Theorem 2o01f 13876

Description: Mapping zero and one between om and NN0 style integers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
012of.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )

Assertion

Ref	Expression
2o01f	|- ( G |` 2o ) : 2o --> { 0 , 1 }

Proof of Theorem 2o01f

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		012of.g	. . . . . 6 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
2	1	frechashgf1o 10363	. . . . 5 |- G : om -1-1-onto-> NN0
3		f1of 5432	. . . . 5 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 -> G : om --> NN0 )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- G : om --> NN0
5		2onn 6489	. . . . 5 |- 2o e. om
6		omelon 4586	. . . . . 6 |- om e. On
7	6	onelssi 4407	. . . . 5 |- ( 2o e. om -> 2o C_ om )
8	5, 7	ax-mp 5	. . . 4 |- 2o C_ om
9		fssres 5363	. . . 4 |- ( ( G : om --> NN0 /\ 2o C_ om ) -> ( G |` 2o ) : 2o --> NN0 )
10	4, 8, 9	mp2an 423	. . 3 |- ( G |` 2o ) : 2o --> NN0
11		ffn 5337	. . 3 |- ( ( G |` 2o ) : 2o --> NN0 -> ( G |` 2o ) Fn 2o )
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 |- ( G |` 2o ) Fn 2o
13		fvres 5510	. . . 4 |- ( j e. 2o -> ( ( G |` 2o ) ` j ) = ( G ` j ) )
14		elpri 3599	. . . . . 6 |- ( j e. { (/) , 1o } -> ( j = (/) \/ j = 1o ) )
15		df2o3 6398	. . . . . 6 |- 2o = { (/) , 1o }
16	14, 15	eleq2s 2261	. . . . 5 |- ( j e. 2o -> ( j = (/) \/ j = 1o ) )
17		fveq2 5486	. . . . . . 7 |- ( j = (/) -> ( G ` j ) = ( G ` (/) ) )
18		0zd 9203	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
19	18, 1	frec2uz0d 10334	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( G ` (/) ) = 0 )
20	19	mptru 1352	. . . . . . . 8 |- ( G ` (/) ) = 0
21		c0ex 7893	. . . . . . . . 9 |- 0 e. _V
22	21	prid1 3682	. . . . . . . 8 |- 0 e. { 0 , 1 }
23	20, 22	eqeltri 2239	. . . . . . 7 |- ( G ` (/) ) e. { 0 , 1 }
24	17, 23	eqeltrdi 2257	. . . . . 6 |- ( j = (/) -> ( G ` j ) e. { 0 , 1 } )
25		fveq2 5486	. . . . . . 7 |- ( j = 1o -> ( G ` j ) = ( G ` 1o ) )
26		df-1o 6384	. . . . . . . . . 10 |- 1o = suc (/)
27	26	fveq2i 5489	. . . . . . . . 9 |- ( G ` 1o ) = ( G ` suc (/) )
28		peano1 4571	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. om
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> (/) e. om )
30	18, 1, 29	frec2uzsucd 10336	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 ) )
31	30	mptru 1352	. . . . . . . . 9 |- ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 )
32	20	oveq1i 5852	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = ( 0 + 1 )
33		0p1e1 8971	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 + 1 ) = 1
34	32, 33	eqtri 2186	. . . . . . . . 9 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = 1
35	27, 31, 34	3eqtri 2190	. . . . . . . 8 |- ( G ` 1o ) = 1
36		1ex 7894	. . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
37	36	prid2 3683	. . . . . . . 8 |- 1 e. { 0 , 1 }
38	35, 37	eqeltri 2239	. . . . . . 7 |- ( G ` 1o ) e. { 0 , 1 }
39	25, 38	eqeltrdi 2257	. . . . . 6 |- ( j = 1o -> ( G ` j ) e. { 0 , 1 } )
40	24, 39	jaoi 706	. . . . 5 |- ( ( j = (/) \/ j = 1o ) -> ( G ` j ) e. { 0 , 1 } )
41	16, 40	syl 14	. . . 4 |- ( j e. 2o -> ( G ` j ) e. { 0 , 1 } )
42	13, 41	eqeltrd 2243	. . 3 |- ( j e. 2o -> ( ( G |` 2o ) ` j ) e. { 0 , 1 } )
43	42	rgen 2519	. 2 |- A. j e. 2o ( ( G |` 2o ) ` j ) e. { 0 , 1 }
44		ffnfv 5643	. 2 |- ( ( G |` 2o ) : 2o --> { 0 , 1 } <-> ( ( G |` 2o ) Fn 2o /\ A. j e. 2o ( ( G |` 2o ) ` j ) e. { 0 , 1 } ) )
45	12, 43, 44	mpbir2an 932	1 |- ( G |` 2o ) : 2o --> { 0 , 1 }

Syntax hints:   \/ wo 698   = wceq 1343   T. wtru 1344   e. wcel 2136   A.wral 2444   C_ wss 3116   (/)c0 3409   {cpr 3577   |-> cmpt 4043   suc csuc 4343   omcom 4567   |` cres 4606   Fn wfn 5183   -->wf 5184   -1-1-onto->wf1o 5187   ` cfv 5188  (class class class)co 5842  freccfrec 6358   1oc1o 6377   2oc2o 6378   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   NN0cn0 9114   ZZcz 9191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-recs 6273  df-frec 6359  df-1o 6384  df-2o 6385  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467

This theorem is referenced by:  isomninnlem  13909  iswomninnlem  13928  ismkvnnlem  13931