Theorem modremain 12111

Description: The result of the modulo operation is the remainder of the division algorithm. (Contributed by AV, 19-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modremain	|- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> ( ( N mod D ) = R <-> E. z e. ZZ ( ( z x. D ) + R ) = N ) )

Distinct variable groups:   z, D   z, N   z, R

Proof of Theorem modremain

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2198	. 2 |- ( ( N mod D ) = R <-> R = ( N mod D ) )
2		divalgmodcl 12110	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ R e. NN0 ) -> ( R = ( N mod D ) <-> ( R < D /\ D || ( N - R ) ) ) )
3	2	3adant3r 1237	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> ( R = ( N mod D ) <-> ( R < D /\ D || ( N - R ) ) ) )
4		ibar 301	. . . . 5 |- ( R < D -> ( D || ( N - R ) <-> ( R < D /\ D || ( N - R ) ) ) )
5	4	adantl 277	. . . 4 |- ( ( R e. NN0 /\ R < D ) -> ( D || ( N - R ) <-> ( R < D /\ D || ( N - R ) ) ) )
6	5	3ad2ant3 1022	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> ( D || ( N - R ) <-> ( R < D /\ D || ( N - R ) ) ) )
7		nnz 9362	. . . . . 6 |- ( D e. NN -> D e. ZZ )
8	7	3ad2ant2 1021	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> D e. ZZ )
9		simp1 999	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> N e. ZZ )
10		nn0z 9363	. . . . . . . 8 |- ( R e. NN0 -> R e. ZZ )
11	10	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( R e. NN0 /\ R < D ) -> R e. ZZ )
12	11	3ad2ant3 1022	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> R e. ZZ )
13	9, 12	zsubcld 9470	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> ( N - R ) e. ZZ )
14		divides 11971	. . . . 5 |- ( ( D e. ZZ /\ ( N - R ) e. ZZ ) -> ( D || ( N - R ) <-> E. z e. ZZ ( z x. D ) = ( N - R ) ) )
15	8, 13, 14	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> ( D || ( N - R ) <-> E. z e. ZZ ( z x. D ) = ( N - R ) ) )
16		eqcom 2198	. . . . . 6 |- ( ( z x. D ) = ( N - R ) <-> ( N - R ) = ( z x. D ) )
17		zcn 9348	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
18	17	3ad2ant1 1020	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> N e. CC )
19	18	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) /\ z e. ZZ ) -> N e. CC )
20		nn0cn 9276	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. NN0 -> R e. CC )
21	20	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. NN0 /\ R < D ) -> R e. CC )
22	21	3ad2ant3 1022	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> R e. CC )
23	22	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) /\ z e. ZZ ) -> R e. CC )
24		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) /\ z e. ZZ ) -> z e. ZZ )
25	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) /\ z e. ZZ ) -> D e. ZZ )
26	24, 25	zmulcld 9471	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) /\ z e. ZZ ) -> ( z x. D ) e. ZZ )
27	26	zcnd 9466	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) /\ z e. ZZ ) -> ( z x. D ) e. CC )
28	19, 23, 27	subadd2d 8373	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) /\ z e. ZZ ) -> ( ( N - R ) = ( z x. D ) <-> ( ( z x. D ) + R ) = N ) )
29	16, 28	bitrid 192	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) /\ z e. ZZ ) -> ( ( z x. D ) = ( N - R ) <-> ( ( z x. D ) + R ) = N ) )
30	29	rexbidva 2494	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> ( E. z e. ZZ ( z x. D ) = ( N - R ) <-> E. z e. ZZ ( ( z x. D ) + R ) = N ) )
31	15, 30	bitrd 188	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> ( D || ( N - R ) <-> E. z e. ZZ ( ( z x. D ) + R ) = N ) )
32	3, 6, 31	3bitr2d 216	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> ( R = ( N mod D ) <-> E. z e. ZZ ( ( z x. D ) + R ) = N ) )
33	1, 32	bitrid 192	1 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> ( ( N mod D ) = R <-> E. z e. ZZ ( ( z x. D ) + R ) = N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   E.wrex 2476   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925   CCcc 7894   + caddc 7899   x. cmul 7901   < clt 8078   - cmin 8214   NNcn 9007   NN0cn0 9266   ZZcz 9343   mod cmo 10431   || cdvds 11969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fl 10377  df-mod 10432  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-dvds 11970

This theorem is referenced by:  bezoutlemnewy  12188  bezoutlemstep  12189