ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulgnn0p1 GIF version

Theorem mulgnn0p1 13025
Description: Group multiple (exponentiation) operation at a successor, extended to โ„•0. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnn0p1.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgnn0p1.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
mulgnn0p1.p + = (+gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgnn0p1 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ + 1) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹))

Proof of Theorem mulgnn0p1
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . 3 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2 simpl3 1003 . . 3 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
3 mulgnn0p1.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
4 mulgnn0p1.t . . . 4 ยท = (.gโ€˜๐บ)
5 mulgnn0p1.p . . . 4 + = (+gโ€˜๐บ)
63, 4, 5mulgnnp1 13022 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ + 1) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹))
71, 2, 6syl2anc 411 . 2 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ + 1) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹))
8 eqid 2187 . . . . . . 7 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
93, 5, 8mndlid 12857 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0gโ€˜๐บ) + ๐‘‹) = ๐‘‹)
103, 8, 4mulg0 13019 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
1110adantl 277 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
1211oveq1d 5903 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0 ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = ((0gโ€˜๐บ) + ๐‘‹))
133, 4mulg1 13021 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (1 ยท ๐‘‹) = ๐‘‹)
1413adantl 277 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (1 ยท ๐‘‹) = ๐‘‹)
159, 12, 143eqtr4rd 2231 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (1 ยท ๐‘‹) = ((0 ยท ๐‘‹) + ๐‘‹))
16153adant2 1017 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (1 ยท ๐‘‹) = ((0 ยท ๐‘‹) + ๐‘‹))
17 oveq1 5895 . . . . . . 7 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘ + 1) = (0 + 1))
18 1e0p1 9438 . . . . . . 7 1 = (0 + 1)
1917, 18eqtr4di 2238 . . . . . 6 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘ + 1) = 1)
2019oveq1d 5903 . . . . 5 (๐‘ = 0 โ†’ ((๐‘ + 1) ยท ๐‘‹) = (1 ยท ๐‘‹))
21 oveq1 5895 . . . . . 6 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = (0 ยท ๐‘‹))
2221oveq1d 5903 . . . . 5 (๐‘ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = ((0 ยท ๐‘‹) + ๐‘‹))
2320, 22eqeq12d 2202 . . . 4 (๐‘ = 0 โ†’ (((๐‘ + 1) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) โ†” (1 ยท ๐‘‹) = ((0 ยท ๐‘‹) + ๐‘‹)))
2416, 23syl5ibrcom 157 . . 3 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ = 0 โ†’ ((๐‘ + 1) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹)))
2524imp 124 . 2 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘ + 1) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹))
26 simp2 999 . . 3 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
27 elnn0 9191 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0))
2826, 27sylib 122 . 2 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0))
297, 25, 28mpjaodan 799 1 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ + 1) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆจ wo 709   โˆง w3a 979   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158  โ€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  0cc0 7824  1c1 7825   + caddc 7827  โ„•cn 8932  โ„•0cn0 9189  Basecbs 12475  +gcplusg 12550  0gc0g 12722  Mndcmnd 12838  .gcmg 13013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-2 8991  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-seqfrec 10459  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-plusg 12563  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12839  df-minusg 12902  df-mulg 13014
This theorem is referenced by:  mulgaddcom  13038  mulginvcom  13039  mulgneg2  13048  mhmmulg  13055  srgmulgass  13236  srgpcomp  13237  srgpcompp  13238  lmodvsmmulgdi  13507  cnfldmulg  13727  cnfldexp  13728
  Copyright terms: Public domain W3C validator