Theorem geoisum1 11562

Description: The infinite sum of A ^ 1 + A ^ 2... is ( A / ( 1 - A ) ). (Contributed by NM, 1-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
geoisum1	|- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> sum_ k e. NN ( A ^ k ) = ( A / ( 1 - A ) ) )

Distinct variable group:   A, k

Proof of Theorem geoisum1

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9595	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 9311	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> 1 e. ZZ )
3		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ k e. NN ) -> k e. NN )
4		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ k e. NN ) -> A e. CC )
5	3	nnnn0d 9260	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ k e. NN ) -> k e. NN0 )
6	4, 5	expcld 10688	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ k e. NN ) -> ( A ^ k ) e. CC )
7		oveq2 5905	. . . . 5 |- ( n = k -> ( A ^ n ) = ( A ^ k ) )
8		eqid 2189	. . . . 5 |- ( n e. NN |-> ( A ^ n ) ) = ( n e. NN |-> ( A ^ n ) )
9	7, 8	fvmptg 5613	. . . 4 |- ( ( k e. NN /\ ( A ^ k ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> ( A ^ n ) ) ` k ) = ( A ^ k ) )
10	3, 6, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( A ^ n ) ) ` k ) = ( A ^ k ) )
11		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> A e. CC )
12		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( abs ` A ) < 1 )
13		1nn0 9223	. . . . 5 |- 1 e. NN0
14	13	a1i 9	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> 1 e. NN0 )
15		elnnuz 9596	. . . . 5 |- ( k e. NN <-> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
16	15, 10	sylan2br 288	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( A ^ n ) ) ` k ) = ( A ^ k ) )
17	11, 12, 14, 16	geolim2 11555	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( A ^ n ) ) ) ~~> ( ( A ^ 1 ) / ( 1 - A ) ) )
18	1, 2, 10, 6, 17	isumclim 11464	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> sum_ k e. NN ( A ^ k ) = ( ( A ^ 1 ) / ( 1 - A ) ) )
19		exp1 10560	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A ^ 1 ) = A )
20	19	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( A ^ 1 ) = A )
21	20	oveq1d 5912	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( ( A ^ 1 ) / ( 1 - A ) ) = ( A / ( 1 - A ) ) )
22	18, 21	eqtrd 2222	1 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> sum_ k e. NN ( A ^ k ) = ( A / ( 1 - A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   class class class wbr 4018   |-> cmpt 4079   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   CCcc 7840   1c1 7843   < clt 8023   - cmin 8159   / cdiv 8660   NNcn 8950   NN0cn0 9207   ZZ>=cuz 9559   ^cexp 10553   abscabs 11041   sum_csu 11396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-frec 6417  df-1o 6442  df-oadd 6446  df-er 6560  df-en 6768  df-dom 6769  df-fin 6770  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-rp 9686  df-fz 10041  df-fzo 10175  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-ihash 10791  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-clim 11322  df-sumdc 11397

This theorem is referenced by:  geoisum1c  11563  geoihalfsum  11565