Theorem 2o01f 15935

Description: Mapping zero and one between om and NN0 style integers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
012of.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )

Assertion

Ref	Expression
2o01f	|- ( G |` 2o ) : 2o --> { 0 , 1 }

Proof of Theorem 2o01f

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		012of.g	. . . . . 6 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
2	1	frechashgf1o 10573	. . . . 5 |- G : om -1-1-onto-> NN0
3		f1of 5522	. . . . 5 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 -> G : om --> NN0 )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- G : om --> NN0
5		2onn 6607	. . . . 5 |- 2o e. om
6		omelon 4657	. . . . . 6 |- om e. On
7	6	onelssi 4476	. . . . 5 |- ( 2o e. om -> 2o C_ om )
8	5, 7	ax-mp 5	. . . 4 |- 2o C_ om
9		fssres 5451	. . . 4 |- ( ( G : om --> NN0 /\ 2o C_ om ) -> ( G |` 2o ) : 2o --> NN0 )
10	4, 8, 9	mp2an 426	. . 3 |- ( G |` 2o ) : 2o --> NN0
11		ffn 5425	. . 3 |- ( ( G |` 2o ) : 2o --> NN0 -> ( G |` 2o ) Fn 2o )
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 |- ( G |` 2o ) Fn 2o
13		fvres 5600	. . . 4 |- ( j e. 2o -> ( ( G |` 2o ) ` j ) = ( G ` j ) )
14		elpri 3656	. . . . . 6 |- ( j e. { (/) , 1o } -> ( j = (/) \/ j = 1o ) )
15		df2o3 6516	. . . . . 6 |- 2o = { (/) , 1o }
16	14, 15	eleq2s 2300	. . . . 5 |- ( j e. 2o -> ( j = (/) \/ j = 1o ) )
17		fveq2 5576	. . . . . . 7 |- ( j = (/) -> ( G ` j ) = ( G ` (/) ) )
18		0zd 9384	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
19	18, 1	frec2uz0d 10544	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( G ` (/) ) = 0 )
20	19	mptru 1382	. . . . . . . 8 |- ( G ` (/) ) = 0
21		c0ex 8066	. . . . . . . . 9 |- 0 e. _V
22	21	prid1 3739	. . . . . . . 8 |- 0 e. { 0 , 1 }
23	20, 22	eqeltri 2278	. . . . . . 7 |- ( G ` (/) ) e. { 0 , 1 }
24	17, 23	eqeltrdi 2296	. . . . . 6 |- ( j = (/) -> ( G ` j ) e. { 0 , 1 } )
25		fveq2 5576	. . . . . . 7 |- ( j = 1o -> ( G ` j ) = ( G ` 1o ) )
26		df-1o 6502	. . . . . . . . . 10 |- 1o = suc (/)
27	26	fveq2i 5579	. . . . . . . . 9 |- ( G ` 1o ) = ( G ` suc (/) )
28		peano1 4642	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. om
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> (/) e. om )
30	18, 1, 29	frec2uzsucd 10546	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 ) )
31	30	mptru 1382	. . . . . . . . 9 |- ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 )
32	20	oveq1i 5954	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = ( 0 + 1 )
33		0p1e1 9150	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 + 1 ) = 1
34	32, 33	eqtri 2226	. . . . . . . . 9 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = 1
35	27, 31, 34	3eqtri 2230	. . . . . . . 8 |- ( G ` 1o ) = 1
36		1ex 8067	. . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
37	36	prid2 3740	. . . . . . . 8 |- 1 e. { 0 , 1 }
38	35, 37	eqeltri 2278	. . . . . . 7 |- ( G ` 1o ) e. { 0 , 1 }
39	25, 38	eqeltrdi 2296	. . . . . 6 |- ( j = 1o -> ( G ` j ) e. { 0 , 1 } )
40	24, 39	jaoi 718	. . . . 5 |- ( ( j = (/) \/ j = 1o ) -> ( G ` j ) e. { 0 , 1 } )
41	16, 40	syl 14	. . . 4 |- ( j e. 2o -> ( G ` j ) e. { 0 , 1 } )
42	13, 41	eqeltrd 2282	. . 3 |- ( j e. 2o -> ( ( G |` 2o ) ` j ) e. { 0 , 1 } )
43	42	rgen 2559	. 2 |- A. j e. 2o ( ( G |` 2o ) ` j ) e. { 0 , 1 }
44		ffnfv 5738	. 2 |- ( ( G |` 2o ) : 2o --> { 0 , 1 } <-> ( ( G |` 2o ) Fn 2o /\ A. j e. 2o ( ( G |` 2o ) ` j ) e. { 0 , 1 } ) )
45	12, 43, 44	mpbir2an 945	1 |- ( G |` 2o ) : 2o --> { 0 , 1 }

Syntax hints:   \/ wo 710   = wceq 1373   T. wtru 1374   e. wcel 2176   A.wral 2484   C_ wss 3166   (/)c0 3460   {cpr 3634   |-> cmpt 4105   suc csuc 4412   omcom 4638   |` cres 4677   Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5944  freccfrec 6476   1oc1o 6495   2oc2o 6496   0cc0 7925   1c1 7926   + caddc 7928   NN0cn0 9295   ZZcz 9372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-recs 6391  df-frec 6477  df-1o 6502  df-2o 6503  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649

This theorem is referenced by:  isomninnlem  15973  iswomninnlem  15992  ismkvnnlem  15995