Theorem elfznn0 10452

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn0	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 10450	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2	1	simp1bi 1039	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052  0cc0 8129   ≤ cle 8311  ℕ₀cn0 9498  ...cfz 10345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-fz 10346

This theorem is referenced by:  fz0ssnn0  10454  fz0fzdiffz0  10468  difelfzle  10472  fzo0ssnn0  10564  bcval  11115  bcrpcl  11119  bccmpl  11120  bcp1n  11127  bcp1nk  11128  bcm1n  11135  permnn  11138  pfxmpt  11376  pfxfv  11380  pfxlen  11381  addlenpfx  11387  ccatpfx  11397  pfxswrd  11402  swrdpfx  11403  pfxpfx  11404  pfxpfxid  11405  lenrevpfxcctswrd  11408  swrdccatin1  11421  pfxccat3  11430  pfxccatpfx1  11432  pfxccat3a  11434  swrdccat3b  11436  binomlem  12173  binom1p  12175  binom1dif  12177  bcxmas  12179  arisum  12188  arisum2  12189  pwm1geoserap1  12198  geo2sum  12204  mertenslemub  12224  mertenslemi1  12225  mertenslem2  12226  mertensabs  12227  efcvgfsum  12357  efaddlem  12364  eirraplem  12467  3dvds  12554  bitsfzolem  12644  prmdiveq  12937  hashgcdlem  12939  pcbc  13053  ennnfonelemim  13192  ctinfomlemom  13195  elply2  15617  plyf  15619  elplyd  15623  ply1termlem  15624  plyaddlem1  15629  plymullem1  15630  plyaddlem  15631  plymullem  15632  plycoeid3  15639  plycolemc  15640  plycjlemc  15642  plycj  15643  plycn  15644  plyrecj  15645  dvply1  15647  dvply2g  15648  dvdsppwf1o  15874  sgmppw  15877  1sgmprm  15879  mersenne  15882  lgseisenlem1  15960