Theorem isum1p 11366

Description: The infinite sum of a converging infinite series equals the first term plus the infinite sum of the rest of it. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isum1p.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isum1p.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isum1p.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isum1p.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isum1p.6	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
isum1p	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = ((𝐹‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))𝐴))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isum1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isum1p.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		eqid 2154	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑀 + 1))
3		isum1p.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		uzid 9432	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		peano2uz 9473	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8	7, 1	eleqtrrdi 2248	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ 𝑍)
9		isum1p.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
10		isum1p.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		isum1p.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
12	1, 2, 8, 9, 10, 11	isumsplit 11365	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑀 + 1) − 1))𝐴 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))𝐴))
13	3	zcnd 9266	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
14		ax-1cn 7804	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
15		pncan 8060	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
16	13, 14, 15	sylancl 410	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
17	16	oveq2d 5830	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀...((𝑀 + 1) − 1)) = (𝑀...𝑀))
18	17	sumeq1d 11240	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑀 + 1) − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐴)
19		elfzuz 9902	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
20	19, 1	eleqtrrdi 2248	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘 ∈ 𝑍)
21	20, 9	sylan2 284	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
22	21	sumeq2dv 11242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)(𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐴)
23		fveq2 5461	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑀))
24	23	eleq1d 2223	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ))
25	9, 10	eqeltrd 2231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
26	25	ralrimiva 2527	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
27	5, 1	eleqtrrdi 2248	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
28	24, 26, 27	rspcdva 2818	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ)
29	23	fsum1 11286	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)(𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑀))
30	3, 28, 29	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)(𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑀))
31	18, 22, 30	3eqtr2d 2193	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑀 + 1) − 1))𝐴 = (𝐹‘𝑀))
32	31	oveq1d 5829	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑀 + 1) − 1))𝐴 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))𝐴) = ((𝐹‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))𝐴))
33	12, 32	eqtrd 2187	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = ((𝐹‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 2125  dom cdm 4579  ‘cfv 5163  (class class class)co 5814  ℂcc 7709  1c1 7712   + caddc 7714   − cmin 8025  ℤcz 9146  ℤ_≥cuz 9418  ...cfz 9890  seqcseq 10322   ⇝ cli 11152  Σcsu 11227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829  ax-arch 7830  ax-caucvg 7831

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-isom 5172  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-irdg 6307  df-frec 6328  df-1o 6353  df-oadd 6357  df-er 6469  df-en 6675  df-dom 6676  df-fin 6677  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-2 8871  df-3 8872  df-4 8873  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-q 9507  df-rp 9539  df-fz 9891  df-fzo 10020  df-seqfrec 10323  df-exp 10397  df-ihash 10627  df-cj 10719  df-re 10720  df-im 10721  df-rsqrt 10875  df-abs 10876  df-clim 11153  df-sumdc 11228

This theorem is referenced by:  isumnn0nn  11367  efsep  11565