Theorem 2o01f 16894

Description: Mapping zero and one between om and NN0 style integers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
012of.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )

Assertion

Ref	Expression
2o01f	|- ( G |` 2o ) : 2o --> { 0 , 1 }

Proof of Theorem 2o01f

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		012of.g	. . . . . 6 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
2	1	frechashgf1o 10814	. . . . 5 |- G : om -1-1-onto-> NN0
3		f1of 5619	. . . . 5 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 -> G : om --> NN0 )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- G : om --> NN0
5		2onn 6767	. . . . 5 |- 2o e. om
6		omelon 4736	. . . . . 6 |- om e. On
7	6	onelssi 4555	. . . . 5 |- ( 2o e. om -> 2o C_ om )
8	5, 7	ax-mp 5	. . . 4 |- 2o C_ om
9		fssres 5545	. . . 4 |- ( ( G : om --> NN0 /\ 2o C_ om ) -> ( G |` 2o ) : 2o --> NN0 )
10	4, 8, 9	mp2an 426	. . 3 |- ( G |` 2o ) : 2o --> NN0
11		ffn 5513	. . 3 |- ( ( G |` 2o ) : 2o --> NN0 -> ( G |` 2o ) Fn 2o )
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 |- ( G |` 2o ) Fn 2o
13		fvres 5699	. . . 4 |- ( j e. 2o -> ( ( G |` 2o ) ` j ) = ( G ` j ) )
14		elpri 3717	. . . . . 6 |- ( j e. { (/) , 1o } -> ( j = (/) \/ j = 1o ) )
15		df2o3 6675	. . . . . 6 |- 2o = { (/) , 1o }
16	14, 15	eleq2s 2329	. . . . 5 |- ( j e. 2o -> ( j = (/) \/ j = 1o ) )
17		fveq2 5675	. . . . . . 7 |- ( j = (/) -> ( G ` j ) = ( G ` (/) ) )
18		0zd 9606	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
19	18, 1	frec2uz0d 10785	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( G ` (/) ) = 0 )
20	19	mptru 1407	. . . . . . . 8 |- ( G ` (/) ) = 0
21		c0ex 8284	. . . . . . . . 9 |- 0 e. _V
22	21	prid1 3802	. . . . . . . 8 |- 0 e. { 0 , 1 }
23	20, 22	eqeltri 2307	. . . . . . 7 |- ( G ` (/) ) e. { 0 , 1 }
24	17, 23	eqeltrdi 2325	. . . . . 6 |- ( j = (/) -> ( G ` j ) e. { 0 , 1 } )
25		fveq2 5675	. . . . . . 7 |- ( j = 1o -> ( G ` j ) = ( G ` 1o ) )
26		df-1o 6660	. . . . . . . . . 10 |- 1o = suc (/)
27	26	fveq2i 5678	. . . . . . . . 9 |- ( G ` 1o ) = ( G ` suc (/) )
28		peano1 4721	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. om
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> (/) e. om )
30	18, 1, 29	frec2uzsucd 10787	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 ) )
31	30	mptru 1407	. . . . . . . . 9 |- ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 )
32	20	oveq1i 6068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = ( 0 + 1 )
33		0p1e1 9368	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 + 1 ) = 1
34	32, 33	eqtri 2255	. . . . . . . . 9 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = 1
35	27, 31, 34	3eqtri 2259	. . . . . . . 8 |- ( G ` 1o ) = 1
36		1ex 8285	. . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
37	36	prid2 3803	. . . . . . . 8 |- 1 e. { 0 , 1 }
38	35, 37	eqeltri 2307	. . . . . . 7 |- ( G ` 1o ) e. { 0 , 1 }
39	25, 38	eqeltrdi 2325	. . . . . 6 |- ( j = 1o -> ( G ` j ) e. { 0 , 1 } )
40	24, 39	jaoi 724	. . . . 5 |- ( ( j = (/) \/ j = 1o ) -> ( G ` j ) e. { 0 , 1 } )
41	16, 40	syl 14	. . . 4 |- ( j e. 2o -> ( G ` j ) e. { 0 , 1 } )
42	13, 41	eqeltrd 2311	. . 3 |- ( j e. 2o -> ( ( G |` 2o ) ` j ) e. { 0 , 1 } )
43	42	rgen 2597	. 2 |- A. j e. 2o ( ( G |` 2o ) ` j ) e. { 0 , 1 }
44		ffnfv 5840	. 2 |- ( ( G |` 2o ) : 2o --> { 0 , 1 } <-> ( ( G |` 2o ) Fn 2o /\ A. j e. 2o ( ( G |` 2o ) ` j ) e. { 0 , 1 } ) )
45	12, 43, 44	mpbir2an 951	1 |- ( G |` 2o ) : 2o --> { 0 , 1 }

Syntax hints:   \/ wo 716   = wceq 1398   T. wtru 1399   e. wcel 2205   A.wral 2522   C_ wss 3214   (/)c0 3512   {cpr 3695   |-> cmpt 4176   suc csuc 4491   omcom 4717   |` cres 4756   Fn wfn 5352   -->wf 5353   -1-1-onto->wf1o 5356   ` cfv 5357  (class class class)co 6058  freccfrec 6634   1oc1o 6653   2oc2o 6654   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   NN0cn0 9513   ZZcz 9594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-2o 6661  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872

This theorem is referenced by:  isomninnlem  16940  iswomninnlem  16960  ismkvnnlem  16963