Theorem isum1p 12237

Description: The infinite sum of a converging infinite series equals the first term plus the infinite sum of the rest of it. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isum1p.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isum1p.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isum1p.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isum1p.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isum1p.6	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
isum1p	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = ((𝐹‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))𝐴))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isum1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isum1p.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		eqid 2238	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑀 + 1))
3		isum1p.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		uzid 9915	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		peano2uz 9962	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8	7, 1	eleqtrrdi 2332	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ 𝑍)
9		isum1p.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
10		isum1p.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		isum1p.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
12	1, 2, 8, 9, 10, 11	isumsplit 12236	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑀 + 1) − 1))𝐴 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))𝐴))
13	3	zcnd 9748	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
14		ax-1cn 8262	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
15		pncan 8522	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
16	13, 14, 15	sylancl 417	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
17	16	oveq2d 6091	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀...((𝑀 + 1) − 1)) = (𝑀...𝑀))
18	17	sumeq1d 12110	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑀 + 1) − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐴)
19		elfzuz 10403	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
20	19, 1	eleqtrrdi 2332	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘 ∈ 𝑍)
21	20, 9	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
22	21	sumeq2dv 12112	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)(𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐴)
23		fveq2 5690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑀))
24	23	eleq1d 2307	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ))
25	9, 10	eqeltrd 2315	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
26	25	ralrimiva 2623	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
27	5, 1	eleqtrrdi 2332	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
28	24, 26, 27	rspcdva 2934	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ)
29	23	fsum1 12157	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)(𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑀))
30	3, 28, 29	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)(𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑀))
31	18, 22, 30	3eqtr2d 2277	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑀 + 1) − 1))𝐴 = (𝐹‘𝑀))
32	31	oveq1d 6090	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑀 + 1) − 1))𝐴 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))𝐴) = ((𝐹‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))𝐴))
33	12, 32	eqtrd 2271	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = ((𝐹‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  dom cdm 4769  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  1c1 8170   + caddc 8172   − cmin 8487  ℤcz 9623  ℤ_≥cuz 9900  ...cfz 10390  seqcseq 10862   ⇝ cli 12022  Σcsu 12097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-ihash 11193  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-sumdc 12098

This theorem is referenced by:  isumnn0nn  12238  efsep  12436