Theorem hash2iun1dif1 11824

Description: The cardinality of a nested disjoint indexed union. (Contributed by AV, 9-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
hash2iun1dif1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
hash2iun1dif1.b	⊢ 𝐵 = (𝐴 ∖ {𝑥})
hash2iun1dif1.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ Fin)
hash2iun1dif1.da	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 𝐶)
hash2iun1dif1.db	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Disj 𝑦 ∈ 𝐵 𝐶)
hash2iun1dif1.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (♯‘𝐶) = 1)

Assertion

Ref	Expression
hash2iun1dif1	⊢ (𝜑 → (♯‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 𝐶) = ((♯‘𝐴) · ((♯‘𝐴) − 1)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem hash2iun1dif1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash2iun1dif1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		hash2iun1dif1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝐴 ∖ {𝑥})
3	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
4		snfig 6908	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → {𝑥} ∈ Fin)
5	4	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ∈ Fin)
6		snssi 3777	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → {𝑥} ⊆ 𝐴)
7	6	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
8		diffifi 6993	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑥} ∈ Fin ∧ {𝑥} ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
9	3, 5, 7, 8	syl3anc 1250	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
10	2, 9	eqeltrid 2292	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
11		hash2iun1dif1.c	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ Fin)
12		hash2iun1dif1.da	. . 3 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 𝐶)
13		hash2iun1dif1.db	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Disj 𝑦 ∈ 𝐵 𝐶)
14	1, 10, 11, 12, 13	hash2iun 11823	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 𝐶) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑦 ∈ 𝐵 (♯‘𝐶))
15		hash2iun1dif1.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (♯‘𝐶) = 1)
16	15	2sumeq2dv 11715	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑦 ∈ 𝐵 (♯‘𝐶) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑦 ∈ 𝐵 1)
17		1cnd 8090	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
18		fsumconst 11798	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑦 ∈ 𝐵 1 = ((♯‘𝐵) · 1))
19	10, 17, 18	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Σ𝑦 ∈ 𝐵 1 = ((♯‘𝐵) · 1))
20	19	sumeq2dv 11712	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑦 ∈ 𝐵 1 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((♯‘𝐵) · 1))
21	2	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = (𝐴 ∖ {𝑥}))
22	21	fveq2d 5582	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (♯‘𝐵) = (♯‘(𝐴 ∖ {𝑥})))
23		hashdifsn 10966	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝑥})) = ((♯‘𝐴) − 1))
24	1, 23	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝑥})) = ((♯‘𝐴) − 1))
25	22, 24	eqtrd 2238	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (♯‘𝐵) = ((♯‘𝐴) − 1))
26	25	oveq1d 5961	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((♯‘𝐵) · 1) = (((♯‘𝐴) − 1) · 1))
27	26	sumeq2dv 11712	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((♯‘𝐵) · 1) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 (((♯‘𝐴) − 1) · 1))
28		hashcl 10928	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
29	1, 28	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
30	29	nn0cnd 9352	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
31		peano2cnm 8340	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℂ → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℂ)
32	30, 31	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℂ)
33	32	mulridd 8091	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) · 1) = ((♯‘𝐴) − 1))
34	33	sumeq2ad 11713	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 (((♯‘𝐴) − 1) · 1) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((♯‘𝐴) − 1))
35		fsumconst 11798	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℂ) → Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((♯‘𝐴) − 1) = ((♯‘𝐴) · ((♯‘𝐴) − 1)))
36	1, 32, 35	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((♯‘𝐴) − 1) = ((♯‘𝐴) · ((♯‘𝐴) − 1)))
37	34, 36	eqtrd 2238	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 (((♯‘𝐴) − 1) · 1) = ((♯‘𝐴) · ((♯‘𝐴) − 1)))
38	20, 27, 37	3eqtrd 2242	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑦 ∈ 𝐵 1 = ((♯‘𝐴) · ((♯‘𝐴) − 1)))
39	14, 16, 38	3eqtrd 2242	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 𝐶) = ((♯‘𝐴) · ((♯‘𝐴) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2176   ∖ cdif 3163   ⊆ wss 3166  {csn 3633  ∪ ciun 3927  Disj wdisj 4021  ‘cfv 5272  (class class class)co 5946  Fincfn 6829  ℂcc 7925  1c1 7928   · cmul 7932   − cmin 8245  ℕ₀cn0 9297  ♯chash 10922  Σcsu 11697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045  ax-arch 8046  ax-caucvg 8047

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-disj 4022  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-isom 5281  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-irdg 6458  df-frec 6479  df-1o 6504  df-oadd 6508  df-er 6622  df-en 6830  df-dom 6831  df-fin 6832  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-q 9743  df-rp 9778  df-fz 10133  df-fzo 10267  df-seqfrec 10595  df-exp 10686  df-ihash 10923  df-cj 11186  df-re 11187  df-im 11188  df-rsqrt 11342  df-abs 11343  df-clim 11623  df-sumdc 11698

This theorem is referenced by: (None)