ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulgnn0p1 GIF version

Theorem mulgnn0p1 12870
Description: Group multiple (exponentiation) operation at a successor, extended to 0. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnn0p1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0p1.t · = (.g𝐺)
mulgnn0p1.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgnn0p1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))

Proof of Theorem mulgnn0p1
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 simpl3 1002 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋𝐵)
3 mulgnn0p1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 mulgnn0p1.t . . . 4 · = (.g𝐺)
5 mulgnn0p1.p . . . 4 + = (+g𝐺)
63, 4, 5mulgnnp1 12867 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
71, 2, 6syl2anc 411 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
8 eqid 2177 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
93, 5, 8mndlid 12715 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → ((0g𝐺) + 𝑋) = 𝑋)
103, 8, 4mulg0 12864 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
1110adantl 277 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
1211oveq1d 5883 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → ((0 · 𝑋) + 𝑋) = ((0g𝐺) + 𝑋))
133, 4mulg1 12866 . . . . . . 7 (𝑋𝐵 → (1 · 𝑋) = 𝑋)
1413adantl 277 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → (1 · 𝑋) = 𝑋)
159, 12, 143eqtr4rd 2221 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → (1 · 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋))
16153adant2 1016 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (1 · 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋))
17 oveq1 5875 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
18 1e0p1 9401 . . . . . . 7 1 = (0 + 1)
1917, 18eqtr4di 2228 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = 1)
2019oveq1d 5883 . . . . 5 (𝑁 = 0 → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = (1 · 𝑋))
21 oveq1 5875 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
2221oveq1d 5883 . . . . 5 (𝑁 = 0 → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋))
2320, 22eqeq12d 2192 . . . 4 (𝑁 = 0 → (((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) ↔ (1 · 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋)))
2416, 23syl5ibrcom 157 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑁 = 0 → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋)))
2524imp 124 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
26 simp2 998 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
27 elnn0 9154 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2826, 27sylib 122 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
297, 25, 28mpjaodan 798 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wo 708  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  cfv 5211  (class class class)co 5868  0cc0 7789  1c1 7790   + caddc 7792  cn 8895  0cn0 9152  Basecbs 12432  +gcplusg 12505  0gc0g 12640  Mndcmnd 12696  .gcmg 12859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-frec 6385  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-inn 8896  df-2 8954  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-seqfrec 10419  df-ndx 12435  df-slot 12436  df-base 12438  df-plusg 12518  df-0g 12642  df-mgm 12654  df-sgrp 12687  df-mnd 12697  df-minusg 12758  df-mulg 12860
This theorem is referenced by:  mulgaddcom  12882  mulginvcom  12883  mulgneg2  12892  mhmmulg  12899  srgmulgass  12985  srgpcomp  12986  srgpcompp  12987
  Copyright terms: Public domain W3C validator