ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  geoisum1 Unicode version

Theorem geoisum1 11078
Description: The infinite sum of  A ^
1  +  A ^
2... is  ( A  / 
( 1  -  A
) ). (Contributed by NM, 1-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
geoisum1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  sum_ k  e.  NN  ( A ^ k )  =  ( A  /  (
1  -  A ) ) )
Distinct variable group:    A, k

Proof of Theorem geoisum1
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 9153 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 8875 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
1  e.  ZZ )
3 simpr 109 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
4 simpll 497 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
53nnnn0d 8824 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN0 )
64, 5expcld 10217 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A ^
k )  e.  CC )
7 oveq2 5698 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ k
) )
8 eqid 2095 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( A ^ n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( A ^
n ) )
97, 8fvmptg 5415 . . . 4  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( A ^ k )  e.  CC )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  ( A ^
n ) ) `  k )  =  ( A ^ k ) )
103, 6, 9syl2anc 404 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( A ^ n ) ) `
 k )  =  ( A ^ k
) )
11 simpl 108 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  A  e.  CC )
12 simpr 109 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  A
)  <  1 )
13 1nn0 8787 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
1413a1i 9 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
1  e.  NN0 )
15 elnnuz 9154 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  <->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
1615, 10sylan2br 283 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  1 ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( A ^ n ) ) `
 k )  =  ( A ^ k
) )
1711, 12, 14, 16geolim2 11071 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( A ^ n ) ) )  ~~>  ( ( A ^ 1 )  /  ( 1  -  A ) ) )
181, 2, 10, 6, 17isumclim 10980 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  sum_ k  e.  NN  ( A ^ k )  =  ( ( A ^
1 )  /  (
1  -  A ) ) )
19 exp1 10092 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 1 )  =  A )
2019adantr 271 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( A ^ 1 )  =  A )
2120oveq1d 5705 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( ( A ^
1 )  /  (
1  -  A ) )  =  ( A  /  ( 1  -  A ) ) )
2218, 21eqtrd 2127 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  sum_ k  e.  NN  ( A ^ k )  =  ( A  /  (
1  -  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1296    e. wcel 1445   class class class wbr 3867    |-> cmpt 3921   ` cfv 5049  (class class class)co 5690   CCcc 7445   1c1 7448    < clt 7619    - cmin 7750    / cdiv 8236   NNcn 8520   NN0cn0 8771   ZZ>=cuz 9118   ^cexp 10085   abscabs 10561   sum_csu 10912
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560  ax-arch 7561  ax-caucvg 7562
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-if 3414  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-isom 5058  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-frec 6194  df-1o 6219  df-oadd 6223  df-er 6332  df-en 6538  df-dom 6539  df-fin 6540  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-2 8579  df-3 8580  df-4 8581  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-q 9204  df-rp 9234  df-fz 9574  df-fzo 9703  df-iseq 10002  df-seq3 10003  df-exp 10086  df-ihash 10315  df-cj 10407  df-re 10408  df-im 10409  df-rsqrt 10562  df-abs 10563  df-clim 10838  df-sumdc 10913
This theorem is referenced by:  geoisum1c  11079  geoihalfsum  11081
  Copyright terms: Public domain W3C validator