Theorem fldiv4lem1div2uz2 10466

Description: The floor of an integer greater than 1, divided by 4 is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fldiv4lem1div2uz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem fldiv4lem1div2uz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9672	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		4nn 9215	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		znq 9760	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝑁 / 4) ∈ ℚ)
4	1, 2, 3	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 4) ∈ ℚ)
5	4	flqcld 10437	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℤ)
6	5	zred 9510	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ)
7		eluzelre 9673	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
8	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 4 ∈ ℕ)
9	7, 8	nndivred 9101	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
10		peano2rem 8354	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
11	7, 10	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
12	11	rehalfcld 9299	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
13		flqle 10438	. . 3 ⊢ ((𝑁 / 4) ∈ ℚ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
14	4, 13	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
15		1red 8102	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
16		zre 9391	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
17		rehalfcl 9279	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
18	1, 16, 17	3syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
19		2rp 9795	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
20		eluzle 9675	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
21		divge1 9860	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ≤ (𝑁 / 2))
22	19, 7, 20, 21	mp3an2i 1355	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ (𝑁 / 2))
23		eluzelcn 9674	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
24		subhalfhalf 9287	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − (𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
25	23, 24	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − (𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
26	22, 25	breqtrrd 4078	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ (𝑁 − (𝑁 / 2)))
27	15, 7, 18, 26	lesubd 8637	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1))
28		2t2e4 9206	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
29	28	eqcomi 2210	. . . . . . . 8 ⊢ 4 = (2 · 2)
30	29	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 4 = (2 · 2))
31	30	oveq2d 5972	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 4) = (𝑁 / (2 · 2)))
32		2cnd 9124	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℂ)
33	19	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ+)
34	33	rpap0d 9839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 # 0)
35	23, 32, 32, 34, 34	divdivap1d 8910	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
36	31, 35	eqtr4d 2242	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 4) = ((𝑁 / 2) / 2))
37	36	breq1d 4060	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ ((𝑁 / 2) / 2) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
38	18, 11, 33	lediv1d 9880	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 / 2) / 2) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
39	37, 38	bitr4d 191	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1)))
40	27, 39	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
41	6, 9, 12, 14, 40	letrd 8211	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4050  ‘cfv 5279  (class class class)co 5956  ℂcc 7938  ℝcr 7939  1c1 7941   · cmul 7945   ≤ cle 8123   − cmin 8258   / cdiv 8760  ℕcn 9051  2c2 9102  4c4 9104  ℤcz 9387  ℤ_≥cuz 9663  ℚcq 9755  ℝ⁺crp 9790  ⌊cfl 10428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-mulrcl 8039  ax-addcom 8040  ax-mulcom 8041  ax-addass 8042  ax-mulass 8043  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-1rid 8047  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-precex 8050  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-apti 8055  ax-pre-ltadd 8056  ax-pre-mulgt0 8057  ax-pre-mulext 8058  ax-arch 8059

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-id 4347  df-po 4350  df-iso 4351  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-reap 8663  df-ap 8670  df-div 8761  df-inn 9052  df-2 9110  df-3 9111  df-4 9112  df-n0 9311  df-z 9388  df-uz 9664  df-q 9756  df-rp 9791  df-fl 10430

This theorem is referenced by:  fldiv4lem1div2  10467  gausslemma2dlem4  15611