Theorem elfznn0 10271

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn0	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 10269	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2	1	simp1bi 1015	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2178   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967  0cc0 7960   ≤ cle 8143  ℕ₀cn0 9330  ...cfz 10165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166

This theorem is referenced by:  fz0ssnn0  10273  fz0fzdiffz0  10287  difelfzle  10291  fzo0ssnn0  10381  bcval  10931  bcrpcl  10935  bccmpl  10936  bcp1n  10943  bcp1nk  10944  permnn  10953  pfxmpt  11171  pfxfv  11175  pfxlen  11176  addlenpfx  11182  ccatpfx  11192  pfxswrd  11197  swrdpfx  11198  pfxpfx  11199  pfxpfxid  11200  lenrevpfxcctswrd  11203  swrdccatin1  11216  pfxccat3  11225  pfxccatpfx1  11227  pfxccat3a  11229  swrdccat3b  11231  binomlem  11909  binom1p  11911  binom1dif  11913  bcxmas  11915  arisum  11924  arisum2  11925  pwm1geoserap1  11934  geo2sum  11940  mertenslemub  11960  mertenslemi1  11961  mertenslem2  11962  mertensabs  11963  efcvgfsum  12093  efaddlem  12100  eirraplem  12203  3dvds  12290  bitsfzolem  12380  prmdiveq  12673  hashgcdlem  12675  pcbc  12789  ennnfonelemim  12910  ctinfomlemom  12913  elply2  15322  plyf  15324  elplyd  15328  ply1termlem  15329  plyaddlem1  15334  plymullem1  15335  plyaddlem  15336  plymullem  15337  plycoeid3  15344  plycolemc  15345  plycjlemc  15347  plycj  15348  plycn  15349  plyrecj  15350  dvply1  15352  dvply2g  15353  dvdsppwf1o  15576  sgmppw  15579  1sgmprm  15581  mersenne  15584  lgseisenlem1  15662