Theorem fldiv4lem1div2uz2 10755

Description: The floor of an integer greater than 1, divided by 4 is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fldiv4lem1div2uz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem fldiv4lem1div2uz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9941	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		4nn 9473	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		znq 10034	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝑁 / 4) ∈ ℚ)
4	1, 2, 3	sylancl 417	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 4) ∈ ℚ)
5	4	flqcld 10725	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℤ)
6	5	zred 9773	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ)
7		eluzelre 9942	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
8	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 4 ∈ ℕ)
9	7, 8	nndivred 9357	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
10		peano2rem 8595	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
11	7, 10	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
12	11	rehalfcld 9557	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
13		flqle 10726	. . 3 ⊢ ((𝑁 / 4) ∈ ℚ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
14	4, 13	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
15		1red 8342	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
16		zre 9653	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
17		rehalfcl 9537	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
18	1, 16, 17	3syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
19		2rp 10070	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
20		eluzle 9944	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
21		divge1 10135	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ≤ (𝑁 / 2))
22	19, 7, 20, 21	mp3an2i 1383	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ (𝑁 / 2))
23		eluzelcn 9943	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
24		subhalfhalf 9545	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − (𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
25	23, 24	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − (𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
26	22, 25	breqtrrd 4158	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ (𝑁 − (𝑁 / 2)))
27	15, 7, 18, 26	lesubd 8879	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1))
28		2t2e4 9462	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
29	28	eqcomi 2242	. . . . . . . 8 ⊢ 4 = (2 · 2)
30	29	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 4 = (2 · 2))
31	30	oveq2d 6101	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 4) = (𝑁 / (2 · 2)))
32		2cnd 9380	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℂ)
33	19	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ+)
34	33	rpap0d 10114	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 # 0)
35	23, 32, 32, 34, 34	divdivap1d 9155	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
36	31, 35	eqtr4d 2274	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 4) = ((𝑁 / 2) / 2))
37	36	breq1d 4140	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ ((𝑁 / 2) / 2) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
38	18, 11, 33	lediv1d 10155	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 / 2) / 2) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
39	37, 38	bitr4d 191	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1)))
40	27, 39	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
41	6, 9, 12, 14, 40	letrd 8452	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8178  ℝcr 8179  1c1 8181   · cmul 8185   ≤ cle 8362   − cmin 8499   / cdiv 9005  ℕcn 9307  2c2 9358  4c4 9360  ℤcz 9649  ℤ_≥cuz 9931  ℚcq 10029  ℝ⁺crp 10065  ⌊cfl 10714

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-fl 10716

This theorem is used by:  fldiv4lem1div2  10756  gausslemma2dlem4  16305