Theorem elfznn0 10538

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn0	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 10536	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2	1	simp1bi 1043	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088  0cc0 8185   ≤ cle 8367  ℕ₀cn0 9574  ...cfz 10428

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429

This theorem is used by:  fz0ssnn0  10540  fz0fzdiffz0  10554  difelfzle  10558  fzo0ssnn0  10650  bcval  11209  bcrpcl  11213  bccmpl  11214  bcp1n  11221  bcp1nk  11222  bcm1n  11229  permnn  11232  pfxmpt  11474  pfxfv  11478  pfxlen  11479  addlenpfx  11485  ccatpfx  11495  pfxswrd  11500  swrdpfx  11501  pfxpfx  11502  pfxpfxid  11503  lenrevpfxcctswrd  11506  swrdccatin1  11519  pfxccat3  11528  pfxccatpfx1  11530  pfxccat3a  11532  swrdccat3b  11534  binomlem  12275  binom1p  12277  binom1dif  12279  bcxmas  12281  arisum  12290  arisum2  12291  pwm1geoserap1  12300  geo2sum  12306  mertenslemub  12326  mertenslemi1  12327  mertenslem2  12328  mertensabs  12329  efcvgfsum  12459  efaddlem  12466  eirraplem  12569  3dvds  12656  bitsfzolem  12746  prmdiveq  13043  hashgcdlem  13045  pcbc  13159  ennnfonelemim  13373  ctinfomlemom  13376  elply2  15961  plyf  15963  elplyd  15967  ply1termlem  15968  plyaddlem1  15973  plymullem1  15974  plyaddlem  15975  plymullem  15976  plycoeid3  15983  plycolemc  15984  plycjlemc  15986  plycj  15987  plycn  15988  plyrecj  15989  dvply1  15991  dvply2g  15992  efnthr  16176  log2tlbndlog2  16220  log2ublem2  16222  log2ublog2  16224  birthdaylem2  16226  birthdaylem3  16227  dvdsppwf1o  16283  sgmppw  16286  1sgmprm  16288  mersenne  16297  lgseisenlem1  16394