Theorem eulerth 12235

Description: Euler's theorem, a generalization of Fermat's little theorem. If A and N are coprime, then A ^ phi ( N ) == 1 (mod N). This is Metamath 100 proof #10. Also called Euler-Fermat theorem, see theorem 5.17 in [ApostolNT] p. 113. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eulerth	|- ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> ( ( A ^ ( phi ` N ) ) mod N ) = ( 1 mod N ) )

Proof of Theorem eulerth

Dummy variables f y k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phicl 12217	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) e. NN )
2	1	nnnn0d 9231	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) e. NN0 )
3		hashfz1 10765	. . . . . . 7 |- ( ( phi ` N ) e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) = ( phi ` N ) )
4	2, 3	syl 14	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> (♯ ` ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) = ( phi ` N ) )
5		dfphi2 12222	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) = (♯ ` { k e. ( 0..^ N ) | ( k gcd N ) = 1 } ) )
6	4, 5	eqtrd 2210	. . . . 5 |- ( N e. NN -> (♯ ` ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) = (♯ ` { k e. ( 0..^ N ) | ( k gcd N ) = 1 } ) )
7	6	3ad2ant1 1018	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> (♯ ` ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) = (♯ ` { k e. ( 0..^ N ) | ( k gcd N ) = 1 } ) )
8		1zzd 9282	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> 1 e. ZZ )
9	1	3ad2ant1 1018	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> ( phi ` N ) e. NN )
10	9	nnzd 9376	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> ( phi ` N ) e. ZZ )
11	8, 10	fzfigd 10433	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> ( 1 ... ( phi ` N ) ) e. Fin )
12		id 19	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) )
13		oveq1 5884	. . . . . . . 8 |- ( k = y -> ( k gcd N ) = ( y gcd N ) )
14	13	eqeq1d 2186	. . . . . . 7 |- ( k = y -> ( ( k gcd N ) = 1 <-> ( y gcd N ) = 1 ) )
15	14	cbvrabv 2738	. . . . . 6 |- { k e. ( 0..^ N ) | ( k gcd N ) = 1 } = { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 }
16	12, 15	eulerthlemfi 12230	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> { k e. ( 0..^ N ) | ( k gcd N ) = 1 } e. Fin )
17		hashen 10766	. . . . 5 |- ( ( ( 1 ... ( phi ` N ) ) e. Fin /\ { k e. ( 0..^ N ) | ( k gcd N ) = 1 } e. Fin ) -> ( (♯ ` ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) = (♯ ` { k e. ( 0..^ N ) | ( k gcd N ) = 1 } ) <-> ( 1 ... ( phi ` N ) ) ~~ { k e. ( 0..^ N ) | ( k gcd N ) = 1 } ) )
18	11, 16, 17	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> ( (♯ ` ( 1 ... ( phi ` N ) ) ) = (♯ ` { k e. ( 0..^ N ) | ( k gcd N ) = 1 } ) <-> ( 1 ... ( phi ` N ) ) ~~ { k e. ( 0..^ N ) | ( k gcd N ) = 1 } ) )
19	7, 18	mpbid 147	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> ( 1 ... ( phi ` N ) ) ~~ { k e. ( 0..^ N ) | ( k gcd N ) = 1 } )
20		bren 6749	. . 3 |- ( ( 1 ... ( phi ` N ) ) ~~ { k e. ( 0..^ N ) | ( k gcd N ) = 1 } <-> E. f f : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> { k e. ( 0..^ N ) | ( k gcd N ) = 1 } )
21	19, 20	sylib 122	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> E. f f : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> { k e. ( 0..^ N ) | ( k gcd N ) = 1 } )
22		simpl 109	. . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ f : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> { k e. ( 0..^ N ) | ( k gcd N ) = 1 } ) -> ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) )
23		simpr 110	. . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ f : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> { k e. ( 0..^ N ) | ( k gcd N ) = 1 } ) -> f : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> { k e. ( 0..^ N ) | ( k gcd N ) = 1 } )
24	22, 15, 23	eulerthlemth 12234	. 2 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ f : ( 1 ... ( phi ` N ) ) -1-1-onto-> { k e. ( 0..^ N ) | ( k gcd N ) = 1 } ) -> ( ( A ^ ( phi ` N ) ) mod N ) = ( 1 mod N ) )
25	21, 24	exlimddv 1898	1 |- ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> ( ( A ^ ( phi ` N ) ) mod N ) = ( 1 mod N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   {crab 2459   class class class wbr 4005   -1-1-onto->wf1o 5217   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   ~~ cen 6740   Fincfn 6742   0cc0 7813   1c1 7814   NNcn 8921   NN0cn0 9178   ZZcz 9255   ...cfz 10010  ..^cfzo 10144   mod cmo 10324   ^cexp 10521  ♯chash 10757   gcd cgcd 11945   phicphi 12211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-sup 6985  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-fl 10272  df-mod 10325  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-ihash 10758  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-proddc 11561  df-dvds 11797  df-gcd 11946  df-phi 12213

This theorem is referenced by:  fermltl  12236  prmdiv  12237  odzcllem  12244  odzphi  12248  vfermltl  12253  lgslem1  14486