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Theorem sqoddm1div8 10659
Description: A squared odd number minus 1 divided by 8 is the odd number multiplied with its successor divided by 2. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
sqoddm1div8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (((𝑀↑2) − 1) / 8) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2))

Proof of Theorem sqoddm1div8
StepHypRef Expression
1 oveq1 5876 . . . . . 6 (𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1) → (𝑀↑2) = (((2 · 𝑁) + 1)↑2))
2 2z 9270 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
32a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
4 id 19 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
53, 4zmulcld 9370 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
65zcnd 9365 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
7 binom21 10618 . . . . . . 7 ((2 · 𝑁) ∈ ℂ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) = ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1))
86, 7syl 14 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) = ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1))
91, 8sylan9eqr 2232 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (𝑀↑2) = ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1))
109oveq1d 5884 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → ((𝑀↑2) − 1) = (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1) − 1))
11 2cnd 8981 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
12 zcn 9247 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
1311, 12sqmuld 10651 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁)↑2) = ((2↑2) · (𝑁↑2)))
14 sq2 10601 . . . . . . . . . . . 12 (2↑2) = 4
1514a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (2↑2) = 4)
1615oveq1d 5884 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → ((2↑2) · (𝑁↑2)) = (4 · (𝑁↑2)))
1713, 16eqtrd 2210 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁)↑2) = (4 · (𝑁↑2)))
18 mulass 7933 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((2 · 2) · 𝑁) = (2 · (2 · 𝑁)))
1918eqcomd 2183 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (2 · (2 · 𝑁)) = ((2 · 2) · 𝑁))
2011, 11, 12, 19syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (2 · 𝑁)) = ((2 · 2) · 𝑁))
21 2t2e4 9062 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 2) = 4
2221a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 2) = 4)
2322oveq1d 5884 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 2) · 𝑁) = (4 · 𝑁))
2420, 23eqtrd 2210 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (2 · 𝑁)) = (4 · 𝑁))
2517, 24oveq12d 5887 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
2625oveq1d 5884 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1) = (((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) + 1))
2726oveq1d 5884 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1) − 1) = ((((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) + 1) − 1))
28 4z 9272 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℤ
2928a1i 9 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 4 ∈ ℤ)
30 zsqcl 10576 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) ∈ ℤ)
3129, 30zmulcld 9370 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (4 · (𝑁↑2)) ∈ ℤ)
3231zcnd 9365 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (4 · (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
3329, 4zmulcld 9370 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (4 · 𝑁) ∈ ℤ)
3433zcnd 9365 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (4 · 𝑁) ∈ ℂ)
3532, 34addcld 7967 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) ∈ ℂ)
36 pncan1 8324 . . . . . . 7 (((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) ∈ ℂ → ((((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) + 1) − 1) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
3735, 36syl 14 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) + 1) − 1) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
3827, 37eqtrd 2210 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1) − 1) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
3938adantr 276 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1) − 1) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
4010, 39eqtrd 2210 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → ((𝑀↑2) − 1) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
4140oveq1d 5884 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (((𝑀↑2) − 1) / 8) = (((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) / 8))
42 4cn 8986 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
4342a1i 9 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 4 ∈ ℂ)
4430zcnd 9365 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
4543, 44, 12adddid 7972 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
4645eqcomd 2183 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) = (4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)))
4746oveq1d 5884 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) / 8) = ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / 8))
4847adantr 276 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) / 8) = ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / 8))
49 4t2e8 9066 . . . . . . 7 (4 · 2) = 8
5049a1i 9 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (4 · 2) = 8)
5150eqcomd 2183 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 8 = (4 · 2))
5251oveq2d 5885 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / 8) = ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / (4 · 2)))
5330, 4zaddcld 9368 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) + 𝑁) ∈ ℤ)
5453zcnd 9365 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) + 𝑁) ∈ ℂ)
55 2ap0 9001 . . . . . 6 2 # 0
5655a1i 9 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 2 # 0)
57 4ap0 9007 . . . . . 6 4 # 0
5857a1i 9 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 4 # 0)
5954, 11, 43, 56, 58divcanap5d 8763 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / (4 · 2)) = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
6012sqvald 10636 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
6160oveq1d 5884 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) + 𝑁) = ((𝑁 · 𝑁) + 𝑁))
6212mulid1d 7965 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
6362eqcomd 2183 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 = (𝑁 · 1))
6463oveq2d 5885 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑁) + 𝑁) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)))
65 1cnd 7964 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
66 adddi 7934 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 · (𝑁 + 1)) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)))
6766eqcomd 2183 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)) = (𝑁 · (𝑁 + 1)))
6812, 12, 65, 67syl3anc 1238 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)) = (𝑁 · (𝑁 + 1)))
6961, 64, 683eqtrd 2214 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) + 𝑁) = (𝑁 · (𝑁 + 1)))
7069oveq1d 5884 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2))
7152, 59, 703eqtrd 2214 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / 8) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2))
7271adantr 276 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / 8) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2))
7341, 48, 723eqtrd 2214 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (((𝑀↑2) − 1) / 8) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869  cc 7800  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807  cmin 8118   # cap 8528   / cdiv 8618  2c2 8959  4c4 8961  8c8 8965  cz 9242  cexp 10505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-5 8970  df-6 8971  df-7 8972  df-8 8973  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-seqfrec 10432  df-exp 10506
This theorem is referenced by:  sqoddm1div8z  11874
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