Theorem 2o01f 14749

Description: Mapping zero and one between om and NN0 style integers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
012of.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )

Assertion

Ref	Expression
2o01f	|- ( G |` 2o ) : 2o --> { 0 , 1 }

Proof of Theorem 2o01f

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		012of.g	. . . . . 6 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
2	1	frechashgf1o 10428	. . . . 5 |- G : om -1-1-onto-> NN0
3		f1of 5462	. . . . 5 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 -> G : om --> NN0 )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- G : om --> NN0
5		2onn 6522	. . . . 5 |- 2o e. om
6		omelon 4609	. . . . . 6 |- om e. On
7	6	onelssi 4430	. . . . 5 |- ( 2o e. om -> 2o C_ om )
8	5, 7	ax-mp 5	. . . 4 |- 2o C_ om
9		fssres 5392	. . . 4 |- ( ( G : om --> NN0 /\ 2o C_ om ) -> ( G |` 2o ) : 2o --> NN0 )
10	4, 8, 9	mp2an 426	. . 3 |- ( G |` 2o ) : 2o --> NN0
11		ffn 5366	. . 3 |- ( ( G |` 2o ) : 2o --> NN0 -> ( G |` 2o ) Fn 2o )
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 |- ( G |` 2o ) Fn 2o
13		fvres 5540	. . . 4 |- ( j e. 2o -> ( ( G |` 2o ) ` j ) = ( G ` j ) )
14		elpri 3616	. . . . . 6 |- ( j e. { (/) , 1o } -> ( j = (/) \/ j = 1o ) )
15		df2o3 6431	. . . . . 6 |- 2o = { (/) , 1o }
16	14, 15	eleq2s 2272	. . . . 5 |- ( j e. 2o -> ( j = (/) \/ j = 1o ) )
17		fveq2 5516	. . . . . . 7 |- ( j = (/) -> ( G ` j ) = ( G ` (/) ) )
18		0zd 9265	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
19	18, 1	frec2uz0d 10399	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( G ` (/) ) = 0 )
20	19	mptru 1362	. . . . . . . 8 |- ( G ` (/) ) = 0
21		c0ex 7951	. . . . . . . . 9 |- 0 e. _V
22	21	prid1 3699	. . . . . . . 8 |- 0 e. { 0 , 1 }
23	20, 22	eqeltri 2250	. . . . . . 7 |- ( G ` (/) ) e. { 0 , 1 }
24	17, 23	eqeltrdi 2268	. . . . . 6 |- ( j = (/) -> ( G ` j ) e. { 0 , 1 } )
25		fveq2 5516	. . . . . . 7 |- ( j = 1o -> ( G ` j ) = ( G ` 1o ) )
26		df-1o 6417	. . . . . . . . . 10 |- 1o = suc (/)
27	26	fveq2i 5519	. . . . . . . . 9 |- ( G ` 1o ) = ( G ` suc (/) )
28		peano1 4594	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. om
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> (/) e. om )
30	18, 1, 29	frec2uzsucd 10401	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 ) )
31	30	mptru 1362	. . . . . . . . 9 |- ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 )
32	20	oveq1i 5885	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = ( 0 + 1 )
33		0p1e1 9033	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 + 1 ) = 1
34	32, 33	eqtri 2198	. . . . . . . . 9 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = 1
35	27, 31, 34	3eqtri 2202	. . . . . . . 8 |- ( G ` 1o ) = 1
36		1ex 7952	. . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
37	36	prid2 3700	. . . . . . . 8 |- 1 e. { 0 , 1 }
38	35, 37	eqeltri 2250	. . . . . . 7 |- ( G ` 1o ) e. { 0 , 1 }
39	25, 38	eqeltrdi 2268	. . . . . 6 |- ( j = 1o -> ( G ` j ) e. { 0 , 1 } )
40	24, 39	jaoi 716	. . . . 5 |- ( ( j = (/) \/ j = 1o ) -> ( G ` j ) e. { 0 , 1 } )
41	16, 40	syl 14	. . . 4 |- ( j e. 2o -> ( G ` j ) e. { 0 , 1 } )
42	13, 41	eqeltrd 2254	. . 3 |- ( j e. 2o -> ( ( G |` 2o ) ` j ) e. { 0 , 1 } )
43	42	rgen 2530	. 2 |- A. j e. 2o ( ( G |` 2o ) ` j ) e. { 0 , 1 }
44		ffnfv 5675	. 2 |- ( ( G |` 2o ) : 2o --> { 0 , 1 } <-> ( ( G |` 2o ) Fn 2o /\ A. j e. 2o ( ( G |` 2o ) ` j ) e. { 0 , 1 } ) )
45	12, 43, 44	mpbir2an 942	1 |- ( G |` 2o ) : 2o --> { 0 , 1 }

Syntax hints:   \/ wo 708   = wceq 1353   T. wtru 1354   e. wcel 2148   A.wral 2455   C_ wss 3130   (/)c0 3423   {cpr 3594   |-> cmpt 4065   suc csuc 4366   omcom 4590   |` cres 4629   Fn wfn 5212   -->wf 5213   -1-1-onto->wf1o 5216   ` cfv 5217  (class class class)co 5875  freccfrec 6391   1oc1o 6410   2oc2o 6411   0cc0 7811   1c1 7812   + caddc 7814   NN0cn0 9176   ZZcz 9253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-recs 6306  df-frec 6392  df-1o 6417  df-2o 6418  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529

This theorem is referenced by:  isomninnlem  14781  iswomninnlem  14800  ismkvnnlem  14803