Theorem elfznn0 10349

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn0	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 10347	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2	1	simp1bi 1038	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018  0cc0 8032   ≤ cle 8215  ℕ₀cn0 9402  ...cfz 10243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244

This theorem is referenced by:  fz0ssnn0  10351  fz0fzdiffz0  10365  difelfzle  10369  fzo0ssnn0  10461  bcval  11012  bcrpcl  11016  bccmpl  11017  bcp1n  11024  bcp1nk  11025  permnn  11034  pfxmpt  11265  pfxfv  11269  pfxlen  11270  addlenpfx  11276  ccatpfx  11286  pfxswrd  11291  swrdpfx  11292  pfxpfx  11293  pfxpfxid  11294  lenrevpfxcctswrd  11297  swrdccatin1  11310  pfxccat3  11319  pfxccatpfx1  11321  pfxccat3a  11323  swrdccat3b  11325  binomlem  12049  binom1p  12051  binom1dif  12053  bcxmas  12055  arisum  12064  arisum2  12065  pwm1geoserap1  12074  geo2sum  12080  mertenslemub  12100  mertenslemi1  12101  mertenslem2  12102  mertensabs  12103  efcvgfsum  12233  efaddlem  12240  eirraplem  12343  3dvds  12430  bitsfzolem  12520  prmdiveq  12813  hashgcdlem  12815  pcbc  12929  ennnfonelemim  13050  ctinfomlemom  13053  elply2  15465  plyf  15467  elplyd  15471  ply1termlem  15472  plyaddlem1  15477  plymullem1  15478  plyaddlem  15479  plymullem  15480  plycoeid3  15487  plycolemc  15488  plycjlemc  15490  plycj  15491  plycn  15492  plyrecj  15493  dvply1  15495  dvply2g  15496  dvdsppwf1o  15719  sgmppw  15722  1sgmprm  15724  mersenne  15727  lgseisenlem1  15805