ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  geoisum1 Unicode version

Theorem geoisum1 11562
Description: The infinite sum of  A ^
1  +  A ^
2... is  ( A  / 
( 1  -  A
) ). (Contributed by NM, 1-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
geoisum1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  sum_ k  e.  NN  ( A ^ k )  =  ( A  /  (
1  -  A ) ) )
Distinct variable group:    A, k

Proof of Theorem geoisum1
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 9595 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 9311 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
1  e.  ZZ )
3 simpr 110 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
4 simpll 527 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
53nnnn0d 9260 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN0 )
64, 5expcld 10688 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A ^
k )  e.  CC )
7 oveq2 5905 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ k
) )
8 eqid 2189 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( A ^ n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( A ^
n ) )
97, 8fvmptg 5613 . . . 4  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( A ^ k )  e.  CC )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  ( A ^
n ) ) `  k )  =  ( A ^ k ) )
103, 6, 9syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( A ^ n ) ) `
 k )  =  ( A ^ k
) )
11 simpl 109 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  A  e.  CC )
12 simpr 110 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  A
)  <  1 )
13 1nn0 9223 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
1413a1i 9 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
1  e.  NN0 )
15 elnnuz 9596 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  <->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
1615, 10sylan2br 288 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  1 ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( A ^ n ) ) `
 k )  =  ( A ^ k
) )
1711, 12, 14, 16geolim2 11555 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( A ^ n ) ) )  ~~>  ( ( A ^ 1 )  /  ( 1  -  A ) ) )
181, 2, 10, 6, 17isumclim 11464 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  sum_ k  e.  NN  ( A ^ k )  =  ( ( A ^
1 )  /  (
1  -  A ) ) )
19 exp1 10560 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 1 )  =  A )
2019adantr 276 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( A ^ 1 )  =  A )
2120oveq1d 5912 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( ( A ^
1 )  /  (
1  -  A ) )  =  ( A  /  ( 1  -  A ) ) )
2218, 21eqtrd 2222 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  sum_ k  e.  NN  ( A ^ k )  =  ( A  /  (
1  -  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1364    e. wcel 2160   class class class wbr 4018    |-> cmpt 4079   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   CCcc 7840   1c1 7843    < clt 8023    - cmin 8159    / cdiv 8660   NNcn 8950   NN0cn0 9207   ZZ>=cuz 9559   ^cexp 10553   abscabs 11041   sum_csu 11396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-frec 6417  df-1o 6442  df-oadd 6446  df-er 6560  df-en 6768  df-dom 6769  df-fin 6770  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-rp 9686  df-fz 10041  df-fzo 10175  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-ihash 10791  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-clim 11322  df-sumdc 11397
This theorem is referenced by:  geoisum1c  11563  geoihalfsum  11565
  Copyright terms: Public domain W3C validator