Theorem frechashgf1o 10610

Description: 𝐺 maps ω one-to-one onto ℕ₀. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
frecfzennn.1	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)

Assertion

Ref	Expression
frechashgf1o	⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0

Proof of Theorem frechashgf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 9419	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℤ)
2		frecfzennn.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
3	1, 2	frec2uzf1od 10588	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0))
4	3	mptru 1382	. 2 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0)
5		nn0uz 9718	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
6		f1oeq3 5534	. . 3 ⊢ (ℕ0 = (ℤ≥‘0) → (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 ↔ 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0)))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 ↔ 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0))
8	4, 7	mpbir 146	1 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1373  ⊤wtru 1374   ↦ cmpt 4121  ωcom 4656  –1-1-onto→wf1o 5289  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967  freccfrec 6499  0cc0 7960  1c1 7961   + caddc 7963  ℕ₀cn0 9330  ℤcz 9407  ℤ_≥cuz 9683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-recs 6414  df-frec 6500  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684

This theorem is referenced by:  fzfig  10612  nnenom  10616  fnn0nninf  10620  0tonninf  10622  1tonninf  10623  omgadd  10984  ennnfonelemp1  12892  ennnfonelemhdmp1  12895  ennnfonelemss  12896  ennnfonelemkh  12898  ennnfonelemhf1o  12899  ennnfonelemex  12900  ennnfonelemnn0  12908  ctinfomlemom  12913  012of  16130  2o01f  16131  isomninnlem  16171  iswomninnlem  16190  ismkvnnlem  16193