Theorem modremain 11866

Description: The result of the modulo operation is the remainder of the division algorithm. (Contributed by AV, 19-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modremain	|- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> ( ( N mod D ) = R <-> E. z e. ZZ ( ( z x. D ) + R ) = N ) )

Distinct variable groups:   z, D   z, N   z, R

Proof of Theorem modremain

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2167	. 2 |- ( ( N mod D ) = R <-> R = ( N mod D ) )
2		divalgmodcl 11865	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ R e. NN0 ) -> ( R = ( N mod D ) <-> ( R < D /\ D || ( N - R ) ) ) )
3	2	3adant3r 1225	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> ( R = ( N mod D ) <-> ( R < D /\ D || ( N - R ) ) ) )
4		ibar 299	. . . . 5 |- ( R < D -> ( D || ( N - R ) <-> ( R < D /\ D || ( N - R ) ) ) )
5	4	adantl 275	. . . 4 |- ( ( R e. NN0 /\ R < D ) -> ( D || ( N - R ) <-> ( R < D /\ D || ( N - R ) ) ) )
6	5	3ad2ant3 1010	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> ( D || ( N - R ) <-> ( R < D /\ D || ( N - R ) ) ) )
7		nnz 9210	. . . . . 6 |- ( D e. NN -> D e. ZZ )
8	7	3ad2ant2 1009	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> D e. ZZ )
9		simp1 987	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> N e. ZZ )
10		nn0z 9211	. . . . . . . 8 |- ( R e. NN0 -> R e. ZZ )
11	10	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( R e. NN0 /\ R < D ) -> R e. ZZ )
12	11	3ad2ant3 1010	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> R e. ZZ )
13	9, 12	zsubcld 9318	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> ( N - R ) e. ZZ )
14		divides 11729	. . . . 5 |- ( ( D e. ZZ /\ ( N - R ) e. ZZ ) -> ( D || ( N - R ) <-> E. z e. ZZ ( z x. D ) = ( N - R ) ) )
15	8, 13, 14	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> ( D || ( N - R ) <-> E. z e. ZZ ( z x. D ) = ( N - R ) ) )
16		eqcom 2167	. . . . . 6 |- ( ( z x. D ) = ( N - R ) <-> ( N - R ) = ( z x. D ) )
17		zcn 9196	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
18	17	3ad2ant1 1008	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> N e. CC )
19	18	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) /\ z e. ZZ ) -> N e. CC )
20		nn0cn 9124	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. NN0 -> R e. CC )
21	20	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. NN0 /\ R < D ) -> R e. CC )
22	21	3ad2ant3 1010	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> R e. CC )
23	22	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) /\ z e. ZZ ) -> R e. CC )
24		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) /\ z e. ZZ ) -> z e. ZZ )
25	8	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) /\ z e. ZZ ) -> D e. ZZ )
26	24, 25	zmulcld 9319	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) /\ z e. ZZ ) -> ( z x. D ) e. ZZ )
27	26	zcnd 9314	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) /\ z e. ZZ ) -> ( z x. D ) e. CC )
28	19, 23, 27	subadd2d 8228	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) /\ z e. ZZ ) -> ( ( N - R ) = ( z x. D ) <-> ( ( z x. D ) + R ) = N ) )
29	16, 28	syl5bb 191	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) /\ z e. ZZ ) -> ( ( z x. D ) = ( N - R ) <-> ( ( z x. D ) + R ) = N ) )
30	29	rexbidva 2463	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> ( E. z e. ZZ ( z x. D ) = ( N - R ) <-> E. z e. ZZ ( ( z x. D ) + R ) = N ) )
31	15, 30	bitrd 187	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> ( D || ( N - R ) <-> E. z e. ZZ ( ( z x. D ) + R ) = N ) )
32	3, 6, 31	3bitr2d 215	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> ( R = ( N mod D ) <-> E. z e. ZZ ( ( z x. D ) + R ) = N ) )
33	1, 32	syl5bb 191	1 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> ( ( N mod D ) = R <-> E. z e. ZZ ( ( z x. D ) + R ) = N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   E.wrex 2445   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   CCcc 7751   + caddc 7756   x. cmul 7758   < clt 7933   - cmin 8069   NNcn 8857   NN0cn0 9114   ZZcz 9191   mod cmo 10257   || cdvds 11727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fl 10205  df-mod 10258  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-dvds 11728

This theorem is referenced by:  bezoutlemnewy  11929  bezoutlemstep  11930