Theorem expgt1 10885

Description: A real greater than 1 raised to a positive integer is greater than 1. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expgt1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 1 < (𝐴↑𝑁))

Proof of Theorem expgt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 8221	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
3		simp1 1024	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		simp2 1025	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnnn0d 9499	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		reexpcl 10864	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
7	3, 5, 6	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
8		simp3 1026	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
9		nnm1nn0 9485	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
10	4, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
11		ltle 8309	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (1 < 𝐴 → 1 ≤ 𝐴))
12	1, 3, 11	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → (1 < 𝐴 → 1 ≤ 𝐴))
13	8, 12	mpd 13	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 1 ≤ 𝐴)
14		expge1 10884	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ (𝐴↑(𝑁 − 1)))
15	3, 10, 13, 14	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 1 ≤ (𝐴↑(𝑁 − 1)))
16		reexpcl 10864	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
17	3, 10, 16	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
18		0red 8223	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
19		0lt1 8348	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
20	19	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
21	18, 2, 3, 20, 8	lttrd 8347	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
22		lemul1 8815	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐴↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (1 ≤ (𝐴↑(𝑁 − 1)) ↔ (1 · 𝐴) ≤ ((𝐴↑(𝑁 − 1)) · 𝐴)))
23	2, 17, 3, 21, 22	syl112anc 1278	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → (1 ≤ (𝐴↑(𝑁 − 1)) ↔ (1 · 𝐴) ≤ ((𝐴↑(𝑁 − 1)) · 𝐴)))
24	15, 23	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → (1 · 𝐴) ≤ ((𝐴↑(𝑁 − 1)) · 𝐴))
25		recn 8208	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
26	25	3ad2ant1 1045	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
27	26	mullidd 8240	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
28	27	eqcomd 2237	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 = (1 · 𝐴))
29		expm1t 10875	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) = ((𝐴↑(𝑁 − 1)) · 𝐴))
30	26, 4, 29	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴↑𝑁) = ((𝐴↑(𝑁 − 1)) · 𝐴))
31	24, 28, 30	3brtr4d 4125	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ≤ (𝐴↑𝑁))
32	2, 3, 7, 8, 31	ltletrd 8645	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 1 < (𝐴↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028  ℂcc 8073  ℝcr 8074  0cc0 8075  1c1 8076   · cmul 8080   < clt 8256   ≤ cle 8257   − cmin 8392  ℕcn 9185  ℕ₀cn0 9444  ↑cexp 10846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-seqfrec 10756  df-exp 10847

This theorem is referenced by:  ltexp2a  10899  dvdsprmpweqle  12973  logbgcd1irraplemexp  15762  perfectlem1  15796  perfectlem2  15797