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Theorem sqoddm1div8 10643
Description: A squared odd number minus 1 divided by 8 is the odd number multiplied with its successor divided by 2. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
sqoddm1div8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (((𝑀↑2) − 1) / 8) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2))

Proof of Theorem sqoddm1div8
StepHypRef Expression
1 oveq1 5872 . . . . . 6 (𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1) → (𝑀↑2) = (((2 · 𝑁) + 1)↑2))
2 2z 9254 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
32a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
4 id 19 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
53, 4zmulcld 9354 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
65zcnd 9349 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
7 binom21 10602 . . . . . . 7 ((2 · 𝑁) ∈ ℂ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) = ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1))
86, 7syl 14 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) = ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1))
91, 8sylan9eqr 2230 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (𝑀↑2) = ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1))
109oveq1d 5880 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → ((𝑀↑2) − 1) = (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1) − 1))
11 2cnd 8965 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
12 zcn 9231 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
1311, 12sqmuld 10635 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁)↑2) = ((2↑2) · (𝑁↑2)))
14 sq2 10585 . . . . . . . . . . . 12 (2↑2) = 4
1514a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (2↑2) = 4)
1615oveq1d 5880 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → ((2↑2) · (𝑁↑2)) = (4 · (𝑁↑2)))
1713, 16eqtrd 2208 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁)↑2) = (4 · (𝑁↑2)))
18 mulass 7917 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((2 · 2) · 𝑁) = (2 · (2 · 𝑁)))
1918eqcomd 2181 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (2 · (2 · 𝑁)) = ((2 · 2) · 𝑁))
2011, 11, 12, 19syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (2 · 𝑁)) = ((2 · 2) · 𝑁))
21 2t2e4 9046 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 2) = 4
2221a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 2) = 4)
2322oveq1d 5880 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 2) · 𝑁) = (4 · 𝑁))
2420, 23eqtrd 2208 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (2 · 𝑁)) = (4 · 𝑁))
2517, 24oveq12d 5883 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
2625oveq1d 5880 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1) = (((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) + 1))
2726oveq1d 5880 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1) − 1) = ((((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) + 1) − 1))
28 4z 9256 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℤ
2928a1i 9 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 4 ∈ ℤ)
30 zsqcl 10560 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) ∈ ℤ)
3129, 30zmulcld 9354 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (4 · (𝑁↑2)) ∈ ℤ)
3231zcnd 9349 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (4 · (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
3329, 4zmulcld 9354 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (4 · 𝑁) ∈ ℤ)
3433zcnd 9349 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (4 · 𝑁) ∈ ℂ)
3532, 34addcld 7951 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) ∈ ℂ)
36 pncan1 8308 . . . . . . 7 (((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) ∈ ℂ → ((((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) + 1) − 1) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
3735, 36syl 14 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) + 1) − 1) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
3827, 37eqtrd 2208 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1) − 1) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
3938adantr 276 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1) − 1) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
4010, 39eqtrd 2208 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → ((𝑀↑2) − 1) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
4140oveq1d 5880 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (((𝑀↑2) − 1) / 8) = (((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) / 8))
42 4cn 8970 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
4342a1i 9 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 4 ∈ ℂ)
4430zcnd 9349 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
4543, 44, 12adddid 7956 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
4645eqcomd 2181 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) = (4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)))
4746oveq1d 5880 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) / 8) = ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / 8))
4847adantr 276 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) / 8) = ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / 8))
49 4t2e8 9050 . . . . . . 7 (4 · 2) = 8
5049a1i 9 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (4 · 2) = 8)
5150eqcomd 2181 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 8 = (4 · 2))
5251oveq2d 5881 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / 8) = ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / (4 · 2)))
5330, 4zaddcld 9352 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) + 𝑁) ∈ ℤ)
5453zcnd 9349 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) + 𝑁) ∈ ℂ)
55 2ap0 8985 . . . . . 6 2 # 0
5655a1i 9 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 2 # 0)
57 4ap0 8991 . . . . . 6 4 # 0
5857a1i 9 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 4 # 0)
5954, 11, 43, 56, 58divcanap5d 8747 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / (4 · 2)) = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
6012sqvald 10620 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
6160oveq1d 5880 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) + 𝑁) = ((𝑁 · 𝑁) + 𝑁))
6212mulid1d 7949 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
6362eqcomd 2181 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 = (𝑁 · 1))
6463oveq2d 5881 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑁) + 𝑁) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)))
65 1cnd 7948 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
66 adddi 7918 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 · (𝑁 + 1)) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)))
6766eqcomd 2181 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)) = (𝑁 · (𝑁 + 1)))
6812, 12, 65, 67syl3anc 1238 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)) = (𝑁 · (𝑁 + 1)))
6961, 64, 683eqtrd 2212 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) + 𝑁) = (𝑁 · (𝑁 + 1)))
7069oveq1d 5880 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2))
7152, 59, 703eqtrd 2212 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / 8) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2))
7271adantr 276 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / 8) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2))
7341, 48, 723eqtrd 2212 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (((𝑀↑2) − 1) / 8) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2146   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865  cc 7784  0cc0 7786  1c1 7787   + caddc 7789   · cmul 7791  cmin 8102   # cap 8512   / cdiv 8602  2c2 8943  4c4 8945  8c8 8949  cz 9226  cexp 10489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-5 8954  df-6 8955  df-7 8956  df-8 8957  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-seqfrec 10416  df-exp 10490
This theorem is referenced by:  sqoddm1div8z  11858
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