cle 8362  ℕ₀cn0 9568  ...cfz 10422

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-fz 10423

This theorem is used by:  fz0ssnn0  10534  fz0fzdiffz0  10548  difelfzle  10552  fzo0ssnn0  10644  bcval  11203  bcrpcl  11207  bccmpl  11208  bcp1n  11215  bcp1nk  11216  bcm1n  11223  permnn  11226  pfxmpt  11468  pfxfv  11472  pfxlen  11473  addlenpfx  11479  ccatpfx  11489  pfxswrd  11494  swrdpfx  11495  pfxpfx  11496  pfxpfxid  11497  lenrevpfxcctswrd  11500  swrdccatin1  11513  pfxccat3  11522  pfxccatpfx1  11524  pfxccat3a  11526  swrdccat3b  11528  binomlem  12269  binom1p  12271  binom1dif  12273  bcxmas  12275  arisum  12284  arisum2  12285  pwm1geoserap1  12294  geo2sum  12300  mertenslemub  12320  mertenslemi1  12321  mertenslem2  12322  mertensabs  12323  efcvgfsum  12453  efaddlem  12460  eirraplem  12563  3dvds  12650  bitsfzolem  12740  prmdiveq  13037  hashgcdlem  13039  pcbc  13153  ennnfonelemim  13367  ctinfomlemom  13370  elply2  15927  plyf  15929  elplyd  15933  ply1termlem  15934  plyaddlem1  15939  plymullem1  15940  plyaddlem  15941  plymullem  15942  plycoeid3  15949  plycolemc  15950  plycjlemc  15952  plycj  15953  plycn  15954  plyrecj  15955  dvply1  15957  dvply2g  15958  log2tlbndlog2  16181  log2ublem2  16183  log2ublog2  16185  birthdaylem2  16187  birthdaylem3  16188  dvdsppwf1o  16244  sgmppw  16247  1sgmprm  16249  mersenne  16258  lgseisenlem1  16355