Theorem fldiv4lem1div2uz2 10365

Description: The floor of an integer greater than 1, divided by 4 is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fldiv4lem1div2uz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem fldiv4lem1div2uz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9591	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		4nn 9135	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		znq 9679	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝑁 / 4) ∈ ℚ)
4	1, 2, 3	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 4) ∈ ℚ)
5	4	flqcld 10336	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℤ)
6	5	zred 9429	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ)
7		eluzelre 9592	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
8	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 4 ∈ ℕ)
9	7, 8	nndivred 9022	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
10		peano2rem 8276	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
11	7, 10	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
12	11	rehalfcld 9219	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
13		flqle 10337	. . 3 ⊢ ((𝑁 / 4) ∈ ℚ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
14	4, 13	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
15		1red 8024	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
16		zre 9311	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
17		rehalfcl 9199	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
18	1, 16, 17	3syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
19		2rp 9714	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
20		eluzle 9594	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
21		divge1 9779	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ≤ (𝑁 / 2))
22	19, 7, 20, 21	mp3an2i 1353	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ (𝑁 / 2))
23		eluzelcn 9593	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
24		subhalfhalf 9207	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − (𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
25	23, 24	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − (𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
26	22, 25	breqtrrd 4057	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ (𝑁 − (𝑁 / 2)))
27	15, 7, 18, 26	lesubd 8558	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1))
28		2t2e4 9126	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
29	28	eqcomi 2197	. . . . . . . 8 ⊢ 4 = (2 · 2)
30	29	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 4 = (2 · 2))
31	30	oveq2d 5926	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 4) = (𝑁 / (2 · 2)))
32		2cnd 9045	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℂ)
33	19	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ+)
34	33	rpap0d 9758	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 # 0)
35	23, 32, 32, 34, 34	divdivap1d 8831	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
36	31, 35	eqtr4d 2229	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 4) = ((𝑁 / 2) / 2))
37	36	breq1d 4039	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ ((𝑁 / 2) / 2) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
38	18, 11, 33	lediv1d 9799	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 / 2) / 2) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
39	37, 38	bitr4d 191	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1)))
40	27, 39	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
41	6, 9, 12, 14, 40	letrd 8133	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  ‘cfv 5246  (class class class)co 5910  ℂcc 7860  ℝcr 7861  1c1 7863   · cmul 7867   ≤ cle 8045   − cmin 8180   / cdiv 8681  ℕcn 8972  2c2 9023  4c4 9025  ℤcz 9307  ℤ_≥cuz 9582  ℚcq 9674  ℝ⁺crp 9709  ⌊cfl 10327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-mulrcl 7961  ax-addcom 7962  ax-mulcom 7963  ax-addass 7964  ax-mulass 7965  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-1rid 7969  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-precex 7972  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-apti 7977  ax-pre-ltadd 7978  ax-pre-mulgt0 7979  ax-pre-mulext 7980  ax-arch 7981

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4322  df-po 4325  df-iso 4326  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-1st 6184  df-2nd 6185  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-reap 8584  df-ap 8591  df-div 8682  df-inn 8973  df-2 9031  df-3 9032  df-4 9033  df-n0 9231  df-z 9308  df-uz 9583  df-q 9675  df-rp 9710  df-fl 10329

This theorem is referenced by:  fldiv4lem1div2  10366  gausslemma2dlem4  15122