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Theorem sqoddm1div8 10700
Description: A squared odd number minus 1 divided by 8 is the odd number multiplied with its successor divided by 2. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
sqoddm1div8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (((𝑀↑2) − 1) / 8) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2))

Proof of Theorem sqoddm1div8
StepHypRef Expression
1 oveq1 5899 . . . . . 6 (𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1) → (𝑀↑2) = (((2 · 𝑁) + 1)↑2))
2 2z 9306 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
32a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
4 id 19 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
53, 4zmulcld 9406 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
65zcnd 9401 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
7 binom21 10659 . . . . . . 7 ((2 · 𝑁) ∈ ℂ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) = ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1))
86, 7syl 14 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) = ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1))
91, 8sylan9eqr 2244 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (𝑀↑2) = ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1))
109oveq1d 5907 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → ((𝑀↑2) − 1) = (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1) − 1))
11 2cnd 9017 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
12 zcn 9283 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
1311, 12sqmuld 10692 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁)↑2) = ((2↑2) · (𝑁↑2)))
14 sq2 10642 . . . . . . . . . . . 12 (2↑2) = 4
1514a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (2↑2) = 4)
1615oveq1d 5907 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → ((2↑2) · (𝑁↑2)) = (4 · (𝑁↑2)))
1713, 16eqtrd 2222 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁)↑2) = (4 · (𝑁↑2)))
18 mulass 7967 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((2 · 2) · 𝑁) = (2 · (2 · 𝑁)))
1918eqcomd 2195 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (2 · (2 · 𝑁)) = ((2 · 2) · 𝑁))
2011, 11, 12, 19syl3anc 1249 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (2 · 𝑁)) = ((2 · 2) · 𝑁))
21 2t2e4 9098 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 2) = 4
2221a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 2) = 4)
2322oveq1d 5907 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 2) · 𝑁) = (4 · 𝑁))
2420, 23eqtrd 2222 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (2 · 𝑁)) = (4 · 𝑁))
2517, 24oveq12d 5910 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
2625oveq1d 5907 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1) = (((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) + 1))
2726oveq1d 5907 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1) − 1) = ((((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) + 1) − 1))
28 4z 9308 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℤ
2928a1i 9 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 4 ∈ ℤ)
30 zsqcl 10617 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) ∈ ℤ)
3129, 30zmulcld 9406 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (4 · (𝑁↑2)) ∈ ℤ)
3231zcnd 9401 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (4 · (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
3329, 4zmulcld 9406 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (4 · 𝑁) ∈ ℤ)
3433zcnd 9401 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (4 · 𝑁) ∈ ℂ)
3532, 34addcld 8002 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) ∈ ℂ)
36 pncan1 8359 . . . . . . 7 (((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) ∈ ℂ → ((((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) + 1) − 1) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
3735, 36syl 14 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) + 1) − 1) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
3827, 37eqtrd 2222 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1) − 1) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
3938adantr 276 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1) − 1) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
4010, 39eqtrd 2222 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → ((𝑀↑2) − 1) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
4140oveq1d 5907 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (((𝑀↑2) − 1) / 8) = (((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) / 8))
42 4cn 9022 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
4342a1i 9 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 4 ∈ ℂ)
4430zcnd 9401 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
4543, 44, 12adddid 8007 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
4645eqcomd 2195 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) = (4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)))
4746oveq1d 5907 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) / 8) = ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / 8))
4847adantr 276 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) / 8) = ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / 8))
49 4t2e8 9102 . . . . . . 7 (4 · 2) = 8
5049a1i 9 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (4 · 2) = 8)
5150eqcomd 2195 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 8 = (4 · 2))
5251oveq2d 5908 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / 8) = ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / (4 · 2)))
5330, 4zaddcld 9404 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) + 𝑁) ∈ ℤ)
5453zcnd 9401 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) + 𝑁) ∈ ℂ)
55 2ap0 9037 . . . . . 6 2 # 0
5655a1i 9 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 2 # 0)
57 4ap0 9043 . . . . . 6 4 # 0
5857a1i 9 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 4 # 0)
5954, 11, 43, 56, 58divcanap5d 8799 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / (4 · 2)) = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
6012sqvald 10677 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
6160oveq1d 5907 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) + 𝑁) = ((𝑁 · 𝑁) + 𝑁))
6212mulridd 7999 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
6362eqcomd 2195 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 = (𝑁 · 1))
6463oveq2d 5908 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑁) + 𝑁) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)))
65 1cnd 7998 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
66 adddi 7968 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 · (𝑁 + 1)) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)))
6766eqcomd 2195 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)) = (𝑁 · (𝑁 + 1)))
6812, 12, 65, 67syl3anc 1249 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)) = (𝑁 · (𝑁 + 1)))
6961, 64, 683eqtrd 2226 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) + 𝑁) = (𝑁 · (𝑁 + 1)))
7069oveq1d 5907 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2))
7152, 59, 703eqtrd 2226 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / 8) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2))
7271adantr 276 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / 8) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2))
7341, 48, 723eqtrd 2226 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (((𝑀↑2) − 1) / 8) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5892  cc 7834  0cc0 7836  1c1 7837   + caddc 7839   · cmul 7841  cmin 8153   # cap 8563   / cdiv 8654  2c2 8995  4c4 8997  8c8 9001  cz 9278  cexp 10545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-mulrcl 7935  ax-addcom 7936  ax-mulcom 7937  ax-addass 7938  ax-mulass 7939  ax-distr 7940  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-1rid 7943  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-precex 7946  ax-cnre 7947  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-ltwlin 7949  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-apti 7951  ax-pre-ltadd 7952  ax-pre-mulgt0 7953  ax-pre-mulext 7954
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-frec 6411  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-xr 8021  df-ltxr 8022  df-le 8023  df-sub 8155  df-neg 8156  df-reap 8557  df-ap 8564  df-div 8655  df-inn 8945  df-2 9003  df-3 9004  df-4 9005  df-5 9006  df-6 9007  df-7 9008  df-8 9009  df-n0 9202  df-z 9279  df-uz 9554  df-seqfrec 10472  df-exp 10546
This theorem is referenced by:  sqoddm1div8z  11918
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