ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frechashgf1o GIF version

Theorem frechashgf1o 10428
Description: 𝐺 maps ω one-to-one onto 0. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
frecfzennn.1 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
Assertion
Ref Expression
frechashgf1o 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0

Proof of Theorem frechashgf1o
StepHypRef Expression
1 0zd 9265 . . . 4 (⊤ → 0 ∈ ℤ)
2 frecfzennn.1 . . . 4 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
31, 2frec2uzf1od 10406 . . 3 (⊤ → 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ‘0))
43mptru 1362 . 2 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ‘0)
5 nn0uz 9562 . . 3 0 = (ℤ‘0)
6 f1oeq3 5452 . . 3 (ℕ0 = (ℤ‘0) → (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ‘0)))
75, 6ax-mp 5 . 2 (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ‘0))
84, 7mpbir 146 1 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 105   = wceq 1353  wtru 1354  cmpt 4065  ωcom 4590  1-1-ontowf1o 5216  cfv 5217  (class class class)co 5875  freccfrec 6391  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814  0cn0 9176  cz 9253  cuz 9528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529
This theorem is referenced by:  fzfig  10430  nnenom  10434  fnn0nninf  10437  0tonninf  10439  1tonninf  10440  omgadd  10782  ennnfonelemp1  12407  ennnfonelemhdmp1  12410  ennnfonelemss  12411  ennnfonelemkh  12413  ennnfonelemhf1o  12414  ennnfonelemex  12415  ennnfonelemnn0  12423  ctinfomlemom  12428  012of  14748  2o01f  14749  isomninnlem  14781  iswomninnlem  14800  ismkvnnlem  14803
  Copyright terms: Public domain W3C validator