Theorem gsumzfi 14158

Description: Value of a finite group sum over the zero element. (Contributed by Jim Kingdon, 24-May-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
gsumz.z	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
gsumzfi	|- ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) -> ( G gsumg ( k e. A |-> .0. ) ) = .0. )

Distinct variable groups:   .0. , k   A, k   k, G

Proof of Theorem gsumzfi

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpteq1 4215	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( k e. w |-> .0. ) = ( k e. (/) |-> .0. ) )
2	1	oveq2d 6101	. . 3 |- ( w = (/) -> ( G gsumg ( k e. w |-> .0. ) ) = ( G gsumg ( k e. (/) |-> .0. ) ) )
3	2	eqeq1d 2247	. 2 |- ( w = (/) -> ( ( G gsumg ( k e. w |-> .0. ) ) = .0. <-> ( G gsumg ( k e. (/) |-> .0. ) ) = .0. ) )
4		mpteq1 4215	. . . 4 |- ( w = y -> ( k e. w |-> .0. ) = ( k e. y |-> .0. ) )
5	4	oveq2d 6101	. . 3 |- ( w = y -> ( G gsumg ( k e. w |-> .0. ) ) = ( G gsumg ( k e. y |-> .0. ) ) )
6	5	eqeq1d 2247	. 2 |- ( w = y -> ( ( G gsumg ( k e. w |-> .0. ) ) = .0. <-> ( G gsumg ( k e. y |-> .0. ) ) = .0. ) )
7		mpteq1 4215	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( k e. w |-> .0. ) = ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) )
8	7	oveq2d 6101	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( G gsumg ( k e. w |-> .0. ) ) = ( G gsumg ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) ) )
9	8	eqeq1d 2247	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( G gsumg ( k e. w |-> .0. ) ) = .0. <-> ( G gsumg ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) ) = .0. ) )
10		mpteq1 4215	. . . 4 |- ( w = A -> ( k e. w |-> .0. ) = ( k e. A |-> .0. ) )
11	10	oveq2d 6101	. . 3 |- ( w = A -> ( G gsumg ( k e. w |-> .0. ) ) = ( G gsumg ( k e. A |-> .0. ) ) )
12	11	eqeq1d 2247	. 2 |- ( w = A -> ( ( G gsumg ( k e. w |-> .0. ) ) = .0. <-> ( G gsumg ( k e. A |-> .0. ) ) = .0. ) )
13		gsum0cmn 14154	. . . 4 |- ( G e. CMnd -> ( G gsumg (/) ) = ( 0g ` G ) )
14		mpt0 5511	. . . . 5 |- ( k e. (/) |-> .0. ) = (/)
15	14	oveq2i 6096	. . . 4 |- ( G gsumg ( k e. (/) |-> .0. ) ) = ( G gsumg (/) )
16		gsumz.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` G )
17	13, 15, 16	3eqtr4g 2296	. . 3 |- ( G e. CMnd -> ( G gsumg ( k e. (/) |-> .0. ) ) = .0. )
18	17	adantr 276	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) -> ( G gsumg ( k e. (/) |-> .0. ) ) = .0. )
19		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
20		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
21		simplll 539	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> G e. CMnd )
22		cmnmnd 14104	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. CMnd -> G e. Mnd )
23	19, 16	mndidcl 13743	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. Mnd -> .0. e. ( Base ` G ) )
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( G e. CMnd -> .0. e. ( Base ` G ) )
25	24	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. CMnd /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> .0. e. ( Base ` G ) )
26	25	fmpttd 5863	. . . . . . 7 |- ( G e. CMnd -> ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) : ( y u. { z } ) --> ( Base ` G ) )
27	21, 26	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) : ( y u. { z } ) --> ( Base ` G ) )
28		simplr 533	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
29		simprr 537	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
30	29	eldifbd 3232	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
31	19, 20, 21, 27, 28, 29, 30	gsump1 14157	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( G gsumg ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) ) = ( ( G gsumg ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) |` y ) ) ( +g ` G ) ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) ` z ) ) )
32	31	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> .0. ) ) = .0. ) -> ( G gsumg ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) ) = ( ( G gsumg ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) |` y ) ) ( +g ` G ) ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) ` z ) ) )
33		ssun1 3392	. . . . . . . . 9 |- y C_ ( y u. { z } )
34	33	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> .0. ) ) = .0. ) -> y C_ ( y u. { z } ) )
35	34	resmptd 5114	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> .0. ) ) = .0. ) -> ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) |` y ) = ( k e. y |-> .0. ) )
36	35	oveq2d 6101	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> .0. ) ) = .0. ) -> ( G gsumg ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) |` y ) ) = ( G gsumg ( k e. y |-> .0. ) ) )
37		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> .0. ) ) = .0. ) -> ( G gsumg ( k e. y |-> .0. ) ) = .0. )
38	36, 37	eqtrd 2271	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> .0. ) ) = .0. ) -> ( G gsumg ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) |` y ) ) = .0. )
39		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) = ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. )
40		eqidd 2239	. . . . . . 7 |- ( k = z -> .0. = .0. )
41		vsnid 3741	. . . . . . . 8 |- z e. { z }
42		elun2 3397	. . . . . . . 8 |- ( z e. { z } -> z e. ( y u. { z } ) )
43	41, 42	mp1i 10	. . . . . . 7 |- ( G e. CMnd -> z e. ( y u. { z } ) )
44	39, 40, 43, 24	fvmptd3 5799	. . . . . 6 |- ( G e. CMnd -> ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) ` z ) = .0. )
45	44	ad4antr 498	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> .0. ) ) = .0. ) -> ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) ` z ) = .0. )
46	38, 45	oveq12d 6103	. . . 4 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> .0. ) ) = .0. ) -> ( ( G gsumg ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) |` y ) ) ( +g ` G ) ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) ` z ) ) = ( .0. ( +g ` G ) .0. ) )
47	22	ad4antr 498	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> .0. ) ) = .0. ) -> G e. Mnd )
48	19, 20, 16	mndlid 13748	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ .0. e. ( Base ` G ) ) -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
49	47, 23, 48	syl2anc2 416	. . . 4 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> .0. ) ) = .0. ) -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
50	32, 46, 49	3eqtrd 2275	. . 3 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> .0. ) ) = .0. ) -> ( G gsumg ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) ) = .0. )
51	50	ex 115	. 2 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( G gsumg ( k e. y |-> .0. ) ) = .0. -> ( G gsumg ( k e. ( y u. { z } ) |-> .0. ) ) = .0. ) )
52		simpr 110	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) -> A e. Fin )
53	3, 6, 9, 12, 18, 51, 52	findcard2sd 7196	1 |- ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin ) -> ( G gsumg ( k e. A |-> .0. ) ) = .0. )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   \ cdif 3217   u. cun 3218   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3709   |-> cmpt 4192   |` cres 4776   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Fincfn 7022   Basecbs 13352   +g cplusg 13431   0gc0g 13610   Mndcmnd 13729  CMndccmn 14087   gsum_g cgsu 14150

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-inn 9305  df-2 9363  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885  df-ihash 11215  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-plusg 13444  df-0g 13612  df-gzsum 13613  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-minusg 13809  df-mulg 13923  df-cmn 14089  df-gsumfi 14151

This theorem is used by: (None)