Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isum1p GIF version

Theorem isum1p 11366
 Description: The infinite sum of a converging infinite series equals the first term plus the infinite sum of the rest of it. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isum1p.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isum1p.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isum1p.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isum1p.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isum1p.6 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
isum1p (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = ((𝐹𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))𝐴))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isum1p
StepHypRef Expression
1 isum1p.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 eqid 2154 . . 3 (ℤ‘(𝑀 + 1)) = (ℤ‘(𝑀 + 1))
3 isum1p.3 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 uzid 9432 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
53, 4syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
6 peano2uz 9473 . . . . 5 (𝑀 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
75, 6syl 14 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
87, 1eleqtrrdi 2248 . . 3 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ 𝑍)
9 isum1p.4 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
10 isum1p.5 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
11 isum1p.6 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
121, 2, 8, 9, 10, 11isumsplit 11365 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑀 + 1) − 1))𝐴 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))𝐴))
133zcnd 9266 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
14 ax-1cn 7804 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
15 pncan 8060 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
1613, 14, 15sylancl 410 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
1716oveq2d 5830 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀...((𝑀 + 1) − 1)) = (𝑀...𝑀))
1817sumeq1d 11240 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑀 + 1) − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐴)
19 elfzuz 9902 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
2019, 1eleqtrrdi 2248 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘𝑍)
2120, 9sylan2 284 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
2221sumeq2dv 11242 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)(𝐹𝑘) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐴)
23 fveq2 5461 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
2423eleq1d 2223 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑀) ∈ ℂ))
259, 10eqeltrd 2231 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2625ralrimiva 2527 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
275, 1eleqtrrdi 2248 . . . . . 6 (𝜑𝑀𝑍)
2824, 26, 27rspcdva 2818 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℂ)
2923fsum1 11286 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐹𝑀) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)(𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
303, 28, 29syl2anc 409 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)(𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
3118, 22, 303eqtr2d 2193 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑀 + 1) − 1))𝐴 = (𝐹𝑀))
3231oveq1d 5829 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑀 + 1) − 1))𝐴 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))𝐴) = ((𝐹𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))𝐴))
3312, 32eqtrd 2187 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = ((𝐹𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))𝐴))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 2125  dom cdm 4579  ‘cfv 5163  (class class class)co 5814  ℂcc 7709  1c1 7712   + caddc 7714   − cmin 8025  ℤcz 9146  ℤ≥cuz 9418  ...cfz 9890  seqcseq 10322   ⇝ cli 11152  Σcsu 11227 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829  ax-arch 7830  ax-caucvg 7831 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-isom 5172  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-irdg 6307  df-frec 6328  df-1o 6353  df-oadd 6357  df-er 6469  df-en 6675  df-dom 6676  df-fin 6677  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-2 8871  df-3 8872  df-4 8873  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-q 9507  df-rp 9539  df-fz 9891  df-fzo 10020  df-seqfrec 10323  df-exp 10397  df-ihash 10627  df-cj 10719  df-re 10720  df-im 10721  df-rsqrt 10875  df-abs 10876  df-clim 11153  df-sumdc 11228 This theorem is referenced by:  isumnn0nn  11367  efsep  11565
 Copyright terms: Public domain W3C validator