Theorem gsumzfi 14248

Description: Value of a finite group sum over the zero element. (Contributed by Jim Kingdon, 24-May-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
gsumz.z	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
gsumzfi	|- ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) -> ( G gsumg ( k e. A |-> .0. ) ) = .0. )

Distinct variable groups:   .0. , k   A, k   k, G

Proof of Theorem gsumzfi

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpteq1 4216	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( k e. w |-> .0. ) = ( k e. (/) |-> .0. ) )
2	1	oveq2d 6104	. . 3 |- ( w = (/) -> ( G gsumg ( k e. w |-> .0. ) ) = ( G gsumg ( k e. (/) |-> .0. ) ) )
3	2	eqeq1d 2247	. 2 |- ( w = (/) -> ( ( G gsumg ( k e. w |-> .0. ) ) = .0. <-> ( G gsumg ( k e. (/) |-> .0. ) ) = .0. ) )
4		mpteq1 4216	. . . 4 |- ( w = y -> ( k e. w |-> .0. ) = ( k e. y |-> .0. ) )
5	4	oveq2d 6104	. . 3 |- ( w = y -> ( G gsumg ( k e. w |-> .0. ) ) = ( G gsumg ( k e. y |-> .0. ) ) )
6	5	eqeq1d 2247	. 2 |- ( w = y -> ( ( G gsumg ( k e. w |-> .0. ) ) = .0. <-> ( G gsumg ( k e. y |-> .0. ) ) = .0. ) )
7		mpteq1 4216	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( k e. w |-> .0. ) = ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) )
8	7	oveq2d 6104	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( G gsumg ( k e. w |-> .0. ) ) = ( G gsumg ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) ) )
9	8	eqeq1d 2247	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( G gsumg ( k e. w |-> .0. ) ) = .0. <-> ( G gsumg ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) ) = .0. ) )
10		mpteq1 4216	. . . 4 |- ( w = A -> ( k e. w |-> .0. ) = ( k e. A |-> .0. ) )
11	10	oveq2d 6104	. . 3 |- ( w = A -> ( G gsumg ( k e. w |-> .0. ) ) = ( G gsumg ( k e. A |-> .0. ) ) )
12	11	eqeq1d 2247	. 2 |- ( w = A -> ( ( G gsumg ( k e. w |-> .0. ) ) = .0. <-> ( G gsumg ( k e. A |-> .0. ) ) = .0. ) )
13		gsum0cmn 14244	. . . 4 |- ( G e. CMnd -> ( G gsumg (/) ) = ( 0g ` G ) )
14		mpt0 5514	. . . . 5 |- ( k e. (/) |-> .0. ) = (/)
15	14	oveq2i 6099	. . . 4 |- ( G gsumg ( k e. (/) |-> .0. ) ) = ( G gsumg (/) )
16		gsumz.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` G )
17	13, 15, 16	3eqtr4g 2296	. . 3 |- ( G e. CMnd -> ( G gsumg ( k e. (/) |-> .0. ) ) = .0. )
18	17	adantr 276	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) -> ( G gsumg ( k e. (/) |-> .0. ) ) = .0. )
19		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
20		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
21		simplll 539	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> G e. CMnd )
22		cmnmnd 14194	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. CMnd -> G e. Mnd )
23	19, 16	mndidcl 13802	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. Mnd -> .0. e. ( Base ` G ) )
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( G e. CMnd -> .0. e. ( Base ` G ) )
25	24	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. CMnd /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> .0. e. ( Base ` G ) )
26	25	fmpttd 5866	. . . . . . 7 |- ( G e. CMnd -> ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) : ( y u. { z } ) --> ( Base ` G ) )
27	21, 26	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) : ( y u. { z } ) --> ( Base ` G ) )
28		simplr 533	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
29		simprr 537	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
30	29	eldifbd 3232	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
31	19, 20, 21, 27, 28, 29, 30	gsump1 14247	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( G gsumg ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) ) = ( ( G gsumg ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) |` y ) ) ( +g ` G ) ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) ` z ) ) )
32	31	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> .0. ) ) = .0. ) -> ( G gsumg ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) ) = ( ( G gsumg ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) |` y ) ) ( +g ` G ) ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) ` z ) ) )
33		ssun1 3392	. . . . . . . . 9 |- y C_ ( y u. { z } )
34	33	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> .0. ) ) = .0. ) -> y C_ ( y u. { z } ) )
35	34	resmptd 5117	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> .0. ) ) = .0. ) -> ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) |` y ) = ( k e. y |-> .0. ) )
36	35	oveq2d 6104	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> .0. ) ) = .0. ) -> ( G gsumg ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) |` y ) ) = ( G gsumg ( k e. y |-> .0. ) ) )
37		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> .0. ) ) = .0. ) -> ( G gsumg ( k e. y |-> .0. ) ) = .0. )
38	36, 37	eqtrd 2271	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> .0. ) ) = .0. ) -> ( G gsumg ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) |` y ) ) = .0. )
39		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) = ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. )
40		eqidd 2239	. . . . . . 7 |- ( k = z -> .0. = .0. )
41		vsnid 3741	. . . . . . . 8 |- z e. { z }
42		elun2 3397	. . . . . . . 8 |- ( z e. { z } -> z e. ( y u. { z } ) )
43	41, 42	mp1i 10	. . . . . . 7 |- ( G e. CMnd -> z e. ( y u. { z } ) )
44	39, 40, 43, 24	fvmptd3 5802	. . . . . 6 |- ( G e. CMnd -> ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) ` z ) = .0. )
45	44	ad4antr 498	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> .0. ) ) = .0. ) -> ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) ` z ) = .0. )
46	38, 45	oveq12d 6106	. . . 4 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> .0. ) ) = .0. ) -> ( ( G gsumg ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) |` y ) ) ( +g ` G ) ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) ` z ) ) = ( .0. ( +g ` G ) .0. ) )
47	22	ad4antr 498	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> .0. ) ) = .0. ) -> G e. Mnd )
48	19, 20, 16	mndlid 13807	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ .0. e. ( Base ` G ) ) -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
49	47, 23, 48	syl2anc2 416	. . . 4 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> .0. ) ) = .0. ) -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
50	32, 46, 49	3eqtrd 2275	. . 3 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> .0. ) ) = .0. ) -> ( G gsumg ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) ) = .0. )
51	50	ex 115	. 2 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( G gsumg ( k e. y |-> .0. ) ) = .0. -> ( G gsumg ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) ) = .0. ) )
52		simpr 110	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) -> A e. Fin )
53	3, 6, 9, 12, 18, 51, 52	findcard2sd 7200	1 |- ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) -> ( G gsumg ( k e. A |-> .0. ) ) = .0. )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   \ cdif 3217   u. cun 3218   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3709   |-> cmpt 4193   |` cres 4778   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Fincfn 7026   Basecbs 13410   +g cplusg 13490   0gc0g 13669   Mndcmnd 13788  CMndccmn 14177   gsum_g cgsu 14240

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-inn 9314  df-2 9372  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-ihash 11237  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-0g 13671  df-gzsum 13672  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-minusg 13868  df-mulg 13982  df-cmn 14179  df-gsumfi 14241

This theorem is used by: (None)