Theorem lcmcom 11913

Description: The lcm operator is commutative. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmcom	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M lcm N ) = ( N lcm M ) )

Proof of Theorem lcmcom

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orcom 718	. . 3 |- ( ( M = 0 \/ N = 0 ) <-> ( N = 0 \/ M = 0 ) )
2		ancom 264	. . . . . 6 |- ( ( M || n /\ N || n ) <-> ( N || n /\ M || n ) )
3	2	a1i 9	. . . . 5 |- ( n e. NN -> ( ( M || n /\ N || n ) <-> ( N || n /\ M || n ) ) )
4	3	rabbiia 2694	. . . 4 |- { n e. NN | ( M || n /\ N || n ) } = { n e. NN | ( N || n /\ M || n ) }
5	4	infeq1i 6945	. . 3 |- inf ( { n e. NN | ( M || n /\ N || n ) } , RR , < ) = inf ( { n e. NN | ( N || n /\ M || n ) } , RR , < )
6	1, 5	ifbieq2i 3524	. 2 |- if ( ( M = 0 \/ N = 0 ) , 0 , inf ( { n e. NN | ( M || n /\ N || n ) } , RR , < ) ) = if ( ( N = 0 \/ M = 0 ) , 0 , inf ( { n e. NN | ( N || n /\ M || n ) } , RR , < ) )
7		lcmval 11912	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M lcm N ) = if ( ( M = 0 \/ N = 0 ) , 0 , inf ( { n e. NN | ( M || n /\ N || n ) } , RR , < ) ) )
8		lcmval 11912	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N lcm M ) = if ( ( N = 0 \/ M = 0 ) , 0 , inf ( { n e. NN | ( N || n /\ M || n ) } , RR , < ) ) )
9	8	ancoms 266	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N lcm M ) = if ( ( N = 0 \/ M = 0 ) , 0 , inf ( { n e. NN | ( N || n /\ M || n ) } , RR , < ) ) )
10	6, 7, 9	3eqtr4a 2213	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M lcm N ) = ( N lcm M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1332   e. wcel 2125   {crab 2436   ifcif 3501   class class class wbr 3961  (class class class)co 5814  infcinf 6915   RRcr 7710   0cc0 7711   < clt 7891   NNcn 8812   ZZcz 9146   || cdvds 11660   lcm clcm 11909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829  ax-arch 7830  ax-caucvg 7831

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-isom 5172  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-frec 6328  df-sup 6916  df-inf 6917  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-2 8871  df-3 8872  df-4 8873  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-q 9507  df-rp 9539  df-fz 9891  df-fzo 10020  df-fl 10147  df-mod 10200  df-seqfrec 10323  df-exp 10397  df-cj 10719  df-re 10720  df-im 10721  df-rsqrt 10875  df-abs 10876  df-dvds 11661  df-lcm 11910

This theorem is referenced by:  dvdslcm  11918  lcmeq0  11920  lcmcl  11921  lcmneg  11923  neglcm  11924  lcmgcd  11927  lcmdvds  11928