![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > mulgnn0p1 | GIF version |
Description: Group multiple (exponentiation) operation at a successor, extended to โ0. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
mulgnn0p1.b | โข ๐ต = (Baseโ๐บ) |
mulgnn0p1.t | โข ยท = (.gโ๐บ) |
mulgnn0p1.p | โข + = (+gโ๐บ) |
Ref | Expression |
---|---|
mulgnn0p1 | โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ0 โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ + 1) ยท ๐) = ((๐ ยท ๐) + ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | simpr 110 | . . 3 โข (((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ0 โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ โ) โ ๐ โ โ) | |
2 | simpl3 1003 | . . 3 โข (((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ0 โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ โ) โ ๐ โ ๐ต) | |
3 | mulgnn0p1.b | . . . 4 โข ๐ต = (Baseโ๐บ) | |
4 | mulgnn0p1.t | . . . 4 โข ยท = (.gโ๐บ) | |
5 | mulgnn0p1.p | . . . 4 โข + = (+gโ๐บ) | |
6 | 3, 4, 5 | mulgnnp1 13022 | . . 3 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ + 1) ยท ๐) = ((๐ ยท ๐) + ๐)) |
7 | 1, 2, 6 | syl2anc 411 | . 2 โข (((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ0 โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ โ) โ ((๐ + 1) ยท ๐) = ((๐ ยท ๐) + ๐)) |
8 | eqid 2187 | . . . . . . 7 โข (0gโ๐บ) = (0gโ๐บ) | |
9 | 3, 5, 8 | mndlid 12857 | . . . . . 6 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ ๐ต) โ ((0gโ๐บ) + ๐) = ๐) |
10 | 3, 8, 4 | mulg0 13019 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ ๐ต โ (0 ยท ๐) = (0gโ๐บ)) |
11 | 10 | adantl 277 | . . . . . . 7 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ ๐ต) โ (0 ยท ๐) = (0gโ๐บ)) |
12 | 11 | oveq1d 5903 | . . . . . 6 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ ๐ต) โ ((0 ยท ๐) + ๐) = ((0gโ๐บ) + ๐)) |
13 | 3, 4 | mulg1 13021 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ต โ (1 ยท ๐) = ๐) |
14 | 13 | adantl 277 | . . . . . 6 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ ๐ต) โ (1 ยท ๐) = ๐) |
15 | 9, 12, 14 | 3eqtr4rd 2231 | . . . . 5 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ ๐ต) โ (1 ยท ๐) = ((0 ยท ๐) + ๐)) |
16 | 15 | 3adant2 1017 | . . . 4 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ0 โง ๐ โ ๐ต) โ (1 ยท ๐) = ((0 ยท ๐) + ๐)) |
17 | oveq1 5895 | . . . . . . 7 โข (๐ = 0 โ (๐ + 1) = (0 + 1)) | |
18 | 1e0p1 9438 | . . . . . . 7 โข 1 = (0 + 1) | |
19 | 17, 18 | eqtr4di 2238 | . . . . . 6 โข (๐ = 0 โ (๐ + 1) = 1) |
20 | 19 | oveq1d 5903 | . . . . 5 โข (๐ = 0 โ ((๐ + 1) ยท ๐) = (1 ยท ๐)) |
21 | oveq1 5895 | . . . . . 6 โข (๐ = 0 โ (๐ ยท ๐) = (0 ยท ๐)) | |
22 | 21 | oveq1d 5903 | . . . . 5 โข (๐ = 0 โ ((๐ ยท ๐) + ๐) = ((0 ยท ๐) + ๐)) |
23 | 20, 22 | eqeq12d 2202 | . . . 4 โข (๐ = 0 โ (((๐ + 1) ยท ๐) = ((๐ ยท ๐) + ๐) โ (1 ยท ๐) = ((0 ยท ๐) + ๐))) |
24 | 16, 23 | syl5ibrcom 157 | . . 3 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ0 โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ = 0 โ ((๐ + 1) ยท ๐) = ((๐ ยท ๐) + ๐))) |
