Theorem sqoddm1div8 11080

Description: A squared odd number minus 1 divided by 8 is the odd number multiplied with its successor divided by 2. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sqoddm1div8	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (((𝑀↑2) − 1) / 8) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2))

Proof of Theorem sqoddm1div8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6065	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1) → (𝑀↑2) = (((2 · 𝑁) + 1)↑2))
2		2z 9622	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
3	2	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
4		id 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
5	3, 4	zmulcld 9724	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
6	5	zcnd 9719	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
7		binom21 11038	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℂ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) = ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1))
8	6, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) = ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1))
9	1, 8	sylan9eqr 2289	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (𝑀↑2) = ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1))
10	9	oveq1d 6073	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → ((𝑀↑2) − 1) = (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1) − 1))
11		2cnd 9327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
12		zcn 9599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
13	11, 12	sqmuld 11072	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁)↑2) = ((2↑2) · (𝑁↑2)))
14		sq2 11021	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑2) = 4
15	14	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2↑2) = 4)
16	15	oveq1d 6073	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2↑2) · (𝑁↑2)) = (4 · (𝑁↑2)))
17	13, 16	eqtrd 2267	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁)↑2) = (4 · (𝑁↑2)))
18		mulass 8274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((2 · 2) · 𝑁) = (2 · (2 · 𝑁)))
19	18	eqcomd 2240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (2 · (2 · 𝑁)) = ((2 · 2) · 𝑁))
20	11, 11, 12, 19	syl3anc 1274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (2 · 𝑁)) = ((2 · 2) · 𝑁))
21		2t2e4 9409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 2) = 4
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 2) = 4)
23	22	oveq1d 6073	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 2) · 𝑁) = (4 · 𝑁))
24	20, 23	eqtrd 2267	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (2 · 𝑁)) = (4 · 𝑁))
25	17, 24	oveq12d 6076	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
26	25	oveq1d 6073	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1) = (((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) + 1))
27	26	oveq1d 6073	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1) − 1) = ((((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) + 1) − 1))
28		4z 9624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℤ
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 4 ∈ ℤ)
30		zsqcl 10996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) ∈ ℤ)
31	29, 30	zmulcld 9724	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (4 · (𝑁↑2)) ∈ ℤ)
32	31	zcnd 9719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (4 · (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
33	29, 4	zmulcld 9724	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (4 · 𝑁) ∈ ℤ)
34	33	zcnd 9719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (4 · 𝑁) ∈ ℂ)
35	32, 34	addcld 8309	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) ∈ ℂ)
36		pncan1 8667	. . . . . . 7 ⊢ (((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) ∈ ℂ → ((((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) + 1) − 1) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
37	35, 36	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) + 1) − 1) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
38	27, 37	eqtrd 2267	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1) − 1) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
39	38	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1) − 1) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
40	10, 39	eqtrd 2267	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → ((𝑀↑2) − 1) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
41	40	oveq1d 6073	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (((𝑀↑2) − 1) / 8) = (((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) / 8))
42		4cn 9332	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
43	42	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 4 ∈ ℂ)
44	30	zcnd 9719	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
45	43, 44, 12	adddid 8314	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
46	45	eqcomd 2240	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) = (4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)))
47	46	oveq1d 6073	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) / 8) = ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / 8))
48	47	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) / 8) = ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / 8))
49		4t2e8 9413	. . . . . . 7 ⊢ (4 · 2) = 8
50	49	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (4 · 2) = 8)
51	50	eqcomd 2240	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 8 = (4 · 2))
52	51	oveq2d 6074	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / 8) = ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / (4 · 2)))
53	30, 4	zaddcld 9722	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) + 𝑁) ∈ ℤ)
54	53	zcnd 9719	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) + 𝑁) ∈ ℂ)
55		2ap0 9347	. . . . . 6 ⊢ 2 # 0
56	55	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 # 0)
57		4ap0 9353	. . . . . 6 ⊢ 4 # 0
58	57	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 4 # 0)
59	54, 11, 43, 56, 58	divcanap5d 9108	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / (4 · 2)) = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
60	12	sqvald 11057	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
61	60	oveq1d 6073	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) + 𝑁) = ((𝑁 · 𝑁) + 𝑁))
62	12	mulridd 8307	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
63	62	eqcomd 2240	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 = (𝑁 · 1))
64	63	oveq2d 6074	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑁) + 𝑁) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)))
65		1cnd 8306	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
66		adddi 8275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 · (𝑁 + 1)) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)))
67	66	eqcomd 2240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)) = (𝑁 · (𝑁 + 1)))
68	12, 12, 65, 67	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)) = (𝑁 · (𝑁 + 1)))
69	61, 64, 68	3eqtrd 2271	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) + 𝑁) = (𝑁 · (𝑁 + 1)))
70	69	oveq1d 6073	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2))
71	52, 59, 70	3eqtrd 2271	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / 8) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2))
72	71	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / 8) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2))
73	41, 48, 72	3eqtrd 2271	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (((𝑀↑2) − 1) / 8) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  0cc0 8143  1c1 8144   + caddc 8146   · cmul 8148   − cmin 8460   # cap 8872   / cdiv 8963  2c2 9305  4c4 9307  8c8 9311  ℤcz 9594  ↑cexp 10924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-seqfrec 10834  df-exp 10925

This theorem is referenced by:  sqoddm1div8z  12597