![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > mulgnn0p1 | GIF version |
Description: Group multiple (exponentiation) operation at a successor, extended to โ0. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
mulgnn0p1.b | โข ๐ต = (Baseโ๐บ) |
mulgnn0p1.t | โข ยท = (.gโ๐บ) |
mulgnn0p1.p | โข + = (+gโ๐บ) |
Ref | Expression |
---|---|
mulgnn0p1 | โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ0 โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ + 1) ยท ๐) = ((๐ ยท ๐) + ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | simpr 110 | . . 3 โข (((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ0 โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ โ) โ ๐ โ โ) | |
2 | simpl3 1004 | . . 3 โข (((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ0 โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ โ) โ ๐ โ ๐ต) | |
3 | mulgnn0p1.b | . . . 4 โข ๐ต = (Baseโ๐บ) | |
4 | mulgnn0p1.t | . . . 4 โข ยท = (.gโ๐บ) | |
5 | mulgnn0p1.p | . . . 4 โข + = (+gโ๐บ) | |
6 | 3, 4, 5 | mulgnnp1 13042 | . . 3 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ + 1) ยท ๐) = ((๐ ยท ๐) + ๐)) |
7 | 1, 2, 6 | syl2anc 411 | . 2 โข (((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ0 โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ โ) โ ((๐ + 1) ยท ๐) = ((๐ ยท ๐) + ๐)) |
8 | eqid 2189 | . . . . . . 7 โข (0gโ๐บ) = (0gโ๐บ) | |
9 | 3, 5, 8 | mndlid 12868 | . . . . . 6 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ ๐ต) โ ((0gโ๐บ) + ๐) = ๐) |
10 | 3, 8, 4 | mulg0 13039 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ ๐ต โ (0 ยท ๐) = (0gโ๐บ)) |
11 | 10 | adantl 277 | . . . . . . 7 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ ๐ต) โ (0 ยท ๐) = (0gโ๐บ)) |
12 | 11 | oveq1d 5906 | . . . . . 6 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ ๐ต) โ ((0 ยท ๐) + ๐) = ((0gโ๐บ) + ๐)) |
13 | 3, 4 | mulg1 13041 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ต โ (1 ยท ๐) = ๐) |
14 | 13 | adantl 277 | . . . . . 6 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ ๐ต) โ (1 ยท ๐) = ๐) |
15 | 9, 12, 14 | 3eqtr4rd 2233 | . . . . 5 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ ๐ต) โ (1 ยท ๐) = ((0 ยท ๐) + ๐)) |
16 | 15 | 3adant2 1018 | . . . 4 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ0 โง ๐ โ ๐ต) โ (1 ยท ๐) = ((0 ยท ๐) + ๐)) |
17 | oveq1 5898 | . . . . . . 7 โข (๐ = 0 โ (๐ + 1) = (0 + 1)) | |
18 | 1e0p1 9444 | . . . . . . 7 โข 1 = (0 + 1) | |
19 | 17, 18 | eqtr4di 2240 | . . . . . 6 โข (๐ = 0 โ (๐ + 1) = 1) |
20 | 19 | oveq1d 5906 | . . . . 5 โข (๐ = 0 โ ((๐ + 1) ยท ๐) = (1 ยท ๐)) |
21 | oveq1 5898 | . . . . . 6 โข (๐ = 0 โ (๐ ยท ๐) = (0 ยท ๐)) | |
22 | 21 | oveq1d 5906 | . . . . 5 โข (๐ = 0 โ ((๐ ยท ๐) + ๐) = ((0 ยท ๐) + ๐)) |
23 | 20, 22 | eqeq12d 2204 | . . . 4 โข (๐ = 0 โ (((๐ + 1) ยท ๐) = ((๐ ยท ๐) + ๐) โ (1 ยท ๐) = ((0 ยท ๐) + ๐))) |
24 | 16, 23 | syl5ibrcom 157 | . . 3 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ0 โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ = 0 โ ((๐ + 1) ยท ๐) = ((๐ ยท ๐) + ๐))) |
25 | 24 | imp 124 | . 2 โข (((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ0 โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ = 0) โ ((๐ + 1) ยท ๐) = ((๐ ยท ๐) + ๐)) |
26 | simp2 1000 | . . 3 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ0 โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ โ0) | |
27 | elnn0 9197 | . . 3 โข (๐ โ โ0 โ (๐ โ โ โจ ๐ = 0)) | |
28 | 26, 27 | sylib 122 | . 2 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ0 โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ โ โจ ๐ = 0)) |
29 | 7, 25, 28 | mpjaodan 799 | 1 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ0 โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ + 1) ยท ๐) = ((๐ ยท ๐) + ๐)) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 104 โจ wo 709 โง w3a 980 = wceq 1364 โ wcel 2160 โcfv 5231 (class class class)co 5891 0cc0 7830 1c1 7831 + caddc 7833 โcn 8938 โ0cn0 9195 Basecbs 12486 +gcplusg 12561 0gc0g 12733 Mndcmnd 12849 .gcmg 13033 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-nul 4144 ax-pow 4189 ax-pr 4224 ax-un 4448 ax-setind 4551 ax-iinf 4602 ax-cnex 7921 ax-resscn 7922 ax-1cn 7923 ax-1re 7924 ax-icn 7925 ax-addcl 7926 ax-addrcl 7927 ax-mulcl 7928 ax-addcom 7930 ax-addass 7932 ax-distr 7934 ax-i2m1 7935 ax-0lt1 7936 ax-0id 7938 ax-rnegex 7939 ax-cnre 7941 ax-pre-ltirr 7942 ax-pre-ltwlin 7943 ax-pre-lttrn 7944 ax-pre-ltadd 7946 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-if 3550 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-tr 4117 df-id 4308 df-iord 4381 df-on 4383 df-ilim 4384 df-suc 4386 df-iom 4605 df-xp 4647 df-rel 4648 df-cnv 4649 df-co 4650 df-dm 4651 df-rn 4652 df-res 4653 df-ima 4654 df-iota 5193 df-fun 5233 df-fn 5234 df-f 5235 df-f1 5236 df-fo 5237 df-f1o 5238 df-fv 5239 df-riota 5847 df-ov 5894 df-oprab 5895 df-mpo 5896 df-1st 6159 df-2nd 6160 df-recs 6324 df-frec 6410 df-pnf 8013 df-mnf 8014 df-xr 8015 df-ltxr 8016 df-le 8017 df-sub 8149 df-neg 8150 df-inn 8939 df-2 8997 df-n0 9196 df-z 9273 df-uz 9548 df-seqfrec 10465 df-ndx 12489 df-slot 12490 df-base 12492 df-plusg 12574 df-0g 12735 df-mgm 12804 df-sgrp 12837 df-mnd 12850 df-minusg 12921 df-mulg 13034 |
This theorem is referenced by: mulgaddcom 13058 mulginvcom 13059 mulgneg2 13068 mhmmulg 13075 srgmulgass 13310 srgpcomp 13311 srgpcompp 13312 lmodvsmmulgdi 13606 cnfldmulg 13846 cnfldexp 13847 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |