Theorem mulgnn0p1 12845

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a successor, extended to ℕ₀. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0p1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0p1.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0p1.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0p1	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))

Proof of Theorem mulgnn0p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		simpl3 998	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		mulgnn0p1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		mulgnn0p1.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5		mulgnn0p1.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6	3, 4, 5	mulgnnp1 12842	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
7	1, 2, 6	syl2anc 409	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
8		eqid 2171	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
9	3, 5, 8	mndlid 12693	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + 𝑋) = 𝑋)
10	3, 8, 4	mulg0 12839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
11	10	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
12	11	oveq1d 5872	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0 · 𝑋) + 𝑋) = ((0g‘𝐺) + 𝑋))
13	3, 4	mulg1 12841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (1 · 𝑋) = 𝑋)
14	13	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1 · 𝑋) = 𝑋)
15	9, 12, 14	3eqtr4rd 2215	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1 · 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋))
16	15	3adant2 1012	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1 · 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋))
17		oveq1 5864	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
18		1e0p1 9388	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (0 + 1)
19	17, 18	eqtr4di 2222	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = 1)
20	19	oveq1d 5872	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = (1 · 𝑋))
21		oveq1 5864	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
22	21	oveq1d 5872	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋))
23	20, 22	eqeq12d 2186	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) ↔ (1 · 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋)))
24	16, 23	syl5ibrcom 156	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 = 0 → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋)))
25	24	imp 123	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
26		simp2 994	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
27		elnn0 9141	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
28	26, 27	sylib 121	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
29	7, 25, 28	mpjaodan 794	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 704   ∧ w3a 974   = wceq 1349   ∈ wcel 2142  ‘cfv 5200  (class class class)co 5857  0cc0 7778  1c1 7779   + caddc 7781  ℕcn 8882  ℕ₀cn0 9139  Basecbs 12420  +_gcplusg 12484  0_gc0g 12618  Mndcmnd 12674  ._gcmg 12834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-coll 4105  ax-sep 4108  ax-nul 4116  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-iinf 4573  ax-cnex 7869  ax-resscn 7870  ax-1cn 7871  ax-1re 7872  ax-icn 7873  ax-addcl 7874  ax-addrcl 7875  ax-mulcl 7876  ax-addcom 7878  ax-addass 7880  ax-distr 7882  ax-i2m1 7883  ax-0lt1 7884  ax-0id 7886  ax-rnegex 7887  ax-cnre 7889  ax-pre-ltirr 7890  ax-pre-ltwlin 7891  ax-pre-lttrn 7892  ax-pre-ltadd 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 831  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-nel 2437  df-ral 2454  df-rex 2455  df-reu 2456  df-rmo 2457  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-csb 3051  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-nul 3416  df-if 3528  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-int 3833  df-iun 3876  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4089  df-id 4279  df-iord 4352  df-on 4354  df-ilim 4355  df-suc 4357  df-iom 4576  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-f1 5205  df-fo 5206  df-f1o 5207  df-fv 5208  df-riota 5813  df-ov 5860  df-oprab 5861  df-mpo 5862  df-1st 6123  df-2nd 6124  df-recs 6288  df-frec 6374  df-pnf 7960  df-mnf 7961  df-xr 7962  df-ltxr 7963  df-le 7964  df-sub 8096  df-neg 8097  df-inn 8883  df-2 8941  df-n0 9140  df-z 9217  df-uz 9492  df-seqfrec 10406  df-ndx 12423  df-slot 12424  df-base 12426  df-plusg 12497  df-0g 12620  df-mgm 12632  df-sgrp 12665  df-mnd 12675  df-minusg 12734  df-mulg 12835

This theorem is referenced by:  mulgaddcom  12857  mulginvcom  12858  mulgneg2  12867  mhmmulg  12874