Theorem ser3mono 10750

Description: The partial sums in an infinite series of positive terms form a monotonic sequence. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sermono.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
sermono.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
ser3mono.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
sermono.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
ser3mono	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Proof of Theorem ser3mono

Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sermono.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
3		sermono.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzel2 9760	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
7		ser3mono.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
8	7	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
9	2, 6, 8	serfre 10747	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶ℝ)
10		elfzuz 10256	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
11		uztrn 9773	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
12	10, 3, 11	syl2anr 290	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
13	9, 12	ffvelcdmd 5783	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
14		fveq2 5639	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
15	14	breq2d 4100	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ 0 ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
16		sermono.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
17	16	ralrimiva 2605	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)0 ≤ (𝐹‘𝑥))
18	17	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ∀𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)0 ≤ (𝐹‘𝑥))
19		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)))
20	3	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
21		eluzelz 9765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
23	1	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
24		eluzelz 9765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
26		peano2zm 9517	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
27	25, 26	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
28		elfzelz 10260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
29	28	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
30		1zzd 9506	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
31		fzaddel 10294	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))))
32	22, 27, 29, 30, 31	syl22anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))))
33	19, 32	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)))
34		zcn 9484	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
35		ax-1cn 8125	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
36		npcan 8388	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
37	34, 35, 36	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
38	25, 37	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
39	38	oveq2d 6034	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝐾 + 1)...𝑁))
40	33, 39	eleqtrd 2310	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁))
41	15, 18, 40	rspcdva 2915	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
42		fzelp1 10309	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
43	42	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
44	38	oveq2d 6034	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝐾...𝑁))
45	43, 44	eleqtrd 2310	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁))
46	45, 13	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
47	14	eleq1d 2300	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
48	7	ralrimiva 2605	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
49	48	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
50		fzss1 10298	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
51	20, 50	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
52		fzp1elp1 10310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
53	52	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
54	53, 44	eleqtrd 2310	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (𝐾...𝑁))
55	51, 54	sseldd 3228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
56		elfzuz 10256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
57	55, 56	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
58	47, 49, 57	rspcdva 2915	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
59	46, 58	addge01d 8713	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (0 ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
60	41, 59	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1))))
61	45, 12	syldan 282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
62	7	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
63		readdcl 8158	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
64	63	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
65	61, 62, 64	seq3p1 10728	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1))))
66	60, 65	breqtrrd 4116	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)))
67	1, 13, 66	monoord 10748	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510   ⊆ wss 3200   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  ℝcr 8031  0cc0 8032  1c1 8033   + caddc 8035   ≤ cle 8215   − cmin 8350  ℤcz 9479  ℤ_≥cuz 9755  ...cfz 10243  seqcseq 10710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-seqfrec 10711

This theorem is referenced by: (None)