ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modremain Unicode version
Theorem modremain 11812
Description: The result of the modulo operation is the remainder of the division algorithm. (Contributed by AV, 19-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
modremain |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> ( ( N mod D ) = R <-> E. z e. ZZ ( ( z x. D ) + R ) = N ) )
Distinct variable groups:   z, D   z, N   z, R
Proof of Theorem modremain
StepHypRef Expression
1 eqcom 2159 . 2 |- ( ( N mod D ) = R <-> R = ( N mod D ) )
2 divalgmodcl 11811 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ R e. NN0 ) -> ( R = ( N mod D ) <-> ( R < D /\ D || ( N - R ) ) ) )
323adant3r 1217 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> ( R = ( N mod D ) <-> ( R < D /\ D || ( N - R ) ) ) )
4 ibar 299 . . . . 5 |- ( R < D -> ( D || ( N - R ) <-> ( R < D /\ D || ( N - R ) ) ) )
54adantl 275 . . . 4 |- ( ( R e. NN0 /\ R < D ) -> ( D || ( N - R ) <-> ( R < D /\ D || ( N - R ) ) ) )
653ad2ant3 1005 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> ( D || ( N - R ) <-> ( R < D /\ D || ( N - R ) ) ) )
7 nnz 9180 . . . . . 6 |- ( D e. NN -> D e. ZZ )
873ad2ant2 1004 . . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> D e. ZZ )
9 simp1 982 . . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> N e. ZZ )
10 nn0z 9181 . . . . . . . 8 |- ( R e. NN0 -> R e. ZZ )
1110adantr 274 . . . . . . 7 |- ( ( R e. NN0 /\ R < D ) -> R e. ZZ )
12113ad2ant3 1005 . . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> R e. ZZ )
139, 12zsubcld 9285 . . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> ( N - R ) e. ZZ )
14 divides 11678 . . . . 5 |- ( ( D e. ZZ /\ ( N - R ) e. ZZ ) -> ( D || ( N - R ) <-> E. z e. ZZ ( z x. D ) = ( N - R ) ) )
158, 13, 14syl2anc 409 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> ( D || ( N - R ) <-> E. z e. ZZ ( z x. D ) = ( N - R ) ) )
16 eqcom 2159 . . . . . 6 |- ( ( z x. D ) = ( N - R ) <-> ( N - R ) = ( z x. D ) )
17 zcn 9166 . . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
18173ad2ant1 1003 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> N e. CC )
1918adantr 274 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) /\ z e. ZZ ) -> N e. CC )
20 nn0cn 9094 . . . . . . . . . 10 |- ( R e. NN0 -> R e. CC )
2120adantr 274 . . . . . . . . 9 |- ( ( R e. NN0 /\ R < D ) -> R e. CC )
22213ad2ant3 1005 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> R e. CC )
2322adantr 274 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) /\ z e. ZZ ) -> R e. CC )
24 simpr 109 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) /\ z e. ZZ ) -> z e. ZZ )
258adantr 274 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) /\ z e. ZZ ) -> D e. ZZ )
2624, 25zmulcld 9286 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) /\ z e. ZZ ) -> ( z x. D ) e. ZZ )
2726zcnd 9281 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) /\ z e. ZZ ) -> ( z x. D ) e. CC )
2819, 23, 27subadd2d 8199 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) /\ z e. ZZ ) -> ( ( N - R ) = ( z x. D ) <-> ( ( z x. D ) + R ) = N ) )
2916, 28syl5bb 191 . . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) /\ z e. ZZ ) -> ( ( z x. D ) = ( N - R ) <-> ( ( z x. D ) + R ) = N ) )
3029rexbidva 2454 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> ( E. z e. ZZ ( z x. D ) = ( N - R ) <-> E. z e. ZZ ( ( z x. D ) + R ) = N ) )
3115, 30bitrd 187 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> ( D || ( N - R ) <-> E. z e. ZZ ( ( z x. D ) + R ) = N ) )
323, 6, 313bitr2d 215 . 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> ( R = ( N mod D ) <-> E. z e. ZZ ( ( z x. D ) + R ) = N ) )
331, 32syl5bb 191 1 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> ( ( N mod D ) = R <-> E. z e. ZZ ( ( z x. D ) + R ) = N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1335   e. wcel 2128   E.wrex 2436   class class class wbr 3965  (class class class)co 5821   CCcc 7724   + caddc 7729   x. cmul 7731   < clt 7906   - cmin 8040   NNcn 8827   NN0cn0 9084   ZZcz 9161   mod cmo 10214   || cdvds 11676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843  ax-pre-mulext 7844  ax-arch 7845
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-frec 6335  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451  df-div 8540  df-inn 8828  df-2 8886  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-q 9522  df-rp 9554  df-fl 10162  df-mod 10215  df-seqfrec 10338  df-exp 10412  df-cj 10735  df-re 10736  df-im 10737  df-rsqrt 10891  df-abs 10892  df-dvds 11677
This theorem is referenced by:  bezoutlemnewy  11871  bezoutlemstep  11872
  Copyright terms: Public domain W3C validator