25 | 24 | imp 124 | . 2 โข (((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ0 โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ = 0) โ ((๐ + 1) ยท ๐) = ((๐ ยท ๐) + ๐)) |
26 | simp2 999 | . . 3 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ0 โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ โ0) | |
27 | elnn0 9191 | . . 3 โข (๐ โ โ0 โ (๐ โ โ โจ ๐ = 0)) | |
28 | 26, 27 | sylib 122 | . 2 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ0 โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ โ โจ ๐ = 0)) |
29 | 7, 25, 28 | mpjaodan 799 | 1 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ0 โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ + 1) ยท ๐) = ((๐ ยท ๐) + ๐)) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 104 โจ wo 709 โง w3a 979 = wceq 1363 โ wcel 2158 โcfv 5228 (class class class)co 5888 0cc0 7824 1c1 7825 + caddc 7827 โcn 8932 โ0cn0 9189 Basecbs 12475 +gcplusg 12550 0gc0g 12722 Mndcmnd 12838 .gcmg 13013 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-13 2160 ax-14 2161 ax-ext 2169 ax-coll 4130 ax-sep 4133 ax-nul 4141 ax-pow 4186 ax-pr 4221 ax-un 4445 ax-setind 4548 ax-iinf 4599 ax-cnex 7915 ax-resscn 7916 ax-1cn 7917 ax-1re 7918 ax-icn 7919 ax-addcl 7920 ax-addrcl 7921 ax-mulcl 7922 ax-addcom 7924 ax-addass 7926 ax-distr 7928 ax-i2m1 7929 ax-0lt1 7930 ax-0id 7932 ax-rnegex 7933 ax-cnre 7935 ax-pre-ltirr 7936 ax-pre-ltwlin 7937 ax-pre-lttrn 7938 ax-pre-ltadd 7940 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 980 df-3an 981 df-tru 1366 df-fal 1369 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2039 df-mo 2040 df-clab 2174 df-cleq 2180 df-clel 2183 df-nfc 2318 df-ne 2358 df-nel 2453 df-ral 2470 df-rex 2471 df-reu 2472 df-rmo 2473 df-rab 2474 df-v 2751 df-sbc 2975 df-csb 3070 df-dif 3143 df-un 3145 df-in 3147 df-ss 3154 df-nul 3435 df-if 3547 df-pw 3589 df-sn 3610 df-pr 3611 df-op 3613 df-uni 3822 df-int 3857 df-iun 3900 df-br 4016 df-opab 4077 df-mpt 4078 df-tr 4114 df-id 4305 df-iord 4378 df-on 4380 df-ilim 4381 df-suc 4383 df-iom 4602 df-xp 4644 df-rel 4645 df-cnv 4646 df-co 4647 df-dm 4648 df-rn 4649 df-res 4650 df-ima 4651 df-iota 5190 df-fun 5230 df-fn 5231 df-f 5232 df-f1 5233 df-fo 5234 df-f1o 5235 df-fv 5236 df-riota 5844 df-ov 5891 df-oprab 5892 df-mpo 5893 df-1st 6154 df-2nd 6155 df-recs 6319 df-frec 6405 df-pnf 8007 df-mnf 8008 df-xr 8009 df-ltxr 8010 df-le 8011 df-sub 8143 df-neg 8144 df-inn 8933 df-2 8991 df-n0 9190 df-z 9267 df-uz 9542 df-seqfrec 10459 df-ndx 12478 df-slot 12479 df-base 12481 df-plusg 12563 df-0g 12724 df-mgm 12793 df-sgrp 12826 df-mnd 12839 df-minusg 12902 df-mulg 13014 |
This theorem is referenced by: mulgaddcom 13038 mulginvcom 13039 mulgneg2 13048 mhmmulg 13055 srgmulgass 13236 srgpcomp 13237 srgpcompp 13238 lmodvsmmulgdi 13507 cnfldmulg 13727 cnfldexp 13728 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |