Theorem 2o01f 14029

Description: Mapping zero and one between om and NN0 style integers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
012of.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )

Assertion

Ref	Expression
2o01f	|- ( G |` 2o ) : 2o --> { 0 , 1 }

Proof of Theorem 2o01f

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		012of.g	. . . . . 6 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
2	1	frechashgf1o 10384	. . . . 5 |- G : om -1-1-onto-> NN0
3		f1of 5442	. . . . 5 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 -> G : om --> NN0 )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- G : om --> NN0
5		2onn 6500	. . . . 5 |- 2o e. om
6		omelon 4593	. . . . . 6 |- om e. On
7	6	onelssi 4414	. . . . 5 |- ( 2o e. om -> 2o C_ om )
8	5, 7	ax-mp 5	. . . 4 |- 2o C_ om
9		fssres 5373	. . . 4 |- ( ( G : om --> NN0 /\ 2o C_ om ) -> ( G |` 2o ) : 2o --> NN0 )
10	4, 8, 9	mp2an 424	. . 3 |- ( G |` 2o ) : 2o --> NN0
11		ffn 5347	. . 3 |- ( ( G |` 2o ) : 2o --> NN0 -> ( G |` 2o ) Fn 2o )
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 |- ( G |` 2o ) Fn 2o
13		fvres 5520	. . . 4 |- ( j e. 2o -> ( ( G |` 2o ) ` j ) = ( G ` j ) )
14		elpri 3606	. . . . . 6 |- ( j e. { (/) , 1o } -> ( j = (/) \/ j = 1o ) )
15		df2o3 6409	. . . . . 6 |- 2o = { (/) , 1o }
16	14, 15	eleq2s 2265	. . . . 5 |- ( j e. 2o -> ( j = (/) \/ j = 1o ) )
17		fveq2 5496	. . . . . . 7 |- ( j = (/) -> ( G ` j ) = ( G ` (/) ) )
18		0zd 9224	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
19	18, 1	frec2uz0d 10355	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( G ` (/) ) = 0 )
20	19	mptru 1357	. . . . . . . 8 |- ( G ` (/) ) = 0
21		c0ex 7914	. . . . . . . . 9 |- 0 e. _V
22	21	prid1 3689	. . . . . . . 8 |- 0 e. { 0 , 1 }
23	20, 22	eqeltri 2243	. . . . . . 7 |- ( G ` (/) ) e. { 0 , 1 }
24	17, 23	eqeltrdi 2261	. . . . . 6 |- ( j = (/) -> ( G ` j ) e. { 0 , 1 } )
25		fveq2 5496	. . . . . . 7 |- ( j = 1o -> ( G ` j ) = ( G ` 1o ) )
26		df-1o 6395	. . . . . . . . . 10 |- 1o = suc (/)
27	26	fveq2i 5499	. . . . . . . . 9 |- ( G ` 1o ) = ( G ` suc (/) )
28		peano1 4578	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. om
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> (/) e. om )
30	18, 1, 29	frec2uzsucd 10357	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 ) )
31	30	mptru 1357	. . . . . . . . 9 |- ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 )
32	20	oveq1i 5863	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = ( 0 + 1 )
33		0p1e1 8992	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 + 1 ) = 1
34	32, 33	eqtri 2191	. . . . . . . . 9 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = 1
35	27, 31, 34	3eqtri 2195	. . . . . . . 8 |- ( G ` 1o ) = 1
36		1ex 7915	. . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
37	36	prid2 3690	. . . . . . . 8 |- 1 e. { 0 , 1 }
38	35, 37	eqeltri 2243	. . . . . . 7 |- ( G ` 1o ) e. { 0 , 1 }
39	25, 38	eqeltrdi 2261	. . . . . 6 |- ( j = 1o -> ( G ` j ) e. { 0 , 1 } )
40	24, 39	jaoi 711	. . . . 5 |- ( ( j = (/) \/ j = 1o ) -> ( G ` j ) e. { 0 , 1 } )
41	16, 40	syl 14	. . . 4 |- ( j e. 2o -> ( G ` j ) e. { 0 , 1 } )
42	13, 41	eqeltrd 2247	. . 3 |- ( j e. 2o -> ( ( G |` 2o ) ` j ) e. { 0 , 1 } )
43	42	rgen 2523	. 2 |- A. j e. 2o ( ( G |` 2o ) ` j ) e. { 0 , 1 }
44		ffnfv 5654	. 2 |- ( ( G |` 2o ) : 2o --> { 0 , 1 } <-> ( ( G |` 2o ) Fn 2o /\ A. j e. 2o ( ( G |` 2o ) ` j ) e. { 0 , 1 } ) )
45	12, 43, 44	mpbir2an 937	1 |- ( G |` 2o ) : 2o --> { 0 , 1 }

Syntax hints:   \/ wo 703   = wceq 1348   T. wtru 1349   e. wcel 2141   A.wral 2448   C_ wss 3121   (/)c0 3414   {cpr 3584   |-> cmpt 4050   suc csuc 4350   omcom 4574   |` cres 4613   Fn wfn 5193   -->wf 5194   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198  (class class class)co 5853  freccfrec 6369   1oc1o 6388   2oc2o 6389   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   NN0cn0 9135   ZZcz 9212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-recs 6284  df-frec 6370  df-1o 6395  df-2o 6396  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488

This theorem is referenced by:  isomninnlem  14062  iswomninnlem  14081  ismkvnnlem  14084