Theorem ser3mono 10726

Description: The partial sums in an infinite series of positive terms form a monotonic sequence. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sermono.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
sermono.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
ser3mono.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
sermono.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
ser3mono	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Proof of Theorem ser3mono

Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sermono.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
3		sermono.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzel2 9743	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
7		ser3mono.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
8	7	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
9	2, 6, 8	serfre 10723	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶ℝ)
10		elfzuz 10234	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
11		uztrn 9756	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
12	10, 3, 11	syl2anr 290	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
13	9, 12	ffvelcdmd 5776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
14		fveq2 5632	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
15	14	breq2d 4095	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ 0 ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
16		sermono.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
17	16	ralrimiva 2603	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)0 ≤ (𝐹‘𝑥))
18	17	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ∀𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)0 ≤ (𝐹‘𝑥))
19		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)))
20	3	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
21		eluzelz 9748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
23	1	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
24		eluzelz 9748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
26		peano2zm 9500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
27	25, 26	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
28		elfzelz 10238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
29	28	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
30		1zzd 9489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
31		fzaddel 10272	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))))
32	22, 27, 29, 30, 31	syl22anc 1272	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))))
33	19, 32	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)))
34		zcn 9467	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
35		ax-1cn 8108	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
36		npcan 8371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
37	34, 35, 36	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
38	25, 37	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
39	38	oveq2d 6026	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝐾 + 1)...𝑁))
40	33, 39	eleqtrd 2308	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁))
41	15, 18, 40	rspcdva 2912	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
42		fzelp1 10287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
43	42	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
44	38	oveq2d 6026	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝐾...𝑁))
45	43, 44	eleqtrd 2308	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁))
46	45, 13	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
47	14	eleq1d 2298	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
48	7	ralrimiva 2603	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
49	48	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
50		fzss1 10276	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
51	20, 50	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
52		fzp1elp1 10288	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
53	52	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
54	53, 44	eleqtrd 2308	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (𝐾...𝑁))
55	51, 54	sseldd 3225	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
56		elfzuz 10234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
57	55, 56	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
58	47, 49, 57	rspcdva 2912	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
59	46, 58	addge01d 8696	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (0 ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
60	41, 59	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1))))
61	45, 12	syldan 282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
62	7	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
63		readdcl 8141	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
64	63	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
65	61, 62, 64	seq3p1 10704	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1))))
66	60, 65	breqtrrd 4111	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 + 1)))
67	1, 13, 66	monoord 10724	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   ⊆ wss 3197   class class class wbr 4083  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  ℂcc 8013  ℝcr 8014  0cc0 8015  1c1 8016   + caddc 8018   ≤ cle 8198   − cmin 8333  ℤcz 9462  ℤ_≥cuz 9738  ...cfz 10221  seqcseq 10686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-fz 10222  df-seqfrec 10687

This theorem is referenced by: (None)