Theorem eulerth 12096

Description: Euler's theorem, a generalization of Fermat's little theorem. If A and N are coprime, then A ^ phi ( N ) == 1 (mod N). This is Metamath 100 proof #10. Also called Euler-Fermat theorem, see theorem 5.17 in [ApostolNT] p. 113. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eulerth	|- ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> ( ( A ^ ( phi ` N ) ) mod N ) = ( 1 mod N ) )

Proof of Theorem eulerth

Dummy variables f y k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phicl 12078	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) e. NN )
2	1	nnnn0d 9137	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) e. NN0 )
3		hashfz1 10650	. . . . . . 7 |- ( ( phi ` N ) e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) = ( phi ` N ) )
4	2, 3	syl 14	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> (♯ ` ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) = ( phi ` N ) )
5		dfphi2 12083	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) = (♯ ` { k e. ( 0..^ N ) | ( k gcd N ) = 1 } ) )
6	4, 5	eqtrd 2190	. . . . 5 |- ( N e. NN -> (♯ ` ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) = (♯ ` { k e. ( 0..^ N ) | ( k gcd N ) = 1 } ) )
7	6	3ad2ant1 1003	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> (♯ ` ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) = (♯ ` { k e. ( 0..^ N ) | ( k gcd N ) = 1 } ) )
8		1zzd 9188	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> 1 e. ZZ )
9	1	3ad2ant1 1003	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> ( phi ` N ) e. NN )
10	9	nnzd 9279	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> ( phi ` N ) e. ZZ )
11	8, 10	fzfigd 10323	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> ( 1 ... ( phi ` N ) ) e. Fin )
12		id 19	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) )
13		oveq1 5828	. . . . . . . 8 |- ( k = y -> ( k gcd N ) = ( y gcd N ) )
14	13	eqeq1d 2166	. . . . . . 7 |- ( k = y -> ( ( k gcd N ) = 1 <-> ( y gcd N ) = 1 ) )
15	14	cbvrabv 2711	. . . . . 6 |- { k e. ( 0..^ N ) | ( k gcd N ) = 1 } = { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 }
16	12, 15	eulerthlemfi 12091	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> { k e. ( 0..^ N ) | ( k gcd N ) = 1 } e. Fin )
17		hashen 10651	. . . . 5 |- ( ( ( 1 ... ( phi ` N ) ) e. Fin /\ { k e. ( 0..^ N ) | ( k gcd N ) = 1 } e. Fin ) -> ( (♯ ` ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) = (♯ ` { k e. ( 0..^ N ) | ( k gcd N ) = 1 } ) <-> ( 1 ... ( phi ` N ) ) ~~ { k e. ( 0..^ N ) | ( k gcd N ) = 1 } ) )
18	11, 16, 17	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> ( (♯ ` ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) = (♯ ` { k e. ( 0..^ N ) | ( k gcd N ) = 1 } ) <-> ( 1 ... ( phi ` N ) ) ~~ { k e. ( 0..^ N ) | ( k gcd N ) = 1 } ) )
19	7, 18	mpbid 146	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> ( 1 ... ( phi ` N ) ) ~~ { k e. ( 0..^ N ) | ( k gcd N ) = 1 } )
20		bren 6689	. . 3 |- ( ( 1 ... ( phi ` N ) ) ~~ { k e. ( 0..^ N ) | ( k gcd N ) = 1 } <-> E. f f : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> { k e. ( 0..^ N ) | ( k gcd N ) = 1 } )
21	19, 20	sylib 121	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> E. f f : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> { k e. ( 0..^ N ) | ( k gcd N ) = 1 } )
22		simpl 108	. . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ f : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> { k e. ( 0..^ N ) | ( k gcd N ) = 1 } ) -> ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) )
23		simpr 109	. . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ f : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> { k e. ( 0..^ N ) | ( k gcd N ) = 1 } ) -> f : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> { k e. ( 0..^ N ) | ( k gcd N ) = 1 } )
24	22, 15, 23	eulerthlemth 12095	. 2 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ f : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> { k e. ( 0..^ N ) | ( k gcd N ) = 1 } ) -> ( ( A ^ ( phi ` N ) ) mod N ) = ( 1 mod N ) )
25	21, 24	exlimddv 1878	1 |- ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> ( ( A ^ ( phi ` N ) ) mod N ) = ( 1 mod N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1335   E.wex 1472   e. wcel 2128   {crab 2439   class class class wbr 3965   -1-1-onto->wf1o 5168   ` cfv 5169  (class class class)co 5821   ~~ cen 6680   Fincfn 6682   0cc0 7726   1c1 7727   NNcn 8827   NN0cn0 9084   ZZcz 9161   ...cfz 9905  ..^cfzo 10034   mod cmo 10214   ^cexp 10411  ♯chash 10642   gcd cgcd 11821   phicphi 12073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843  ax-pre-mulext 7844  ax-arch 7845  ax-caucvg 7846

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-isom 5178  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-irdg 6314  df-frec 6335  df-1o 6360  df-oadd 6364  df-er 6477  df-en 6683  df-dom 6684  df-fin 6685  df-sup 6924  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451  df-div 8540  df-inn 8828  df-2 8886  df-3 8887  df-4 8888  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-q 9522  df-rp 9554  df-fz 9906  df-fzo 10035  df-fl 10162  df-mod 10215  df-seqfrec 10338  df-exp 10412  df-ihash 10643  df-cj 10735  df-re 10736  df-im 10737  df-rsqrt 10891  df-abs 10892  df-clim 11169  df-proddc 11441  df-dvds 11677  df-gcd 11822  df-phi 12074

This theorem is referenced by:  fermltl  12097  prmdiv  12098