ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hash2iun1dif1 GIF version

Theorem hash2iun1dif1 10937
Description: The cardinality of a nested disjoint indexed union. (Contributed by AV, 9-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
hash2iun1dif1.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
hash2iun1dif1.b 𝐵 = (𝐴 ∖ {𝑥})
hash2iun1dif1.c ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝐶 ∈ Fin)
hash2iun1dif1.da (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝑦𝐵 𝐶)
hash2iun1dif1.db ((𝜑𝑥𝐴) → Disj 𝑦𝐵 𝐶)
hash2iun1dif1.1 ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → (♯‘𝐶) = 1)
Assertion
Ref Expression
hash2iun1dif1 (𝜑 → (♯‘ 𝑥𝐴 𝑦𝐵 𝐶) = ((♯‘𝐴) · ((♯‘𝐴) − 1)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem hash2iun1dif1
StepHypRef Expression
1 hash2iun1dif1.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 hash2iun1dif1.b . . . 4 𝐵 = (𝐴 ∖ {𝑥})
31adantr 271 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
4 snfig 6587 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → {𝑥} ∈ Fin)
54adantl 272 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → {𝑥} ∈ Fin)
6 snssi 3589 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → {𝑥} ⊆ 𝐴)
76adantl 272 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
8 diffifi 6666 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑥} ∈ Fin ∧ {𝑥} ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
93, 5, 7, 8syl3anc 1175 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
102, 9syl5eqel 2175 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
11 hash2iun1dif1.c . . 3 ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝐶 ∈ Fin)
12 hash2iun1dif1.da . . 3 (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝑦𝐵 𝐶)
13 hash2iun1dif1.db . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → Disj 𝑦𝐵 𝐶)
141, 10, 11, 12, 13hash2iun 10936 . 2 (𝜑 → (♯‘ 𝑥𝐴 𝑦𝐵 𝐶) = Σ𝑥𝐴 Σ𝑦𝐵 (♯‘𝐶))
15 hash2iun1dif1.1 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → (♯‘𝐶) = 1)
16152sumeq2dv 10823 . 2 (𝜑 → Σ𝑥𝐴 Σ𝑦𝐵 (♯‘𝐶) = Σ𝑥𝐴 Σ𝑦𝐵 1)
17 1cnd 7567 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 1 ∈ ℂ)
18 fsumconst 10911 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑦𝐵 1 = ((♯‘𝐵) · 1))
1910, 17, 18syl2anc 404 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → Σ𝑦𝐵 1 = ((♯‘𝐵) · 1))
2019sumeq2dv 10820 . . 3 (𝜑 → Σ𝑥𝐴 Σ𝑦𝐵 1 = Σ𝑥𝐴 ((♯‘𝐵) · 1))
212a1i 9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 = (𝐴 ∖ {𝑥}))
2221fveq2d 5324 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (♯‘𝐵) = (♯‘(𝐴 ∖ {𝑥})))
23 hashdifsn 10290 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝑥})) = ((♯‘𝐴) − 1))
241, 23sylan 278 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝑥})) = ((♯‘𝐴) − 1))
2522, 24eqtrd 2121 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (♯‘𝐵) = ((♯‘𝐴) − 1))
2625oveq1d 5683 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ((♯‘𝐵) · 1) = (((♯‘𝐴) − 1) · 1))
2726sumeq2dv 10820 . . 3 (𝜑 → Σ𝑥𝐴 ((♯‘𝐵) · 1) = Σ𝑥𝐴 (((♯‘𝐴) − 1) · 1))
28 hashcl 10252 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
291, 28syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
3029nn0cnd 8791 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
31 peano2cnm 7811 . . . . . . 7 ((♯‘𝐴) ∈ ℂ → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℂ)
3230, 31syl 14 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℂ)
3332mulid1d 7568 . . . . 5 (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) · 1) = ((♯‘𝐴) − 1))
3433sumeq2ad 10821 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑥𝐴 (((♯‘𝐴) − 1) · 1) = Σ𝑥𝐴 ((♯‘𝐴) − 1))
35 fsumconst 10911 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℂ) → Σ𝑥𝐴 ((♯‘𝐴) − 1) = ((♯‘𝐴) · ((♯‘𝐴) − 1)))
361, 32, 35syl2anc 404 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑥𝐴 ((♯‘𝐴) − 1) = ((♯‘𝐴) · ((♯‘𝐴) − 1)))
3734, 36eqtrd 2121 . . 3 (𝜑 → Σ𝑥𝐴 (((♯‘𝐴) − 1) · 1) = ((♯‘𝐴) · ((♯‘𝐴) − 1)))
3820, 27, 373eqtrd 2125 . 2 (𝜑 → Σ𝑥𝐴 Σ𝑦𝐵 1 = ((♯‘𝐴) · ((♯‘𝐴) − 1)))
3914, 16, 383eqtrd 2125 1 (𝜑 → (♯‘ 𝑥𝐴 𝑦𝐵 𝐶) = ((♯‘𝐴) · ((♯‘𝐴) − 1)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 925   = wceq 1290  wcel 1439  cdif 2999  wss 3002  {csn 3452   ciun 3738  Disj wdisj 3830  cfv 5030  (class class class)co 5668  Fincfn 6513  cc 7411  1c1 7414   · cmul 7418  cmin 7716  0cn0 8736  chash 10246  Σcsu 10805
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526  ax-arch 7527  ax-caucvg 7528
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-disj 3831  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-isom 5039  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-irdg 6151  df-frec 6172  df-1o 6197  df-oadd 6201  df-er 6308  df-en 6514  df-dom 6515  df-fin 6516  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-3 8545  df-4 8546  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-q 9168  df-rp 9198  df-fz 9488  df-fzo 9617  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018  df-ihash 10247  df-cj 10339  df-re 10340  df-im 10341  df-rsqrt 10494  df-abs 10495  df-clim 10730  df-isum 10806
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator