ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulgnn0p1 GIF version

Theorem mulgnn0p1 13045
Description: Group multiple (exponentiation) operation at a successor, extended to โ„•0. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnn0p1.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgnn0p1.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
mulgnn0p1.p + = (+gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgnn0p1 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ + 1) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹))

Proof of Theorem mulgnn0p1
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . 3 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2 simpl3 1004 . . 3 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
3 mulgnn0p1.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
4 mulgnn0p1.t . . . 4 ยท = (.gโ€˜๐บ)
5 mulgnn0p1.p . . . 4 + = (+gโ€˜๐บ)
63, 4, 5mulgnnp1 13042 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ + 1) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹))
71, 2, 6syl2anc 411 . 2 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ + 1) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹))
8 eqid 2189 . . . . . . 7 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
93, 5, 8mndlid 12868 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0gโ€˜๐บ) + ๐‘‹) = ๐‘‹)
103, 8, 4mulg0 13039 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
1110adantl 277 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
1211oveq1d 5906 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0 ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = ((0gโ€˜๐บ) + ๐‘‹))
133, 4mulg1 13041 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (1 ยท ๐‘‹) = ๐‘‹)
1413adantl 277 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (1 ยท ๐‘‹) = ๐‘‹)
159, 12, 143eqtr4rd 2233 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (1 ยท ๐‘‹) = ((0 ยท ๐‘‹) + ๐‘‹))
16153adant2 1018 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (1 ยท ๐‘‹) = ((0 ยท ๐‘‹) + ๐‘‹))
17 oveq1 5898 . . . . . . 7 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘ + 1) = (0 + 1))
18 1e0p1 9444 . . . . . . 7 1 = (0 + 1)
1917, 18eqtr4di 2240 . . . . . 6 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘ + 1) = 1)
2019oveq1d 5906 . . . . 5 (๐‘ = 0 โ†’ ((๐‘ + 1) ยท ๐‘‹) = (1 ยท ๐‘‹))
21 oveq1 5898 . . . . . 6 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = (0 ยท ๐‘‹))
2221oveq1d 5906 . . . . 5 (๐‘ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = ((0 ยท ๐‘‹) + ๐‘‹))
2320, 22eqeq12d 2204 . . . 4 (๐‘ = 0 โ†’ (((๐‘ + 1) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) โ†” (1 ยท ๐‘‹) = ((0 ยท ๐‘‹) + ๐‘‹)))
2416, 23syl5ibrcom 157 . . 3 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ = 0 โ†’ ((๐‘ + 1) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹)))
2524imp 124 . 2 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘ + 1) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹))
26 simp2 1000 . . 3 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
27 elnn0 9197 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0))
2826, 27sylib 122 . 2 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0))
297, 25, 28mpjaodan 799 1 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ + 1) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆจ wo 709   โˆง w3a 980   = wceq 1364   โˆˆ wcel 2160  โ€˜cfv 5231  (class class class)co 5891  0cc0 7830  1c1 7831   + caddc 7833  โ„•cn 8938  โ„•0cn0 9195  Basecbs 12486  +gcplusg 12561  0gc0g 12733  Mndcmnd 12849  .gcmg 13033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-addcom 7930  ax-addass 7932  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-ltadd 7946
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-inn 8939  df-2 8997  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-seqfrec 10465  df-ndx 12489  df-slot 12490  df-base 12492  df-plusg 12574  df-0g 12735  df-mgm 12804  df-sgrp 12837  df-mnd 12850  df-minusg 12921  df-mulg 13034
This theorem is referenced by:  mulgaddcom  13058  mulginvcom  13059  mulgneg2  13068  mhmmulg  13075  srgmulgass  13310  srgpcomp  13311  srgpcompp  13312  lmodvsmmulgdi  13606  cnfldmulg  13846  cnfldexp  13847
  Copyright terms: Public domain W3C validator