Theorem geoisum1 11078

Description: The infinite sum of A ^ 1 + A ^ 2... is ( A / ( 1 - A ) ). (Contributed by NM, 1-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
geoisum1	|- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> sum_ k e. NN ( A ^ k ) = ( A / ( 1 - A ) ) )

Distinct variable group:   A, k

Proof of Theorem geoisum1

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9153	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 8875	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> 1 e. ZZ )
3		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ k e. NN ) -> k e. NN )
4		simpll 497	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ k e. NN ) -> A e. CC )
5	3	nnnn0d 8824	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ k e. NN ) -> k e. NN0 )
6	4, 5	expcld 10217	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ k e. NN ) -> ( A ^ k ) e. CC )
7		oveq2 5698	. . . . 5 |- ( n = k -> ( A ^ n ) = ( A ^ k ) )
8		eqid 2095	. . . . 5 |- ( n e. NN |-> ( A ^ n ) ) = ( n e. NN |-> ( A ^ n ) )
9	7, 8	fvmptg 5415	. . . 4 |- ( ( k e. NN /\ ( A ^ k ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> ( A ^ n ) ) ` k ) = ( A ^ k ) )
10	3, 6, 9	syl2anc 404	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( A ^ n ) ) ` k ) = ( A ^ k ) )
11		simpl 108	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> A e. CC )
12		simpr 109	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( abs ` A ) < 1 )
13		1nn0 8787	. . . . 5 |- 1 e. NN0
14	13	a1i 9	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> 1 e. NN0 )
15		elnnuz 9154	. . . . 5 |- ( k e. NN <-> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
16	15, 10	sylan2br 283	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( A ^ n ) ) ` k ) = ( A ^ k ) )
17	11, 12, 14, 16	geolim2 11071	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( A ^ n ) ) ) ~~> ( ( A ^ 1 ) / ( 1 - A ) ) )
18	1, 2, 10, 6, 17	isumclim 10980	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> sum_ k e. NN ( A ^ k ) = ( ( A ^ 1 ) / ( 1 - A ) ) )
19		exp1 10092	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A ^ 1 ) = A )
20	19	adantr 271	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( A ^ 1 ) = A )
21	20	oveq1d 5705	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> ( ( A ^ 1 ) / ( 1 - A ) ) = ( A / ( 1 - A ) ) )
22	18, 21	eqtrd 2127	1 |- ( ( A e. CC /\ ( abs ` A ) < 1 ) -> sum_ k e. NN ( A ^ k ) = ( A / ( 1 - A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1296   e. wcel 1445   class class class wbr 3867   |-> cmpt 3921   ` cfv 5049  (class class class)co 5690   CCcc 7445   1c1 7448   < clt 7619   - cmin 7750   / cdiv 8236   NNcn 8520   NN0cn0 8771   ZZ>=cuz 9118   ^cexp 10085   abscabs 10561   sum_csu 10912

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560  ax-arch 7561  ax-caucvg 7562

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-if 3414  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-isom 5058  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-frec 6194  df-1o 6219  df-oadd 6223  df-er 6332  df-en 6538  df-dom 6539  df-fin 6540  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-2 8579  df-3 8580  df-4 8581  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-q 9204  df-rp 9234  df-fz 9574  df-fzo 9703  df-iseq 10002  df-seq3 10003  df-exp 10086  df-ihash 10315  df-cj 10407  df-re 10408  df-im 10409  df-rsqrt 10562  df-abs 10563  df-clim 10838  df-sumdc 10913

This theorem is referenced by:  geoisum1c  11079  geoihalfsum  11081