Theorem frechashgf1o 10425

Description: 𝐺 maps ω one-to-one onto ℕ₀. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
frecfzennn.1	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)

Assertion

Ref	Expression
frechashgf1o	⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0

Proof of Theorem frechashgf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 9263	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℤ)
2		frecfzennn.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
3	1, 2	frec2uzf1od 10403	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0))
4	3	mptru 1362	. 2 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0)
5		nn0uz 9560	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
6		f1oeq3 5451	. . 3 ⊢ (ℕ0 = (ℤ≥‘0) → (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 ↔ 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0)))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 ↔ 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0))
8	4, 7	mpbir 146	1 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1353  ⊤wtru 1354   ↦ cmpt 4064  ωcom 4589  –1-1-onto→wf1o 5215  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874  freccfrec 6390  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813  ℕ₀cn0 9174  ℤcz 9251  ℤ_≥cuz 9526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-inn 8918  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527

This theorem is referenced by:  fzfig  10427  nnenom  10431  fnn0nninf  10434  0tonninf  10436  1tonninf  10437  omgadd  10777  ennnfonelemp1  12401  ennnfonelemhdmp1  12404  ennnfonelemss  12405  ennnfonelemkh  12407  ennnfonelemhf1o  12408  ennnfonelemex  12409  ennnfonelemnn0  12417  ctinfomlemom  12422  012of  14627  2o01f  14628  isomninnlem  14660  iswomninnlem  14679  ismkvnnlem  14682